Une première approche de la fonction exponentielle

Introduction

De nombreux phénomènes physiques ou économiques simples peuvent être modélisés par une fonction $f$ vérifiant, pour tout réel $x$ d'un intervalle $I$ , $f' (x) = k \times f (x)$ où $k$ est un coefficient réel.

D'où l'importance pratique des équations du type

f' = k f

avec

k

constante réelle, où l'inconnue

f

est une fonction définie et dérivable sur un intervalle

I

.
Une telle équation est appelée équation différentielle.

Il est assez facile de montrer que si l'on sait résoudre l'équation différentielle

f' = k f

avec

k = 1

, alors on sait résoudre les équations

f' = k f

avec

k

quelconque.

On va s'intéresser plus particulièrement à l'équation

f' = f

et l'on va chercher toutes les fonctions vérifiant cette équation différentielle en imposant comme condition initiale

f (0) = 1

Pour aller plus loin, DOC Fonction exponentielle

1. Définition de la fonction exponentielle

Théorème (admis) : il existe une unique fonction

f

dérivable sur

ℝ

telle que

f' = f

f (0) = 1

Définition :

On appelle fonction exponentielle, et on note exp l'unique fonction $f$ dérivable sur $ℝ$ telle que $f' = f$ et vérifiant la condition initiale $f (0) = 1$ .
On appelle nombre de Neper, et on note $e$ l'image de 1 par la fonction exponentielle. On a donc : $e = \exp (1)$ .

2. Propriétés algébriques

Théorème :
Pour tout réel

x

, on a

\exp (x) \times \exp (- x) = 1

. Par suite la fonction

x \mapsto \exp (x)

ne s'annule pas sur

ℝ

.
Pour tous réels

x

y

, on a :

\exp (x + y) = \exp (x) \times \exp (y)

.
Pour tout réel

x

et tout entier relatif n on a :

\exp (n \times x) = \exp (x)^{n}

Démonstration : Ces démonstrations peuvent être passées en première lecture.

Premier point: on pose $h : x \mapsto \exp (x) \times \exp (- x)$ . On montre que $h$ est dérivable sur $ℝ$ et que $h' (x) = 0$ pour tout réel $x$ . Donc, $h$ est constante ; or pour $x = 0$ on a $h (0) = 1$ .
Second point: pour un réel $y$ quelconque fixé, on montre que la fonction $h : x \mapsto \frac{\exp (x + y)}{\exp (x) \times \exp (y)}$ est dérivable sur $ℝ$ et que $h' (x) = 0$ pour tout réel $x$ ; on en déduit que la fonction $h$ est constante ; or pour $x = 0$ on a $h (0) = 1$ .
La troisième égalité est admise.

Notation puissance : La fonction exponentielle prolonge aux réels les règles usuelles des exposants entiers.
Pour tout entier relatif n on a en effet : $\exp (n) = \exp (1 \times n) = \exp (1)^{n} = e^{n}$ .

On étend la notation puissance à tout réel

x

: $\exp (x) = e^{x}$ .

Pour tous réels $x$ et $y$ , on a donc les règles suivantes :

\begin{matrix} e^{0} = 1 & e^{1} = e \\ e^{x + y} = e^{x} \times e^{y} & e^{- x} = \frac{1}{e^{x}} \\ {(e^{x})}^{y} = e^{x \times y} & e^{x - y} = \frac{e^{x}}{e^{y}} \end{matrix}

Exemples (cliquer sur l'icône pour changer les données) :

e^{- 6} = \frac{1}{e^{6}}

e^{x + 4} = e^{x} \times e^{4}

e^{x - 1} = \frac{e^{x}}{e^{1}}

{(e^{x})}^{2} = e^{2 x}

Propriété : Soit

n

un entier naturel et

a

un réel, comme

e^{n a} = {(e^{a})}^{n}

, la suite

e^{n a}

est une suite géométrique.

Propriété : Pour tout réel

x

on a :

\sqrt{e^{x}} = e^{\frac{x}{2}}

Démonstration : d'après les propriétés algébriques de la fonction exp on a :

{(e^{\frac{x}{2}})}^{2} = e^{2 \times \frac{x}{2}} = e^{x}

Donc

e^{\frac{x}{2}}

est un réel positif dont le carré est égal à

e^{x}

; c'est donc la racine carrée positive de

e^{x}

Le nombre

e

est un irrationnel, comme

\sqrt{2}

. Sa valeur exacte c'est

e

Dans un calcul exact, on exprimera donc le résultat en fonction de e.
Pour un calcul approché, on utilisera une approximation :

e \approx 2,718 2818 . . .

Exercices :
Réécriture sous forme d'une seule exponentielle (1)
Réécriture sous forme d'une seule exponentielle (2)
Simplification d'écriture

3. Variations

Sens de variation

Par définition, la fonction exponentielle est dérivable sur

ℝ

et sa fonction dérivée est identique à elle-même.
Pour tout réel

x

, on a

\exp' (x) = \exp (x) = e^{x}

Théorème : La fonction exponentielle prend des valeurs strictement positives : pour tout réel

x

, on a

e^{x} > 0

Démonstration : Pour tout réel

x

on peut écrire

\exp (x) = \exp (2 \times \frac{x}{2}) = \exp {(\frac{x}{2})}^{2}

. Or le carré d'un réel est un nombre positif ou nul. Par ailleurs on sait que la fonction exponentielle ne s'annule pas sur

ℝ

. Donc, la fonction exponentielle est strictement positive sur

ℝ

Thérorème : La fonction exponentielle est une fonction strictement croissante sur

ℝ

Démonstration : conséquence immédiate des deux propriétés précédentes.

Courbe représentative sur [-3 , 4] de la fonction exp

4. Exponentielle d'une fonction affine

Théorème La fonction

f

définie sur

ℝ

par

f (x) = e^{a x + b}

est dérivable sur

ℝ

et pour tout réel

x

f' (x) = a e^{a x + b}

Exemples

Si $f$ est définie sur $ℝ$ par $f (x) = e^{- x}$ , alors pour tout réel $x$ , on a $f' (x) = - e^{- x}$ .
(cliquer sur l'icône pour changer les données) :
Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = e^{- 4 x + 2}$ .
$f$ est dérivable sur $ℝ$ et, pour tout réel $x$ on a : $f' (x) = - 4 e^{- 4 x + 2}$ .

Fonctions $e^{k x}$ et $e^{- k x}$ .

k

strictement positif

La fonction $x \mapsto e^{k x}$ est strictement croissante sur $ℝ$ .
La fonction $x \mapsto e^{- k x}$ est strictement décroissante sur $ℝ$ .

Courbes respectives sur [-3 , 4] des fonctions $x \mapsto e^{2 x}$ et $x \mapsto e^{- 3 x}$ (cliquer sur l'icône pour changer les données) :

introduction de la fonction exponentielle.
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