Plan d'étude d'une fonction

Introduction

Ce cours présente la liste des étapes à suivre pour étudier une fonction et tracer sa courbe représentative, ainsi que les applications qui en découlent naturellement. Chaque chapitre est illustré par des exemples et des exercices traitant ponctuellement des notions étudiées. Chacun des points mentionnés ici est souvent repris plus en détail dans les documents WIMS du même nom, lorsqu'ils existent, auxquels nous renvoyons souvent.

La très grande majorité des notions abordées ici relève des connaissances demandées au niveau lycée. D'autres (qui seront précisées) se situent davantage au niveau L1. Mais les points abordés sont aisément compréhensibles par tous ceux qui veulent s'intéresser au sujet !

Ce cours est un complément au cours sur les fonctions Fonctions, applications auquel on pourra très utilement se référer.

Sommaire.

Généralités.
Limites.
Continuité.
- Continuité
- Prolongement par continuité. Exercices
Comportement à l'infini.
Dérivation.
Concavité, points d'inflexion.
Représentation de la courbe.
- Tracé de la courbe

Ensemble de définition

Définitions, rappels.

Étant donnés deux ensembles $E$ et $F$ , on définit une fonction $f$ de $E$ dans $F$ si à chaque élément $x$ de $E$ est associé au plus un élément de $F$ (que l'on notera $f (x)$ s'il existe), appelé image de $x$ par $f$ .
On appelle ensemble de définition de $f$ l'ensemble des $x$ de E qui ont une image $y$ dans $F$ . Dans le cas des fonctions de variable réelle, cet ensemble est un intervalle ou une réunion d'intervalles réels . Dans ce cas, on dit que $x$ est l'antécédent de $y$ . L'ensemble de départ est donc une partie de $E$ , souvent notée $D_{f}$ .
On parle d'application de $E$ dans l'ensemble $F$ , lorsque l'ensemble de définition de $f$ est $E$ tout entier.
Avec ces définitions, $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ est une fonction de $ℝ$ dans $ℝ$ et une application de $ℝ^{*}$ dans $ℝ$ .

Outre l'écriture d'une fonction avec une expression mathématique explicite, on peut aussi définir des fonctions par un diagramme sagittal, un tableau, ou une représentation graphique. Voir, pour des exemples, le Doc Wims sur Fonctions, applications .

Exemples.

Voir ces cas simples et les exemples associés. Ensembles de définition
$E = ℝ, F = ℝ f_{1} : x \mapsto x^{3} + 5 x - 2$ ou $f_{2}$ définie par $f_{2} (x) = \frac{e^{2 x}}{3 x - 1}$
$E = ℝ^{2}, F = ℝ (u, v) \mapsto \sqrt{\ln (2 u + v^{3})}$
$E = ℝ, F = ℝ^{2} t \mapsto (t - \sin (t), 1 - \cos (t))$

Quelques résultats connus.

Les fonctions polynômes de $ℝ$ dans $ℝ$ , les fonctions sinus, cosinus, exponentielles sont définies sur $ℝ$ . La fonction $\ln$ est définie sur $ℝ_{+}^{*}$ .
Les dénominateurs ne peuvent pas s'annuler. Si $f$ est un quotient, $f = \frac{N}{D}$ , alors $D$ doit être non nul et il faut exclure de $D_{f}$ toutes les valeurs annulant $D$ .
Si $f_{1} (x) = \frac{x - 3}{x^{2} - x - 6}$ , alors $D_{f_{1}} = ℝ ∖ {- 2, 3}$ . Si $f_{2} (x) = \frac{x - 3}{e^{x} - 2}$ , alors $D_{f_{2}} = ℝ ∖ {\ln 2}$ .
Ce qui se trouve sous une racine carrée doit être positif ou nul. Écrire $f = \sqrt{A}$ suppose $A$ positif ou nul, et il faut exclure de $D_{f}$ les valeurs de $x$ pour lesquelles $A$ est strictement négatif.
Si $f_{3} (x) = \sqrt{x^{2} - 36}$ , alors $D_{f_{3}} =] - ∞, - 6] \cup [6 + ∞ [$ .
On ne peut écrire le logarithme que d'une quantité strictement positive. $f = \ln B$ suppose $B$ strictement positif, et il faut exclure de $D_{f}$ les valeurs de $x$ pour lesquelles $B$ est négatif ou nul. Si $f_{4} (x) = \ln (2 x + 1)$ alors $D_{f_{4}} =] - \frac{1}{2}, + ∞ [$
Si l'on compose deux fonctions $f$ et $g$ avec $g \circ f : x \mapsto g (f (x))$ (Voir le cours ici ), alors l'ensemble de départ de $g \circ f$ n'est pas obligatoirement celui de la première fonction $f$ . Il faut chercher les éléments de l'ensemble de départ qui sont dans $D_{f}$ et dont les images $f (x)$ appartiennent à $D_{g}$ .

