Pour que pour tout réel de , il faut et il suffit que :
La forme canonique de est :
Forme canonique avec choix de la méthode
On veut déterminer la forme canonique de .
Voir ci-dessous l'aide pour la méthode "" choisie.
- Réaliser la courbe de la fonction définie par sur papier ou l'afficher avec sa calculatrice.
- Repérer le sommet de la parabole.
- Noter son abscisse et son ordonnée .
- Noter l'ordonnée du point d'abscisse
- La différence donne le coefficient que l'on retrouve aussi dans la forme développée.
- Noter la forme canonique en remplaçant , et par les valeurs trouvées.
La forme canonique est :
Pour que pour tout réel de , il faut et il suffit que :
En déduire les valeurs de , et .
Puis la forme canonique de .
- On remarque que :
- Et que est le début du développement d'un carré ; ce qui donne .
- En ajoutant et en retranchant le terme manquant de multiplié par , on peut faire apparaître .
- Il reste un terme égal à qui est aussi .
- Le coefficient du carré est le même dans l'expression développée et dans l'expression factorisée.
- On détermine ainsi la forme canonique .
- La forme canonique est : .
- Pour qu'elle soit égale à
, il faut et il suffit que :
- On en déduit que .
- Mais en fait l'abscisse du sommet de la parabole et son ordonnée.
- Ainsi .
- Calculer les valeurs de , et et noter la forme canonique pour répondre à la question.
Choisir ensuite soit une autre aide soit de répondre aux questions.
Forme canonique avec choix de la méthode et réponses
On veut déterminer la forme canonique de .
Voir ci-dessous l'aide pour la méthode "" choisie.
- Réaliser la courbe de la fonction définie par sur papier ou l'afficher avec sa calculatrice.
- Repérer le sommet de la parabole.
- Noter son abscisse et son ordonnée .
- Noter l'ordonnée du point d'abscisse
- La différence donne le coefficient que l'on retrouve aussi dans la forme développée.
- Noter la forme canonique en remplaçant , et par les valeurs trouvées.
La forme canonique est :
Pour que pour tout réel de , il faut et il suffit que :
En déduire les valeurs de , et .
Puis la forme canonique de .
- On remarque que :
- Et que est le début du développement d'un carré ; ce qui donne .
- En ajoutant et en retranchant le terme manquant de multiplié par , on peut faire apparaître .
- Il reste un terme égal à qui est aussi .
- Le coefficient du carré est le même dans l'expression développée et dans l'expression factorisée.
- On détermine ainsi la forme canonique .
- La forme canonique est : .
- Pour qu'elle soit égale à
, il faut et il suffit que :
- On en déduit que .
- Mais en fait l'abscisse du sommet de la parabole et son ordonnée.
- Ainsi .
- Calculer les valeurs de , et et noter la forme canonique pour répondre à la question.
Fonction carré
Dans le repère orthonormé ci-dessous, on veut tracer la parabole d'équation
.
Le point d'abscisse 0 qui est le sommet de la parabole est déjà placé.
Fonction a x^2 positive
Dans le repère orthonormé ci-dessous, on veut tracer la parabole d'équation .
Le point d'abscisse 0 qui est le sommet de la parabole est déjà placé.
Clique sur le point d'abscisse 1:Choix d'une fonction associée à x^2
Par lecture graphique déterminer l'expression de .
Le cinéma
- Lorsque le prix d'une place est de €, le gérant du cinéma constate qu'il y a spectateurs.
- Et il a remarqué que l'assistance diminuait de spectateurs chaque fois qu'il augmentait le prix de la place de 1 €.
- Par ailleurs, pour chaque séance, il doit payer € par spectateur au distributeur des films et il a € de frais fixes.
- On cherche le prix pour lequel le bénéfice sera maximale.
Étape 1
Étape 2
- Le nombre de spectateurs en fonction du prix est bien .
- Détermine les frais de chaque séance en fonction du nombre de spectateurs .
- .
- Substituer l'expression trouvée pour dans pour obtenir une expression qui dépend seulement de .
- .
- On note cette expression .
- Le nombre de spectateurs en fonction du prix est bien .
- Et les frais pour une séance sont
- Exprime la recette en fonction seulement de .
- .
- Exprime le bénéfice en fonction seulement de .
- .
- Le nombre de spectateurs en fonction du prix est bien .
- Et le bénéfice pour une séance est
- Déterminer pour que soit maximal.
- Réponse : = .
- Puis en déduire la valeur du bénéfice maximal .
- = (arrondir à 0.01 € près).
- Le nombre de spectateurs en fonction du prix est bien .
- Et le bénéfice pour une séance est
- Il est maximal pour et vaut alors
- Déterminer les deux nombres réels pour lesquels est nul.
- Le plus petit nombre est : = et le plus grand est = .
- la fonction racine carrée (en bleu),
- de la fonction opposée de la racine carrée (en vert)
- et d'une fonction (en rouge).
