OEF Calculs de limites avec logarithmes ou exponentielles
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 9 exercices sur les calculs de limites
en classes de Terminale (ES, S, STI).
Les compétences requises et testées portent sur :
- les limites des fonctions de référence (polynômes, quotient de polynômes,
exp, ln) aux bornes de leurs ensembles respectifs de définition ;
- les règles opératoires sur les limites (théorèmes sur les limites de sommes, produits, quotients, composées) ;
- la détection des formes indéterminées ;
- les propriétés de croissances comparées entre fonctions
polynômes et fonctions exp ou ln.
Les exercices comportent plusieurs étapes successives. Un exercice continue à se dérouler même
si une réponse fausse a été donnée à l'étape précédente. Les réponses justes sont
indiquées après chaque étape, afin de pouvoir continuer correctement les calculs.
Limite de u(x)*exp(kx)
Cet exercice comporte 4 étapes. On considère la fonction
définie sur .
Le but de cet exercice est de calculer par étapes les limites de
, en et en respectivement.
1. On nomme
la fonction
définie sur . Donner les limites de
en et en .
=
et
=
1.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie !
Les limites de
en et en sont :
et
2. Donner maintenant les limites de
en et en :
=
et
=
2.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie !
Les limites de l'exponentielle en et en sont :
et
3. Des résultats précédents, on déduit la limite de
en par
=
3.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie !
Des résultats précédents, et par , on déduit l'égalité
4. Des résultats précédents, on déduit la limite de
en par
=
Consignes de saisie.
- écrire +inf pour désigner
- écrire -inf pour désigner
- pour
écrire exp(X) (ne pas écrire e^(X) ni e^{X})
- écrire les nombres rationnels sous forme de fractions irréductibles
Limite de u(x)*ln(kx)
Cet exercice comporte 4 étapes. On considère la fonction
définie sur . Le but de cet exercice est de calculer par étapes les limites de
, en et en respectivement.
1. On nomme
la fonction
définie sur . Donner les limites de
en et en .
et
1.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie !
Les limites de
en et en sont :
et
2. Donner maintenant les limites de
en et en :
et
=
2.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie !
Les limites du logarithme en et en sont :
et
3. Des résultats précédents, on déduit la limite de
en par
3.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie !
Des résultats précédents, et par , on déduit l'égalité :
4. Des résultats précédents, on déduit la limite de
en par
Consignes de saisie.
- écrire +inf pour désigner
- écrire -inf pour désigner
- pour désigner
, écrire ln(X) et non ln X
- écrire les nombres rationnels sous forme de fractions irréductibles
Limite de k.ln(ax+b) ou k/ln(ax+b)
Cet exercice comporte 5 étapes. Soit
la fonction définie sur par :
.
Le but de cet exercice est de calculer par étapes la limite de
en
.
1. La fonction
est de la forme
avec :
=
et
=
1.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie !
La fonction
est de la forme
avec
et
.
2. Donner la limite de
en .
=
2.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie !
La limite de
en est :
3. Donner la limite de
en
.
=
3.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse est fausse !
Par les résultats du cours, on obtient :
4. En posant
, par composition de limites, on déduit l'égalité :
=
4.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse est fausse !
Par composition, la limite de
en est
.
5. Finalement, par les règles opératoires des limites, on obtient :
=
Consignes de saisie. Ecrire +inf pour
et -inf pour
.
Limite de k.exp(ax+b) ou k/exp(ax+b)
Cet exercice comporte 5 étapes. Soit
la fonction définie sur
par :
.
Le but de cet exercice est de calculer par étapes la limite de
en .
1. La fonction
est de la forme
avec :
=
et
=
1.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie !
La fonction
est de la forme
avec
et
.
2. Donner la limite de
en .
=
2.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie !
La limite de
en est :
3. Donner la limite de
en
.
=
3.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse est fausse !
Par le cours, on obtient :
4. En posant
, sachant
, on déduit l'égalité :
=
4.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse est fausse !
La limite de
en est :
.
5. Finalement, par les règles opératoires des limites, on obtient l'égalité :
=
Consignes de saisie. Ecrire +inf pour
et -inf pour
.
Croissance comparée : limites de base
Cet exercice comporte 2 étapes. Il permet de revoir les limites de référence exprimant les croissances comparées entre exponentielle ou logarithme d'une variable et puissances de cette même variable.
1. L'affirmation « » est :
1. L'affirmation « » est .
L'affirmation juste est : « ».