Remarque : Si l'on prend la restriction (définition d'une restriction ici ) d'une fonction $f$ de $E$ dans $F$ à son ensemble de définition $D_{f}$ , alors on crée une application que l'on peut noter $\tilde{f}$ de $D_{f}$ dans $F$ .

On trouvera des exercices sur la page suivante

Exercices

Exercices sur le chapitre précédent.

Recherche d'ensembles de définition simples
Associer une fonction et son ensemble de définition
Recherche de l'ensemble de départ

Exercice. Sur quelles parties de

ℝ

les deux termes

\frac{2 x + 3}{x - 1}

\ln (x)

sont-ils définis ? On définit alors les deux fonctions

f : x \mapsto \frac{2 x + 3}{x - 1}

g : x \mapsto \ln (x)

, quel est l'ensemble de définition de la composée de

g

par

f

(

f

suivie de

g

) ?

Solution.

$\frac{2 x + 3}{x - 1}$ est défini sur $ℝ - {1}$ . La fonction $\ln$ est définie sur $ℝ_{+}^{*}$ .
$g \circ f (x) = g (f (x)) = g (\frac{2 x + 3}{x - 1}) = \ln (\frac{2 x + 3}{x - 1})$
Il faut déjà que $x \neq 1$ . De plus $f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ doit être dans $D_{g}$ , et doit donc être strictement positif. Il faut donc (tableau de signes ou théorème sur le signe du trinôme) que $x$ soit à l'extérieur de $[- \frac{3}{2}, 1]$

En regroupant les deux résultats, on arrive à :

D_{g \circ f} = ℝ ∖ [- \frac{3}{2}, 1]

Ensemble d'étude

L'ensemble de définition étant trouvé, on peut (on doit) tenir compte d'éventuelles particularités algébriques de la fonction pour ne l'étudier que sur une partie de l'ensemble de définition, que l'on appellera ensemble d'étude.
On étudie pour cela les propriétés éventuelles de parité et de périodicité de la fonction, qui vont restreindre cet ensemble de définition.

Soit $f$ une fonction de $ℝ$ dans $ℝ$ , et $C$ sa représentation graphique dans un repère $(O, \overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{j})$ .

Définitions.

On dit qu'une fonction $f$ est paire si :
- son ensemble de définition $D_{f}$ est centré en 0.
- $\forall x \in D_{f}, f (- x) = f (x)$
Solution.
Dans ce cas, sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. On limitera donc l'étude de $f$ à la partie positive (ou négative) de l'ensemble de départ. Le tracé complet de $C$ s'obtient en en construisant le symétrique de la partie tracée par rapport à l'axe des ordonnées (symétrie axiale).
On dit qu'une fonction $f$ est impaire si :
- son ensemble de définition $D_{f}$ est centré en 0.
- $\forall x \in D_{f}, f (- x) = - f (x)$
Solution.
Dans ce cas, sa représentation graphique est symétrique par rapport au point $O$ , origine des axes. On limitera l'étude de $f$ à la partie positive (ou négative) de l'ensemble de départ. Le tracé complet de $C$ s'obtient en en construisant le symétrique de la partie tracée par rapport au point $O$ (symétrie centrale).
Une fonction $f$ définie sur $ℝ$ est périodique de période $T$ ou $T$ -périodique si $T$ est un réel strictement positif, tel que : $\forall x \in D_{f}, f (x + T) = f (x)$ . On note parfois $T_{0}$ le plus petit réel strictement positif pour lequel $f$ est $T$ -périodique.