- Dans le plan muni d'un repère orthogonal , on a tracé la courbe représentative de la fonction carré (en bleu) et d'une fonction en rouge.
- Par lecture graphique déterminer l'expression de .
- de la fonction racine carrée (en bleu),
- de la fonction opposée de la racine carrée (en vert)
- et d'une fonction (en rouge).
- Un club organise le lancement d'une fusée. Maud explique que la fusée va d'abord monter grâce à la puissance de son moteur pendant secondes.
- Dans cette phase son altitude en mètres sera égale à multiplié par le carré du temps écoulé depuis l'instant 0 en secondes, .
- Elle montre la courbe en vert de la fonction notée .
- Au bout de secondes, le moteur va s'arrêter et la fusée va continuer à monter pendant s puis elle va redescendre jusqu'au sol.
- Dans cette deuxième phase, la courbe sera obtenue par une translation à partir de celle de la fonction avec qu'elle a tracée en noir.
- Jusqu'à quelle hauteur monte la fusée dans la première phase ? m.
- De combien de mètres la fusée monte-t-elle dans la deuxième phase ? m.
- On appelle g la fonction représentée dans cette deuxième phase. Quel est le maximum de la fonction g ? m.
- Quelle est la formule de
?
Rappel .
Vérifie que et que .
. - Au bout de combien de secondes après son départ la fusée retombe-t-elle au sol ? s.
- Avec un logiciel de géométrie on peut refaire les courbes puis translater la courbe de pour obtenir celle de .
- Par exemple, avec Geogebra, pour définir et , écrire :
- f=Fonction[x^2,0,]
- r=Fonction[- x^2,-,8]
- Définir un point A à la fin de la courbe de et un point B au début de celle de .
- Puis effectuer une translation de la courbe de de B en A.
- On doit avoir .
- Pour calculer la valeur de , on doit chercher l'image de par et lui ajouter la bonne valeur.
- Pour déterminer à quel instant la fusée arrive au sol, on peut résoudre l'équation .
- Si le graphique le permet, on peut résoudre graphiquement cette équation.
- Sinon, il faut connaître la formule de (voir le lien entre les fonctions).
- Puis on peut ramener l'équation à .
- Un club organise le lancement d'une fusée. Maud explique que la fusée va d'abord monter grâce à la puissance de son moteur pendant secondes.
- Dans cette phase son altitude en mètres sera égale à multiplié par le carré du temps écoulé depuis l'instant 0 en secondes, .
- Elle montre la courbe en vert de la fonction notée .
- Au bout de secondes, le moteur va s'arrêter et la fusée va continuer à monter pendant s jusqu'à m puis elle va redescendre jusqu'au sol.
- Dans cette deuxième phase, la courbe sera obtenue par une translation à partir de celle de la fonction avec qu'elle a tracée en noir.
- Vérifie que et que .
- .
- correspondant à la fonction avec
- Un club organise le lancement d'une fusée. Maud explique que la fusée va d'abord monter grâce à la puissance de son moteur pendant secondes.
- Dans cette phase son altitude en mètres sera égale à multiplié par le carré du temps écoulé depuis l'instant 0 en secondes, .
- Elle montre la courbe en vert de la fonction notée .
- Au bout de secondes, le moteur va s'arrêter et la fusée va continuer à monter pendant s jusqu'à m puis elle va redescendre jusqu'au sol.
- Dans cette deuxième phase, la courbe sera obtenue par une translation à partir de celle de la fonction avec qu'elle a tracée en noir.
- Vérifie que et que .
- .
- Un club organise le lancement d'une fusée. Maud explique que la fusée va d'abord monter grâce à la puissance de son moteur pendant secondes.
- Dans cette phase son altitude en mètres sera égale à multiplié par le carré du temps écoulé depuis l'instant 0 en secondes, .
- Elle montre la courbe en vert de la fonction notée .
- Au bout de secondes, le moteur va s'arrêter et la fusée va continuer à monter pendant s puis elle va redescendre jusqu'au sol.
- Dans cette deuxième phase, la courbe sera obtenue par une translation à partir de celle de la fonction avec qu'elle a tracée en noir.
- Jusqu'à quelle hauteur monte la fusée dans la première phase ? m.
- De combien de mètres la fusée monte-t-elle dans la deuxième phase ? m.
- On appelle g la fonction représentée dans cette deuxième phase. Quel est le maximum de la fonction g ? m.
- Quelle est la formule de
?
Rappel .
Vérifie que et que .
. - Au bout de combien de secondes après son départ la fusée retombe-t-elle au sol ? s.
- Avec un logiciel de géométrie on peut refaire les courbes puis translater la courbe de pour obtenir celle de .
- Par exemple, avec Geogebra, pour définir et , écrire :
- f=Fonction[x^2,0,]
- r=Fonction[- x^2,-,8]
- Définir un point A à la fin de la courbe de et un point B au début de celle de .
