OEF Calculs algébriques avec logarithmes ou exponentielles --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 20 exercices de classe Terminale, sur les calculs algébriques avec des logarithmes et des exponentielles.

Contenu actuel

Pratique de la notation puissance pour les exponentielles de base quelconque.
Réécriture d'expressions numériques ou littérales avec ln ou exp.
Résolution d'inéquations simples avec exponentielles /ou logarithmes ( avec résolution détaillée fournie en fin d'exercice).
Etude de signe d'expression du type c*exp(ax+b) + d ou c*ln(ax+b) + d.
Application des logarithmes aux suites géométriques.

Réécriture avec des exponentielles (1)

On donne , où exp désigne la fonction exponentielle.

Réécrire sous la forme exp( ), où est un entier relatif.

= exp ( ).

Réécriture avec des exponentielles (2)

On donne , où exp désigne la fonction exponentielle.

Réécrire sous la forme exp( ) , où est une expression sans exponentielle.

= exp ( ).

Exponentielles et Notation Puissance

exp désigne la fonction exponentielle de base e.
On considère l'expression .

Réécrire sous la forme exp( ).

= exp ( ).

Réécrire avec une seule exponentielle

Ecrire sous la forme , où l'exposant est développé :

Inéquation du type $c e^{ax + b} + d > 0$

On veut étudier en fonction de le signe de : .
Pour ce faire, on commence par résoudre l'inéquation .

Résolvez l'inéquation sur papier libre puis complétez les affirmations suivantes.

On peut écrire l'équivalence suivante :
On appliquer car le deuxième membre de l'inéquation est .

On peut écrire l'équivalence suivante :
On peut appliquer , car le deuxième membre de l'inéquation est .
En appliquant cette règle, on obtient : .

On peut écrire l'équivalence suivante :
On ne peut pas appliquer , car le deuxième membre de l'inéquation est .
Sachant que pour tout réel t, on conclut que l'inéquation .

En résolvant on obtient :
.
Posons . On dresse alors le tableau de signes suivant :

0

En résolvant on obtient que l'inéquation n'a aucune solution admet tous les réels comme solutions .
On dresse alors le tableau de signes suivant :

Inéquation du type $c e^{ax + b} > d$

On veut résoudre dans l'inéquation (I) : .

Résolvez (I) sur papier libre, en complétant les affirmations suivantes.

On peut écrire l'équivalence suivante :

(I)
On appliquer car le deuxième membre de (I) est .

On peut écrire l'équivalence suivante :

(I)
On peut appliquer , car le deuxième membre de (I) est .
En appliquant cette règle, on obtient finalement : (I) .

On peut écrire l'équivalence suivante :

(I)
On ne peut pas appliquer , car le deuxième membre de (I) est .
Sachant que pour tout réel t, on conclut que l'inéquation (I) .

Inéquation avec logarithmes (1)

On veut résoudre dans l'inéquation (I) : .

Résolvez (I) sur papier libre, puis complétez les affirmations suivantes.

Le premier membre de (I) est défini à condition que .
Le second membre de (I) est défini à condition que .
Pour tout réel vérifiant les conditions 1. et 2. , on a :
On en déduit que l'ensemble des solutions de (I) est

Inéquation avec logarithmes (1 bis)

Cet exercice comporte 3 étapes.

On veut résoudre dans l'inéquation (E) : .

1. Le premier membre de (E) est défini à condition que .

Bonne réponse !

2. Le second membre de (E) est défini à condition que .

Bonne réponse !

3. Effectivement, l'inéquation (E) est défini pour tout réel vérifiant les conditions et .

On peut alors écrire :

On en déduit que l'ensemble des solutions de (I) est

Inéquation avec logarithmes (2)

On veut résoudre dans l'inéquation (I) : .

Résolvez (I) sur papier libre, puis complétez les affirmations suivantes.

Pour écrire vous devez entrer exp(a) ou e^(a).

Le premier membre de (I) est défini si et seulement si .
La condition 1. étant vérifiée, on peut écrire les équivalences suivantes :

(I) ln( )

(I)
L'ensemble des solutions de (I) est

Inéquation avec logarithmes (3)

On veut résoudre dans l'inéquation (I) : .

Résolvez (I) sur papier libre, puis écrivez son ensemble de solutions à l'aide des menus déroulants ci-dessous.

Pour écrire l'ensemble vide, saisir ] 0 , 0 [.

L'ensemble des solutions de (I) est l'intervalle :

] , [

Inéquation résolue en ln

Résoudre dans l'inéquation (I) : .

Il s'agit de répondre aux questions suivantes :

A quelle condition sur le premier membre de (I) est-il défini ?
A quelle condition sur le second membre de (I) est-il défini ?
Pour vérifiant les conditions 1. et 2. , on peut simplifier (I) en une inéquation (I') du premier degré.
Poser l'inéquation (I'). Quelles sont les solutions de (I') ?
En déduire l'ensemble des solutions de (I).
(il faut tenir compte des conditions obtenues en 1., 2. et 3.)