Solution. Pour tracer la courbe représentative, on étudie la fonction $f$ sur un intervalle de longueur $T$ judicieusement choisi. La représentation graphique sur $ℝ$ s'obtient alors en traçant la courbe sur cet intervalle de longueur $T$ , puis en lui appliquant des translations successives horizontales de vecteurs $k T \overset{⇀}{i}, k \in ℤ$ .

Les trois fonctions, dont les représentations graphiques sont ci-dessus, sont définies sur $ℝ$ . La première est paire, la seconde impaire et la troisième est périodique de période 5/2, à étudier donc sur $[0, \frac{5}{2}]$ par exemple. Elle est d'ailleurs également paire.

Exercices.

Chercher parmi les fonctions ci-dessous, celles qui sont paires, impaires ou ni l'un ni l'autre.
$f_{1} (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} f_{2} (x) = \frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}} f_{3} (x) = 5 ∣ x - 1 ∣ - 3$
$f_{4} (x) = \frac{e^{2 x} - 1}{e^{2 x} + 1} f_{5} (x) = ∣ \sin (\frac{\frac{π}{3} x^{5}}{x^{2} + 1}) ∣$ .
Solution. $f_{1}$ et $f_{4}$ sont impaires, $f_{2}$ et $f_{5}$ sont paires, $f_{3}$ n'est ni paire ni impaire.
La somme de deux fonctions paires est-elle paire ? Leur produit ? Même question si elles sont impaires.
Solution. Revenir aux définitions. La somme et le produit de deux fonctions paires sont pairs. La somme de deux fonctions impaires est impaire, le produit de deux fonctions impaires est pair.
Donner la plus petite période des deux fonctions suivantes : $g_{1} (x) = \cos (\frac{2 x}{3} - 4) g_{2} (x) = \cos^{2} (x)$ .
Solution.
- On cherche donc $T_{1} \in ℝ_{+}^{*}$ tel que pour tout $x$ réel :
  $\cos (\frac{2 (x + T_{1})}{3} - 4) = \cos (\frac{2 x}{3} - 4) ⟺ (\frac{2 (x + T_{1})}{3} - 4) = \pm (\frac{2 x}{3} - 4) + 2 k π k \in ℤ$
  En menant les deux calculs, on arrive à :
  $T_{1} = 3 k π$ ou $T_{1} = 12 - 2 x + 3 k π$
  La seconde égalité ne conduit à rien, le membre de gauche étant constant et celui de droite variable.
  La première donne la plus petite période strictement positive pour $k = 1$ , soit : $T_{1} = 3 π$
- $\cos^{2} (x) = \frac{\cos (2 x) + 1}{2}$ . On est ramené à chercher la plus petite période de $\cos 2 x$ . On arrive facilement à $T_{2} = π$ .
$f$ est une fonction définie sur $ℝ$ , périodique admettant 12 et 13 pour périodes. Montrer qu'elle est aussi périodique de période 1.
Solution. En utilisant le fait que $f$ est 12-périodique, on écrit :
Pour tout $x$ réel, $f (x + 1) = f (x + 1 + 12) = f (x + 13)$ .
Mais $f$ est aussi 13-pérodique, donc $f (x + 13) = f (x)$ . D'où le résultat en combinant les deux écritures :
$f (x) = f (x + 1)$ et ainsi $f$ est 1-périodique.
Montrer qu'une fonction à la fois croissante et T-périodique est constante (plus difficile).
Indication : on prendra $x$ et $y$ réels quelconque, et $k$ dans $ℤ$ tel que : $x - kT \leq y \leq x + kT$ ).
Solution. Soit $x$ et $y$ réels quelconques. Il existe $k$ dans $ℤ$ tel que : $x - kT \leq y \leq x + kT$ . $f$ étant T- périodique $f (x - kT) = f (x + kT) = f (x)$ . En utilisant le fait que $f$ est croissante, il vient :
$f (x) = f (x - kT) \leq f (y) \leq f (x + kT) = f (x)$ ,
c'est-à-dire $f (x) \leq f (y) \leq f (x)$ . Donc $f (x) = f (y)$ et $f$ est constante.

