Calcul intégral en Terminale S --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 7 exercices sur le calcul intégral et ses applications géométriques.

Aires et intégrales

On considère une fonction polynôme de degré 2, , définie sur par , dont la représentation graphique est donnée ci-contre.
La partie du plan, notée , coloriée en vert dans le graphique, est définie par les équations et .

Aire entre deux courbes

La partie du plan coloriée en vert, notée , est définie par les équations et .
.

Détermination d'une aire donnée

On considère la fonction , définie par , dont la représentation graphique est donnée ci-contre.
On note la partie du plan, coloriée en vert, et définie par les équations
et .
Pour quelle valeur de l'aire de est-elle égale à unités d'aire ?
Cette aire est égale à unités d'aire pour .
La valeur attendue est la valeur exacte de .

Primitives de fractions rationnelles

On considère la fonction , définie par .
Déterminer deux réels tels que .
Effectivement, la fonction peut s'écrire sous la forme .

On se place sur un intervalle où et . Déduire de ce qui précède une primitive de

Pour entrer la réponse, on utilise les conventions suivantes :
La fonction logarithme népérien s'écrit log. Par exemple, on tape log(2) pour écrire le réel ln(2).
Mettez * pour les multiplications.

Intégration par partie

Cet exercice comporte quatre étapes.
On considère la fonction définie par .
On se propose de calculer en utilisant une intégration par partie.
A cette fin, on pose et .
Question 1 : On calcule alors et . Question 2: Oui, et .Dans ces conditions, on calcule :
.
Question 3: Enfin, on calcule l'intégrale . Question 4: Les égalitées vues précédemment d'une part et d'autre part, permettent finalement de calculer :
.

Primitives des fonctions usuelles

Cet exercice comporte trois étapes.
On considère la fonction , définie par . On se propose de calculer l'intégrale .
Étape 1:
On pose ,
.
Étape 2:
En effet, est de la forme . On a de plus:
=
Une primitive de sur est donc:
.
Étape 3:
En effet , définie par est bien une primtive de sur .
On en déduit que:
.

Primitives de fractions rationnelles II

On considère la fonction , définie par .
Vérifier que le dénominateur ne s'annule pas et que par conséquent il peut s'écrire avec :
et (pour choisir la valeur positive).
Effectivement, on a . Montrer que peut s'écrire avec :
et .
Grâce à l'écriture on en déduit qu'une primitive de est :
.
Pour entrer la réponse, on utilise les conventions suivantes :
La fonction logarithme népérien s'écrit log. Par exemple, on tape log(2) pour écrire le réel ln(2).
La fonction arctangente s'écrit atan. Par exemple, on entre atan(2) pour écrire le réel .
Mettez * pour les multiplications.

Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur web.
Afin de tester le navigateur que vous utilisez, veuillez taper le mot wims ici : puis appuyez sur ``Entrer''.

Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.