Voici une résolution détaillée de (I) : ) est défini à condition que , c'est à dire que .

ln( ) est défini à condition que , c'est à dire que .

Pour tout réel vérifiant ces deux conditions, on peut ramener (I) à une inéquation du premier degré en appliquant la règle

Les réels solutions de (I) doivent donc vérifier les trois inégalités :
et et

Chaque inégalité définit un intervalle ; l'ensemble des solutions est l'intersection des trois intervalles.

∈    avec =

∈    avec =

∈    avec =

solution de (I) si et seulement si ∈

Formons d'abord l'intersection des deux premiers intervalles :
= =
Cet ensemble est vide, donc a fortiori l'intersection est vide aussi.
Conclusion : L'inéquation (I) n'a aucune solution.

L'intersection de avec est vide.
Conclusion : L'inéquation (I) n'a aucune solution.

Formons ensuite l'intersection avec le troisième intervalle :

Conclusion : L'ensemble des solutions de (I) est .

Réécriture avec des logarithmes (1)

On donne , où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Réécrire sous la forme ln( ), où est un nombre rationnel.

= ln ( ). Réécrire sous la forme où et sont des entiers relatifs.

= .

Réécriture avec des logarithmes (2)

On donne , où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Réécrire comme le logarithme d'un produit :

avec n = et m = . Réécrire comme une somme de logarithmes :

= n ln( ) + m ln( ) avec n = et m = .

Logarithme et suites géométriques

On considère la suite géométrique ( ) de premier terme et de raison .
On cherche pour quelles valeurs de l'entier on a .
Il s'agit donc de résoudre dans l'inéquation (I) :

Résolvez (I) sur papier libre, puis complétez les affirmations suivantes.

La suite géométrique est et .
L'inéquation (I) équivaut à ln( ) / ln(q) .
Les solutions de l'inéquation (I) sont tous les entiers naturels à l'entier = .

Etude d'une fonction logarithme (QCM)

On considère la fonction définie par la formule .
Faites-en l'étude sur papier libre, puis remplissez le questionnaire suivant.

est défini si et seulement si :
Soit l'ensemble de définition de . Parmi les ensembles suivants, lequel est ?
= ] ; +∞ [ = ] -∞ ; [ = [ ; +∞ [ = ] -∞ ; ]

=
Pour tout réel appartenant à , on peut écrire :
= avec = et
Pour , comme est strictement positif, est du signe de .
Donc, sur l'ensemble , on obtient que
Des variations de la fonction on déduit que :

Signe d'une expression avec exp (1)

Etudier, en fonction de le signe de l'expression .

Signe d'une expression avec exp (2)

On veut étudier en fonction de le signe de : .

Pour ce faire, on commence par regarder si ce signe peut être déterminé de manière immédiate.

Sachant que pour tout réel , on conclut que le signe de .

Le signe de ne pouvant pas être trouvé de manière immédiate, on résout l'inéquation :

On peut écrire les équivalences suivantes :

.

.

Sachant que pour tout réel t, le signe de .

On dresse alors le tableau de signes suivant :

En résolvant on obtient :
.

Posons . On dresse alors le tableau de signes suivant :

0

Signe d'une expression avec ln (1)

L'expression est définie si , c'est à dire si appartient à l'intervalle .
On veut étudier dans le signe de l'expression : .

On doit donc résoudre l'inéquation

Compléter les étapes suivantes ; pour écrire vous devez entrer exp(a) ou e^(a).

Pour appartenant à , on peut écrire les équivalences suivantes :

> 0 ln( )

On en déduit le tableau de signes suivant :

0

Signe d'une expression avec ln (2)

L'expression est définie si , c'est à dire si appartient à l'intervalle .
On veut étudier dans le signe de l'expression : .

Résoudre sur papier libre l'inéquation puis compléter le tableau de signes.

Pour écrire vous devez entrer exp(a) ou e^(a).

0

Simplifications de base

Simplifier l'expression suivante sous forme d'un entier relatif.
= .
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OEF Calculs algébriques avec logarithmes ou exponentielles --- Introduction ---

Réécriture avec des exponentielles (1)

Réécriture avec des exponentielles (2)

Exponentielles et Notation Puissance

Réécrire avec une seule exponentielle

Inéquation du type ce ax+b+d>0

Inéquation du type ce ax+b>d

Inéquation avec logarithmes (1)

Inéquation avec logarithmes (1 bis)

Inéquation avec logarithmes (2)

Inéquation avec logarithmes (3)

Inéquation résolue en ln

Réécriture avec des logarithmes (1)

Réécriture avec des logarithmes (2)

Logarithme et suites géométriques

Etude d'une fonction logarithme (QCM)

Signe d'une expression avec exp (1)

Signe d'une expression avec exp (2)

Signe d'une expression avec ln (1)

Signe d'une expression avec ln (2)

Simplifications de base

Inéquation du type $c e^{ax + b} + d > 0$

Inéquation du type $c e^{ax + b} > d$