Limites

Lorsqu'on trace la courbe représentative d'une fonction avec une calculatrice graphique, on voit vite que, si $x$ prend de grandes valeurs, les comportements graphiques peuvent être très différents. Voir ces exemples,

Faites des essais avec les fonctions suivantes pour visualiser d'autres comportements :

f_{1} (x) = x^{2, 5} f_{2} (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}

;

f_{3} (x) = \cos (\frac{1}{x})

;

f_{4} (x) = \frac{2 x - 1}{x - 5}

f_{3} (x) = \frac{\sin (x)}{x}

Définitions. Soit

f

une fonction définie sur un intervalle [

a; + ∞

[ de

ℝ

(

a

réel quelconque).

On dit qu'une fonction $f$ tend vers un réel $l$ lorsque $x$ tend vers $+ ∞$ si $f (x)$ est aussi proche de $l$ que l'on veut, dès lors que $x$ est suffisamment grand. Ceci se note : $\lim_{x \to + ∞} f (x) = l$
On dit qu'une fonction $f$ tend vers $+ ∞$ (resp. $- ∞$ ) lorsque $x$ tend vers $+ ∞$ si, $A$ étant un réel quelconque que l'on se donne, il existe un réel $x_{0}$ tel que pour toutes les valeurs de $x$ de $D_{f}$ supérieures à $x_{0}$ , $f (x)$ est supérieur (resp. inférieur) à $A$ . Ceci se note : $\lim_{x \to + ∞} f (x) = + ∞$ (resp. $\lim_{x \to + ∞} f (x) = - ∞$ )
Les écritures de ces deux définitions avec des quantificateurs sont données en bas de cette page.

Si $\lim_{x \to + ∞} f (x) = l$ alors, géométriquement parlant, cela signifie que, pour des valeurs de $x$ supérieures à $x_{0}$ , les points $(x, f (x))$ sont dans la bande horizontale $] l - ε, l + ε [$ , quelque soit le réel positif $ε$ .

Exercices.

Limites simples
Limites de fractions rationnelles

On notera la parenté claire de ces définitions de limite, avec celles qui ont été données pour les limites des suites.
On peut aussi formuler cette première définition de la façon suivante :
• [ $f (x)$ est aussi proche de $l$ que l'on veut], peut s'écrire : pour tout $ε$ strictement positif, $∣ f (x) - l ∣ < ε$ .
•[ $x$ est suffisamment grand], peut s'écrire : il existe un réel $x_{0}$ , tel que si $x > x_{0}$ .
En recollant les deux parties, on arrive à la définition formelle de l'existence d'une limite $l$ en $+ ∞$ :
Pour tout $ε$ strictement positif, il existe un réel $x_{0}$ , tel que si $x > x_{0}$ , $∣ f (x) - l ∣ < ε$ .
La réécriture de la seconde définition, en suivant les mêmes principes, conduit à la définition formelle de $\lim_{x \to + ∞} f (x) = + ∞$ qui s'écrit, avec des quantificateurs :
$\forall A \in ℝ, \exists x_{0} \in ℝ, x > x_{0} \Rightarrow f (x) > A$

Montrons, en utilisant la définition formelle de la page précédente, que la fonction définie sur $ℝ - {2}$ par $f (x) = \frac{- 3 x + 1}{x - 2}$ tend vers $- 3$ , si $x$ tend vers $+ ∞$ .