2. Formellement, cela signifie qu'on a :
=
Consignes de saisie. Ecrire +inf pour
et -inf pour
.
Formes indéterminées ou non avec ln ou exp
Cet exercice comporte 6 étapes. Soit
la fonction définie sur par :
. La fonction s'écrit donc
avec, pour tout réel
de ,
et
. Le but de cet exercice est de calculer la limite de
en .
1. Donner la limite de
en :
=
1.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse () n'est pas la bonne !
La limite de
en est :
2. Donner la limite de
en :
=
2.
Votre réponse est juste !
Hélas, votre réponse () n'est pas bonne !
La limite de
en est :
3. Donner la limite de
en
=
3.
Votre réponse est juste !
4. En posant
, sachant que
, on déduit l'égalité :
=
4.
Votre réponse est juste !
Votre réponse () n'est pas correcte !
La limite de
en est :
.
5. Peut-on déduire la limite en de
en appliquant les règles opératoires sur les limites ?
5.
Votre réponse est juste !
Votre réponse () est erronée !
Les règles opératoires des limites sont valables ici, car il n'y a aucune forme indéterminée.
On ne peut pas appliquer les règles opératoires des limites, car il y a une forme indéterminée du type . On applique alors les règles de croissance comparée :
"l'exponentielle l'emporte sur les polynômes".
"les polynômes l'emportent sur le logarithme".
On obtient donc :
=
Consignes de saisie. Ecrire +inf pour
et -inf pour
.
Formes indéterminées ou non avec exponentielle
Cet exercice comporte 6 étapes. Soit
la fonction définie sur par :
. La fonction s'écrit donc
avec, pour tout réel
de ,
et
. Le but de cet exercice est de calculer la limite de
en .
1. Donner la limite de
en :
=
1.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse () n'est pas la bonne !
La limite de
en est :
2. Donner la limite de
en :
=
2.
Votre réponse est juste !
Hélas, votre réponse () n'est pas bonne !
La limite de
en est :
3. Donner la limite de
en
=
4. En posant
, sachant que
, on déduit l'égalité
=
4.
Votre réponse est juste !
Votre réponse () n'est pas correcte !
La limite de
en est:
.
5. Peut-on déduire la limite en de
en appliquant les règles opératoires sur les limites ?
5.
Votre réponse est juste !
Votre réponse () est erronée !
Les règles opératoires des limites sont valables ici, car il n'y a aucune forme indéterminée.
On ne peut pas appliquer les règles opératoires des limites, car il y a une forme indéterminée du type . On applique alors les règles de croissance comparée :
"l'exponentielle l'emporte sur les polynômes".
"les polynômes l'emportent sur le logarithme".
On obtient donc :
=
Consignes de saisie. Ecrire +inf pour
et -inf pour
.
Formes indéterminées ou non avec logarithme
Cet exercice comporte 6 étapes. Soit
la fonction définie sur par :
. La fonction s'écrit donc
avec, pour tout réel
de ,
et
. Le but de cet exercice est de calculer la limite de
en .
1. Donner la limite de
en :
=
1.
Votre réponse est juste !
Attention, votre réponse () n'est pas la bonne !
La limite de
en est :
2. Donner la limite de
en :
=
2.
Votre réponse est juste !
Hélas, votre réponse () n'est pas bonne !
La limite de
en est :
3. Donner la limite de
en
=
3.
Votre réponse est juste !
Humm, votre réponse () n'est pas correcte !
4. En posant
, sachant que
, on déduit l'égalité :
=
4.
Votre réponse est juste !
Votre réponse () n'est pas correcte !
La limite de
en est :
.
5. Peut-on déduire la limite en de
en appliquant les règles opératoires sur les limites ?
5.
Votre réponse est juste !
Votre réponse () est erronée !
Les règles opératoires des limites sont valables ici, car il n'y a aucune forme indéterminée.
On ne peut pas appliquer les règles opératoires des limites, car il y a une forme indéterminée du type . On applique alors les règles de croissance comparée :
"l'exponentielle l'emporte sur les polynômes".
"les polynômes l'emportent sur le logarithme".
On obtient donc :
=
Consignes de saisie. Ecrire +inf pour
et -inf pour
.
Limites de référence (QUIZZ)
Dans cet exercice on exerce le calcul mental sur les limites de référence au programme de Terminale. Il faut répondre rapidement !
Consignes de saisie. Ecrire +inf pour désigner
et -inf pour désigner
.
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