Calcul intégral en Terminale S
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 7 exercices sur le calcul intégral et ses applications géométriques.
Aires et intégrales
On considère une fonction polynôme de degré 2,
, définie sur
par
, dont la représentation graphique
est donnée ci-contre. La partie du plan, notée
, coloriée en vert dans le graphique, est définie par les équations
et
.
.
Aire entre deux courbes
La partie du plan coloriée en vert, notée
, est définie par les équations
et
.
.
Détermination d'une aire donnée
On considère la fonction
, définie par
, dont la représentation graphique
est donnée ci-contre. On note
la partie du plan, coloriée en vert, et définie par les équations
et
.
Pour quelle valeur de
l'aire de
est-elle égale à
unités d'aire ? Cette aire est égale à unités d'aire pour
.
La valeur attendue est la valeur exacte de
.
Primitives de fractions rationnelles
On considère la fonction
, définie par
.
Déterminer deux réels
tels que
.
Effectivement, la fonction
peut s'écrire sous la forme
.
On se place sur un intervalle où
et
. Déduire de ce qui précède une primitive
de
Pour entrer la réponse, on utilise les conventions suivantes : La fonction logarithme népérien s'écrit log. Par exemple, on tape log(2) pour écrire le réel ln(2). Mettez * pour les multiplications.
Intégration par partie
Cet exercice comporte quatre étapes.
On considère la fonction
définie par
. On se propose de calculer
en utilisant une intégration par partie.
A cette fin, on pose
et
.
Question 1 : On calcule alors
et
.
Question 2: Oui,
et
.Dans ces conditions, on calcule :
.
Question 3: Enfin, on calcule l'intégrale
.
Question 4: Les égalitées vues précédemment
d'une part et
d'autre part, permettent finalement de calculer :
.
Primitives des fonctions usuelles
Cet exercice comporte trois étapes.
On considère la fonction
, définie par
. On se propose de calculer l'intégrale
.
Étape 1: On pose
,
.
Étape 2: En effet,
est de la forme . On a de plus:
=
Une primitive
de
sur
est donc:
.
Étape 3: En effet
, définie par
est bien une primtive de
sur
. On en déduit que:
.
Primitives de fractions rationnelles II
On considère la fonction
, définie par
.
Vérifier que le dénominateur ne s'annule pas et que par conséquent il peut s'écrire
avec :
et
(pour
choisir la valeur positive).
Effectivement, on a
. Montrer que
peut s'écrire
avec :
et
.
Grâce à l'écriture
on en déduit qu'une primitive
de
est :
.
Pour entrer la réponse, on utilise les conventions suivantes : La fonction logarithme népérien s'écrit log. Par exemple, on tape log(2) pour écrire le réel ln(2). La fonction arctangente s'écrit atan. Par exemple, on entre atan(2) pour écrire le réel
. Mettez * pour les multiplications.
Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que
WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur web.
Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne
sont pas des fichiers
HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE.
Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.
Description: exercices de calcul intégral. This is the main site of WIMS (WWW Interactive Multipurpose Server): interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games