Cet exemple peut, bien sûr, se traiter de façon beaucoup plus rapide avec d'autres méthodes. L'intérêt n'est pas de faire compliqué, mais de comprendre comment on obtient la valeur de $x_{0}$ pour borner la quantité $∣ f (x) - (- 3) ∣ < ε$ , dès lors qu'on s'est donné un $ε$ quelconque.

On choisit donc un

ε

quelconque, mais que l'on fixe, aussi petit que l'on veut et on cherche un réel

x_{0}

tel que si

x > x_{0}

, alors

∣ f (x) - (- 3) ∣ < ε

∣ f (x) - (- 3) ∣ = ∣ \frac{- 3 x + 1}{x - 2} + 3 ∣ = ∣ \frac{- 3 x + 1 + 3 (x - 2)}{x - 2} ∣ = ∣ \frac{- 5}{x - 2} ∣ = ∣ \frac{5}{x - 2} ∣ < ε

.
On peut ôter les valeurs absolues puisqu'on cherche à prouver l'existence de la limite en

+ ∞

. Il vient :

\frac{5}{x - 2} < ε

qui est équivalent à

x > \frac{5 + 2 ε}{ε}

. Voici le

x_{0} = \frac{5 + 2 ε}{ε}

que l'on cherchait.
Si, par exemple, on choisit

ε = 0, 01

, on trouve

x_{0} = 502

. Les valeurs de

f (x)

seront donc comprises entre

- 3, 01

- 2, 99

dès lors que

x

est supérieur à 502.

Limite finie en un point, limite à droite, limite à gauche.

Dans cette partie, une partie de l'étude n'est pas explicitement au programme des classes terminales et concerne des étudiants post-bac.

Définitions. Soit

f

une fonction et

a

un point de

D_{f}

ou une de ses extrémités réelles.

On dit qu'une fonction $f$ tend vers le réel $l$ lorsque $x$ tend vers $a$ , ou que $f$ admet $l$ pour limite lorsque $x$ tend vers $a$ , si $f (x)$ peut être aussi proche de $l$ que l'on veut, dès lors que $x$ est suffisamment proche de $a$ . Si cette limite existe, alors elle est unique et on note : $\lim_{x \to a} f (x) = l$
• Ou, si l'on veut l'écrire avec des quantificateurs : $\forall ε > 0, \exists α > 0, \forall x \in D_{f}, ∣ x - a ∣ < α \Rightarrow ∣ f (x) - l ∣ < ε$
On dit qu'une fonction $f$ admet $l$ pour limite à droite en $a$ , ou que $f$ tend vers $l$ à droite en $a$ si, en considérant la restriction de $f$ à $] a, + ∞ [\cap D_{f}$ , $f (x)$ peut être aussi proche de $l$ que l'on veut, dès lors que $x$ tend vers $a$ , en étant supérieur à $a$ . Cette limite est unique et on note : $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = l$
• Avec des quantificateurs : $\forall ε > 0, \exists α > 0, \forall x \in D_{f}, 0 < ∣ x - a ∣ < α \Rightarrow ∣ f (x) - l ∣ < ε$
Définition analogue pour une limite $l'$ à gauche en $a$ . $\lim_{x \to a^{-}} f (x) = l'$ .

Propriétés.

Si une fonction $f$ est définie en $a$ et si elle admet une limite $l$ en $a$ , alors $l = f (a)$ .
Cette définition sera reprise pour la continuité.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ , mais pas définie en $a$ . Alors $f$ admet une limite l en $a$ si et seulement si elle admet en $a$ une limite à gauche et une limite à droite, et si ces limites sont égales. (Point G dans l'illustration graphique ci-dessous)

Quelques illustrations graphiques de ces notions pour la fonction représentée ci-dessous :

En -2 la fonction a une limite à gauche (égale à 2,5), une limite à droite (égale à -1,8 ), mais pas de limite.
En $1, 6$ la fonction a une limite à gauche, une limite à droite et une limite (toutes égales à 6).
En 3 la fonction a une limite à gauche, une limite à droite et une limite (toutes égales à 2,3 environ).
En 7 la fonction a une limite à gauche et une limite à droite (égales à 3,5), ( $f (7) = 1$ ), mais pas de limite.
En 10 où $f$ n'est pas définie, la fonction a une limite à gauche, une limite à droite et une limite (égales à 3,7).

