DOC Premières études de fonction

Etudes de fonctions polynômes simples

Ce document présente quelques méthodes de base pour les études de fonctions, appliquées uniquement aux fonctions polynômes.

Dérivée d'une fonction (idées générales)

Calcul de la dérivée d'une fonction polynôme

Application 1 : tableau de variation d'un polynôme de degré 2

Application 2 : équation de la tangente à une courbe

Idée de dérivée

Le long d'une droite, la pente est constante : c'est le coefficient directeur.
Son signe indique si la droite "monte" ou "descend".
Sa valeur indique si la pente de la droite (au sens usuel du terme) est plus ou moins forte.

C'est ce qui différencie une "courbe", au sens usuel du terme, d'une droite : le long d'une courbe, la pente varie.

Comme cette pente varie selon le point observé, on peut essayer de l'exprimer avec une formule faisant intervenir la variable x.

La dérivation d'une fonction est l'opération permettant de trouver la "formule de la pente de la courbe" à partir de la "formule de la courbe".

Notation : si la fonction est notée f ou f(x), on notera f ′ ou f ′(x) sa dérivée.

Calcul de dérivées

Dérivée de x n

Le tableau ci-dessous donne les dérivées des "briques de base".
Les trois premières lignes de ce tableau correspondent au coefficient directeur d'une droite.

f(x) f ′(x)
constante : k 0
ax a
x 1
x 2 2x
x 3 3x 2
x n nx n−1

Opérations et exemples

Addition et soustraction

  • La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
  • La dérivée d'une différence est la différence des dérivées.
Exemple

Cliquer sur l'étoile pour avoir un nouvel exemple :
Si f(x)=x 4−7, alors f ′(x) = .

Multiplication ou division par une constante

Si k est une constante :
  • La dérivée de kf(x) est kf ′(x).
  • La dérivée de f(x)k est f ′(x)k.
Exemple

En utilisant cette règle ainsi que la précédente, on obtient :

  • Si f(x)=, alors f′(x)=.
  • Si f(x)=2(), alors f′(x)=.
  • Si f(x)=2, alors f′(x)=2.

Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4

Multiplication ou division de deux fonctions (cas général)

Si u et v sont deux fonctions :
  • La dérivée de uv est u′v+uv′.
  • La dérivée de uv est u′v−uv′v 2.
Ces formules ne sont pas indispensables à connaître pour les exemples étudiés dans ce document. Voir dans l'exemple ci-dessous comment les contourner dans les cas les plus simples.
Exemple
Pour les fonctions polynômes, on n'a pas besoin d'utiliser les formules ci-dessus.
Si on a un produit de deux fonctions à dériver, on commencera par développer le produit avant de dériver.


Si f(x)=4x(), on commence par développer : f(x)=.
La fonction est alors sous une forme qui permet de la dériver sans problème avec les formules des premiers paragraphes.

On a donc f ′(x) =

Application 1 : tableau de variation

Principe de base : c'est le signe de la dérivée qui permet de connaître le sens de variation de la fonction :
sur un intervalle,
  • si la dérivée a le signe +, alors la fonction est croissante
  • si la dérivée a le signe -, alors la fonction est décroissante

donc

Remarque préliminaire : il faut d'abord savoir étudier le signe de différentes expressions.

Pour les études de fonctions abordées dans cette page, vous aurez besoin de savoir étudier le signe des expressions de la forme ax+b .

Exemple 1

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [-1 ; 1] par f(x)=.

Calculer la dérivée f ′(x) de la fonction f.
En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [-1 ; 1].

f(x)=, donc f ′(x) = .

On étudie donc le signe de . Cette expression est de la forme ax+b, donc on résout =0.
La solution est x=.
Le signe de est le signe de 4 (coefficient de x) à droite du 0, et le signe contraire à gauche.

On obtient donc le tableau suivant :

x −1 1
f ′(x) - 0 +
f(x) NaN fleche-se fleche-ne NaN

Exercice

Application 2 : équation de la tangente à une courbe

Principe : la tangente à la courbe représentant la fonction f au point d'abscisse a est la droite qui passe par le point de coordonnées (a ; f(a)) et qui a comme coefficient directeur f ′(a)
Pour calculer l'équation de cette tangente, on commence donc par calculer f(a) et f ′(a).

Exemple

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [-2 ; 1] par f(x)= et C sa courbe représentative.

Déterminer l'équation de la droite T, tangente à la courbe C au point d'abscisse 1.

f(x)=, donc f ′(x) = .

On calcule f(1)=NaN, et f ′(1)=

Le coefficient directeur de la droite T est . Donc l'équation de T est de la forme y=x+b.
Cette droite passe par le point de coordonnées x = 1 ; y = NaN.
On en déduit que NaN = times 1 + b, d'où b = NaN.

L'équation de T est donc : y=

Exercice guidé
Exercice

document présentant les idées de base pour l'étude de fonctions dans le cas des polynômes de degré 2.
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