Séquence 02 : Les racines carrées - première partie

I Définition
II Propriétés

I Définition

I Définition
II Propriétés

Définition : [Racine carrée]

Soit

a

un nombre positif, la racine carrée de

a

est le nombre positif qui élevé au carré donne

a

. On le note

\sqrt{a}

et on a :

(\sqrt{a})^{2} = a

Soit

a

un nombre. Que vaut

\sqrt{a^{2}}

$\sqrt{a^{2}} = a$ , si $a$ est positif ;
$\sqrt{a^{2}} = - a$ , si $a$ est négatif.

Exemple :

On cherche à calculer

A = \sqrt{(- 12)^{2}}

.
On remarque que

- 12

est négatif, donc on a

A =

- (- 12) = 12

Remarque :

On remarque que grace au carré, on prend toujours la racine carrée d'un nombre positif, et que le résultat final est également un nombre positif, comme cela était dit dans la définition.

Remarque :

Ne pas confondre avec

(\sqrt{a})^{2}

, qui n'existe que si

a

est positif et alors on a :

(\sqrt{a})^{2} = a

Exemple : [ ]

On a bien

{\sqrt{20}}^{2} = 20

{\sqrt{- 16}}^{2}

qui n'a pas de sens.

Dans l'expression $\sqrt{a}$ , $a$ est le radicande ;
On a toujours $\sqrt{a} \geq 0$ , voir la définition ;
Les nombres dont la racine carré est un entier sont appelés carrés parfaits .

Exemple : [Calculons l'expression $A$ ]

\begin{aligned} A & = \sqrt{361} \\ A & = 19 \end{aligned}

On dit que

361

est un carré parfait, car sa racine carrée est un entier.

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Proposition :

Soit

a

b

deux nombres positifs, on a :

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

De plus, si

b \neq 0

, on a aussi :

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Exemple : [ ]

\begin{matrix} A & = & \sqrt{2} \times \sqrt{50} \\ A & = & \sqrt{100} \\ A & = & 10 \end{matrix}

\begin{matrix} B & = & \sqrt{\frac{169}{64}} \\ B & = & \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{64}} \\ B & = & \frac{13}{8} \\ B & = \end{matrix}

Attention

\begin{matrix} A & = & \sqrt{81} + \sqrt{1600} \\ A & = & 9 + 40 \\ A & = & 49 \end{matrix}

\begin{matrix} B & = & \sqrt{81 + 1600} \\ B & = & \sqrt{1681} \\ B & = & 41 \end{matrix}

Remarque :

Soit

a

b

des nombres strictement positifs, on a toujours :

$\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}$

On écrira toujours une racine carrée sous sa forme la plus simple possible.

Exemple : [ ]

Écrire le nombre donné sous la forme la plus simple :

A = \sqrt{99}

On a :

\begin{matrix} A & = & \sqrt{99} \\ A & = & \sqrt{11 \times 9} \\ A & = & \sqrt{11 \times 3^{2}} \\ A & = & \sqrt{3^{2}} \times \sqrt{11} \\ A & = & 3 \sqrt{11} \end{matrix}

Exercice :

Calculer une racine carrée (utilisation de la calculatrice)
Simplifier des racines carrées - Correspondance
Écriture réduite
Calcul d'expression
Racines et nombres - Correspondance

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