Exercices.

Limites avec exponentielles
On considère la fonction "partie entière" de x, définie sur $ℝ$ , notée $f (x) = ⌊ x ⌋$ .
A-t-elle une limite à droite, à gauche, une limite tout court, en 3 ?
(Rappel : tout réel $x$ est encadré par deux entiers relatifs consécutifs uniques, $n$ et $n + 1$ . Par définition, $n$ est la partie entière de $x$ que l'on note $⌊ x ⌋$ . On rencontrera également, trois chapitres plus loin, la notation $E [x]$ .
Ainsi $⌊ 3, 45 ⌋ = 3$ , $⌊ 0, 258 ⌋ = 0$ , $⌊ - 12, 52 ⌋ = - 13$ .
C'est l'unique entier tel que : $⌊ x ⌋ \leq x < ⌊ x ⌋ + 1$ ).
Si $x$ tend vers 3, avec $x$ proche de 3 et $x < 3$ alors $⌊ x ⌋ = 2$ . Donc $\lim_{x \to 3, x < 3} f (x) = 2$
Si $x$ tend vers 3, avec $x$ proche de 3 et $x \geq 3$ alors $⌊ x ⌋ = 3$ . Donc $\lim_{x \to 3, x > 3} f (x) = 3$ . La fonction n'a pas de limite en 3.
On considère la fonction définie sur $ℝ$ par $g (x) = x^{2} - ⌊ x ⌋$ .
A-t-elle une limite à droite, à gauche, une limite, en 3 ?
Solution. $g (3) = 6$ . Si $x$ tend vers 3, avec $x < 3$ alors $g (x) = x^{2} - 2$
Si $x$ tend vers 3, avec $x \geq 3$ alors $g (x) = x^{2} - 3$ .
On a ansi : $\lim_{x \to 3, x < 3} g (x) = 7$ (la limite à gauche) et $\lim_{x \to 3, x > 3} g (x) = 6$ (la limite à droite). Et $g$ n'a pas de limite en 3.
On considère la fonction $h$ définie sur $ℝ^{*}$ par $h (x) = e^{- \frac{1}{x}}$ .
A-t-elle une limite à droite, à gauche, une limite en 0 ?
Solution. Si $x$ tend vers 0, avec $x < 0$ alors $- \frac{1}{x} \mapsto + ∞$ et donc $\lim_{x \to 0, x < 0} h (x) = + ∞$
Si $x$ tend vers 0, avec $x > 0$ alors $- \frac{1}{x} \mapsto - ∞$ et donc $\lim_{x \to 0, x > 0} h (x) = 0$
$h$ admet donc en 0 une limite à droite (nulle), et une limite infinie à gauche.

Opérations sur les limites.

Propriétés générales.

Propriétés algébriques.

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur une même partie de $ℝ$ et $x_{0}$ un réel élément ou extrémité de $I$ . Soit $k$ un réel non nul.