- Puis effectuer une translation de la courbe de de B en A.
- On doit avoir .
- Pour calculer la valeur de , on doit chercher l'image de par et lui ajouter la bonne valeur.
- Pour déterminer à quel instant la fusée arrive au sol, on peut résoudre l'équation .
- Si le graphique le permet, on peut résoudre graphiquement cette équation.
- Sinon, il faut connaître la formule de (voir le lien entre les fonctions).
- Puis on peut ramener l'équation à .
- (somme des aires ci-dessus)
- Donc (expression développée)
Étape 3
La recette est le montant de la vente des billets .
Le bénéfice est .
Étape 4
Étape 5
L'atterrissage
La fusée s'approche pour atterrir.
Son altitude en mètres à l'instant en secondes est donnée par l'équation :
L'atterrissage sera réussi en douceur si l'équation a une solution double.
Quelle est la valeur de pour cela ?
Et dans ce cas, à quel instant aura lieu l'atterrissage ?
Le vol parabolique du Cormoran
Un cormoran vole selon une parabole d'équation où désigne la position horizontale par rapport à l'observateur et l'altitude en mètres.
Les nombres décimaux s'écrivent avec un point.
Si nécessaire, séparez les réponses par une virgule.
À l'extrême
Dans le repère orthonormé ci-dessous, on veut tracer la parabole d'équation .
Pour terminer cette question, clique sur le point S sur le graphique.
Clique maintenant sur le graphique sur le point d'abscisse ..
Trouver une formule associée à x^2 (1)
Trouver une formule associée à rac(x)
Trouver une formule associée à x^2 (3)
Trouver une formule associée à x^2 (2)
Trouver une formule associée à a*rac(x)
Trouver une formule associée à x^2 animé
Dans le plan muni d'un repère orthogonal , on a tracé la courbe représentative de la fonction carré (en bleu) et d'une fonction en rouge.
Par lecture graphique déterminer l'expression de .
Trouver f avec animation
La fonction carrée est représentée en bleu.
Quelle est la formule de la fonction représentée en vert ?La fusée au sommet avec plusieurs méthodes
Le graphique doit être complété par la deuxième phase par translation de la courbe de (voir la méthode géométrie).
Choix : .
Compléter le tableau de valeurs de la fonction .
| - | 0 | |||
| 0 |
Puis compléter le tableau de valeurs de la fonction qui prolonge la courbe de .
La fusée retardée 1
Tu as trouvé . Donne l'expression de en fonction de sans la lettre .
Tu as trouvé donc
. A quel instant la fusée retombe-t-elle au sol (altitude 0) ?
Tu as trouvé donc
. Mais en fait la fusée part avec un retard de secondes. On appelle
la fonction correspondant à la première phase et
la fonction correspondant à la deuxième phase. Trouve les expressions de
et
. Tu as trouvé . Donne l'expression de
en fonction de
sans la lettre
. Tu as trouvé donc
. A quel instant la fusée retombe-t-elle au sol (altitude 0) ?
Tu as trouvé donc
. Mais en fait la fusée part avec un retard de secondes. Le graphique doit être complété par la deuxième phase par translation de la courbe de
(voir la méthode géométrie). Dans la première phase, la fusée monte bien de m. Mauvaise réponse pour la hauteur maximale dans la première phase
. Dans la deuxième phase la fusée continue bien à monter de m. Mauvaise réponse pour la différence des altitudes maximales des phase 1 et 2. La fusée monte bien jusqu'à
m. Mauvaise réponse pour l'altitude maximale de la fusée. La formule est bien . Mauvaise réponse pour la formule de
La fusée rejoint bien le sol au bout de s. Mauvaise réponse pour le retour au sol de la fusée. Choix : .
L'ordonnée de A est la hauteur maximale dans la phase 1, c'est
m. Compléter le tableau de valeurs de la fonction
. Puis compléter le tableau de valeurs de la fonction
qui prolonge la courbe de
. Voici un carré. Voici deux carrés. Quelle est l'aire totale des parties colorées rouge ou jaune : Voici un rectangle. Quelle est l'aire totale des 3 parties de la figure :
La fusée retardée 2
Trouve l'expression de
.
La fusée au sommet avec réponses intermédiaires
- 0
0
La formule de
est l'une des formules suivante :
Identités remarquables sur dessin
Identité remarquable N°1
Identité remarquable N°1
Nous avons décomposé le carré rose précédent dont l'aire est
.
Quelle est l'aire totale des parties colorées qui composent le carré rose ? Identité remarquable N°2
Identité remarquable N°2
Nous avons décomposé la figure précédente dont l'aire est
(somme des aires ci-dessus)
Donc
(expression développée)
Identité remarquable N°3
Identité remarquable N°3
Nous avons décomposé la figure précédente dont l'aire est