Sur les expressions numériques
Sur les expressions numériques
- I Expression sans parenthèses
- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Sur les expressions numériques.
I Expression sans parenthèses
- I Expression sans parenthèses
- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Sur les expressions numériques
→ I Expression sans parenthèses
I-1 Avec des additions et des soustractions
- I Expression sans parenthèses
- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Le but de ce chapitre est de se rappeler les règles essentielles pour calculer des expressions numériques.
Proposition [Enchaînement d'opérations, additions, soustractions]
Dans un enchaînement d'additions et de soustractions sans parenthèses, on effectue les calculs de gauche à droite.
Exemple [Calculons l'expression ]
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = |
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→
I Expression sans parenthèses
→ I-1 Avec des additions et des soustractions
I-2 Priorité de la multiplication
- I Expression sans parenthèses
- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Proposition [Priorité de la multiplication]
Dans un enchaînement sans parenthèses, d'additions, de soustractions et de multiplications, on commence par effectuer les multiplications.
Exemple [Calculons l'expression ]
| = | ||
| = | ||
| = |
Exemple [Calculons l'expression ]
| = | ||
| = | ||
| = |
Théorème
La multiplication est prioritaire sur l'addition et sur la soustraction.
Sur les expressions numériques
→
I Expression sans parenthèses
→ I-2 Priorité de la multiplication
II Expression avec parenthèses
- I Expression sans parenthèses
- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Proposition [Priorité des parenthèses]
Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d'abord
les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses
les plus intérieures.
Quelques exemples commentés pour bien comprendre la propriété !
Exemple [Calculons l'expression ]
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = |
Remarque
Comme pour le calcul de
, lorsqu'on retrouve une expression sans parenthèses, on applique la règle de priorité de la multiplication ;
Exemple [Calculons l'expression ]
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = |
Remarque
Comme pour le calcul de
, remarquer que l'on commence par
les parenthèses les plus intérieures ;
Exemple [Calculons l'expression ]
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = |
Remarque
Comme pour le calcul de
, même à l'intérieur des parenthèses les règles 1 et 2
restent valables.
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→ II Expression avec parenthèses
III Simplification d'écriture
- I Expression sans parenthèses
- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Proposition [Absence du signe de la multiplication]
Le signe de multiplication (
) peut être supprimé devant une lettre
ou devant une parenthèse.
) peut être supprimé devant une lettre
ou devant une parenthèse.
Exemples
- Le produit peut s'écrire ;
- le produit peut s'écrire ;
- le produit peut s'écrire . On dit facteur de ;
- le produit peut s'écrire . On dit facteur de ;
- le produit peut s'écrire . On dit au carré. De même on a ce qui vaut .
Remarque [Attention]
Le signe
est obligatoire lorsque son absence entraîne une
confusion. En effet,
ne s'écrit pas
puisque cela vaut
.
est obligatoire lorsque son absence entraîne une
confusion. En effet,
ne s'écrit pas
puisque cela vaut
.
Sur les expressions numériques
→ III Simplification d'écriture
IV Distributivité
- I Expression sans parenthèses
- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Sur les expressions numériques
→ IV Distributivité
IV-1 Égalités de la distributivité
- I Expression sans parenthèses
- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Proposition [Distributivité]
Les égalités ci-dessous sont vraies pour tous les nombres
,
et
. On dit que la multiplication est distributive par rapport
à l'addition et à la soustraction.
Voyons sur quelques exemples comment utiliser ces propriétés.
Exemple [Calculer ]
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = |
Exemple [Calculer ]
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = |
Un côté du rectangle rouge mesure . Le côté commun avec le rectangle bleu mesure . L'autre côté du rectangle bleu mesure .
Si on détermine l'aire du grand rectangle (formé par les deux rectangles colorés) de deux manières différentes, on démontre l'égalité. On peut considérer que les côtés du grand rectangle sont et .
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→
IV Distributivité
→ IV-1 Égalités de la distributivité
IV-2 Développer, factoriser
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- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
On peut appliquer les égalités de la distributivité de deux façons :
- pour développer :
= - pour factoriser :
Sur les expressions numériques → IV Distributivité → IV-2 Développer, factoriserV Distributivité et calcul mental
- I Expression sans parenthèses
- II Expression avec parenthèses
- III Simplification d'écriture
- IV Distributivité
- V Distributivité et calcul mental
Quand on sait bien appliquer les règles de distributivité et de factorisation, on peut les utiliser pour simplifier certains calculs comme le montrent les exemples ci-après.
Exemple [Calculons ]
= = = = =
Exemple [Calculons ]
= = = = Sur les expressions numériques → V Distributivité et calcul mental - pour factoriser :