Résolution d'équations

I Égalité
II Équation
III Problème

Sur la résolution des équations de base

I Égalité

II Équation

III Problème

I Égalité

I Égalité
II Équation
III Problème

Définition [Égalité]

Une égalité est une phrase mathématique dans laquelle il y a un signe égal. Cette égalité peut être vraie ou fausse.

Exemple

Soit $t$ la taille du professeur. L'égalité $t = 184$ cm est vraie !
Soit $m$ la masse du professeur. L'égalité $m = 24$ kg est (heureusement) fausse.

Une égalité peut être écrite avec un nombre inconnu, le plus souvent désigné par une lettre, par exemple

6 x + 180 = 15 x

. Tester l'égalité, c'est regarder si l'égalité est vraie pour une valeur particulière donnée à

x

Exemple [ ]

Gardons l'équation ci-dessus :

6 x + 180 = 15 x

. L'égalité est-elle vraie si

x = 4

? si

x = 20

Quand $x = 4$ , on donne 4 comme valeur particulière de $x$ dans l'égalité précédente. On calcule séparément la valeur des membres de gauche et de droite de l'égalité avec cette valeur particulière.
$6 x + 180 = 6 \times 4 + 180$ , soit 204 et pour l'autre membre, $15 x = 15 \times 4$ soit 60. Les nombres 204 et 60 ne sont pas égaux donc l'égalité est fausse pour $x = 4$ . On dit aussi que 4 n'est pas solution de l'équation.
Faisons le même travail pour $x = 20$ .
Pour le membre de gauche : $6 x + 180 = 6 \times 20 + 180$ soit 300. Et pour l'autre membre, $15 x = 15 \times 20$ soit 300. Quand $x = 20$ , les deux membres sont égaux ; on dit que 20 est solution de l'équation. Mais qu'est-ce qu'une équation ?

Résolution d'équations → I Égalité

Définition [Équation]

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition [Résoudre une équation]

Résoudre une équation, c'est déterminer la valeur (ou les valeurs) que doit prendre cette inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

Exercice

[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 0$ soit vraie ?
[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 1$ soit vraie ?

Solution

On peut donner n'importe quelle valeur, il y a une infinité de solution. Plus tard dans la scolarité, on verra d'autres équations qui ont 2, 3 ... solutions.
Il n'y a pas de solution !

On une équation comme le montre les exemples suivants, en retenant les règles générales ci-après :

Proposition

On ne change pas les solutions d'une équation quand :

On additionne un même nombre à ses deux membres ;
On soustrait un même nombre à ses deux membres ;
On multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;
On divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;

II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

Résolution d'équations → II Équation

II-1 Premier exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

y - 12 = 25

, on procède ainsi :

\begin{matrix} y - 12 & = & 25 \\ y - 12 + 12 & = & 25 + 12 \\ y & = & 37 \end{matrix}

La solution de l'équation est

y = 37

Résolution d'équations → II Équation → II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

l + 4 = 24

, on procède ainsi :

\begin{matrix} l + 4 & = & 24 \\ l + 4 - 4 & = & 24 - 4 \\ l & = & 20 \end{matrix}

La solution de l'équation est

l = 20

Résolution d'équations → II Équation → II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

2 z = 9

, on procède ainsi :

\begin{matrix} 2 z & = & 9 \\ \frac{2 z}{2} & = & \frac{9}{2} \\ z & = & 4, 5 \end{matrix}

La solution de l'équation est

z = 4, 5

Résolution d'équations → II Équation → II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

\frac{s}{9} = 7

, on procède ainsi :

\begin{matrix} \frac{s}{9} & = & 7 \\ \frac{s}{9} \times 9 & = & 7 \times 9 \\ s & = & 63 \end{matrix}

La solution de l'équation est

s = 63

Résolution d'équations → II Équation → II-4 Quatrième exemple

III Problème

I Égalité
II Équation
III Problème

Il y a trois étapes à respecter pour la rédaction des résolutions des problèmes :

Si elle n'est pas imposée par l'énoncé, le choix de l'inconnue. Généralement, soit $x$ ce que l'on cherche .
Mise en équation du problème et sa résolution.
Conclusion par une phrase au problème posé.

Exercice

Le père d'Augustin a six fois l'âge de son fils et si l'on ajoute 10 à la somme de leur âge, on trouve un 52.

Solution

Choix de l'inconnue Soit $x$ l'âge d'Augustin.
- Mise en équation Le père d'Augustin a six fois son âge, donc son âge est de : $6 x$ ;
  La somme de leur âge est donc de $6 x + x = 7 x$ .
  Si on ajoute 10 à la somme de leur âge, on trouve 52, d'où l'équation $7 x + 10 = 52$
- Résolution
  $\begin{matrix} 7 x + 10 & = & 52 \\ 7 x & = & 52 - 10 \\ 7 x & = & 42 \\ x & = & \frac{42}{7} \\ x & = & 6 \end{matrix}$
Augustin a donc 6 ans. (Bonus : son père a 36 ans !)

Résolution d'équations → III Problème

document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire).
: equations, wims, mathematics, mathematical, math, maths, interactive mathematics, interactive math, interactive maths, mathematic, online, calculator, graphing, exercise, exercice, puzzle, calculus, K-12, algebra, mathématique, interactive, interactive mathematics, interactive mathematical, interactive math, interactive maths, mathematical education, enseignement mathématique, mathematics teaching, teaching mathematics, algebra, geometry, calculus, function, curve, surface, graphing, virtual class, virtual classes, virtual classroom, virtual classrooms, interactive documents, interactive document

Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.