Produit par un réel $k$ .
Si, lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ , $f$ tend vers $l$ fini, et si $k$ est réel, alors $k f$ tend vers $k l$ .
Si, lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ , $f$ tend vers $+ ∞$ , $k f$ tend $+ ∞$ si $k$ est positif, vers $- ∞$ si $k$ est négatif.
Si, lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ , $f$ tend vers $- ∞$ , $k f$ tend vers $- ∞$ si $k$ est positif, vers $+ ∞$ si $k$ est négatif.
Somme.
Si, lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ , $f$ tend vers $l$ et $g$ vers $l'$ alors, si $l$ et $l'$ sont finies, $f + g$ tend vers $l + l'$ .
Si $l$ est finie et $l'$ infinie (par exemple $+ ∞$ (resp. - $∞$ )), alors $f + g$ tend vers $+ ∞$ (resp. - $∞$ ).
Si $f$ et $g$ tendent vers $+ ∞$ (resp. - $∞$ ), alors $f + g$ tend vers $+ ∞$ (resp. - $∞$ ). Il reste un cas : lorsqu'une des deux fonctions tend vers $+ ∞$ et l'autre vers $- ∞$ , on est en présence d'une "forme indéterminée" notée symboliquement $∞ - ∞$ (Voir ci-dessous).
Produit.
Si, lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ , $f$ tend vers $l$ et $g$ vers $l'$ alors, si $l$ et $l'$ sont finies, $f g$ tend vers $l l'$ .
Si $l$ est fini (non nul) et $l'$ infini, alors le produit $f g$ tend vers l'infini avec un signe qui respecte la règle des signes.
Si $l$ et $l'$ sont infinies, alors le produit $f g$ tend vers l'infini avec un signe qui respecte la règle des signes.
Il reste un cas : lorsqu'une des deux fonctions tend vers $0$ et l'autre vers l'infini, où l'on ne sait pas conclure immédiatement, On est, à nouveau, en présence d'une forme indéterminée, notée symboliquement $0 \times ∞$ (Voir ci-dessous).
Inverse.
Si, lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ , $f$ tend vers $l \neq 0$ alors $\frac{1}{f}$ tend vers $\frac{1}{l}$ .
Si $l = 0$ , et si $f$ est positive (resp. négative) sur un voisinage de $x_{0}$ , alors $\frac{1}{f}$ tend vers $+ ∞$ (resp. $- ∞$ ).
Si $f$ tend vers $+ ∞$ (resp. $- ∞$ ), alors $\frac{1}{f}$ tend vers $0^{+}$ (resp. $0^{-}$ ).
Quotient.
On suppose que, si $x$ tend vers $x_{0}$ , $f$ tend vers $l$ et que $g$ tend vers $l'$ en restant non nul dans un intervalle ouvert contenant $x_{0}$ .
Comme $\frac{f}{g} = f \times \frac{1}{g}$ , il suffit d'appliquer les deux règles précédentes, sur l'inverse et le produit, pour avoir le résultat.
On notera que deux formes indéterminées apparaissent, notées symboliquement $\frac{0}{0}$ et $\frac{∞}{∞}$ où l'on en sait pas conclure directement.

Formes indéterminées.

On a vu ainsi apparaître dans les propriétés ci-dessus quatre cas où l'on ne savait pas conclure. On les appelle donc formes indéterminées : $∞ - ∞$ , $0 \times ∞$ , $\frac{0}{0}$ et $\frac{∞}{∞}$ . Le mot "indéterminée" ne doit pas tromper, ce sont des formes à déterminer que l'on étudiera quelques chapitres plus loin dans ce document.

Les exercices concernant ces résultats sont dans les chapitres suivants

Théorèmes et exercices sur les limites

Rapidité de croissance et comparaison

Certaines fonctions tendent vers l'infini plus vite que d'autres lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ (fini ou infini). Il s'agit de préciser ici, entre deux fonctions tendant par exemple vers $+ ∞$ , celle des deux "qui tend le plus rapidement vers $+ ∞$ " ou celle "qui croît plus vite que l'autre" vers $+ ∞$ .

Rappel de résultats.

Les fonctions du type logarithme croissent moins vite en $+ ∞$ que toutes les fonctions puissance de la forme $f (x) = x^{n}$ avec n rationnel strictement positif.
Les fonctions puissance, $f (x) = x^{n}$ avec n rationnel strictement positif, croissent d'autant plus vite en $+ ∞$ que $n$ est grand, et plus vite que les fonctions de type logarihme.
Les fonctions du type exponentielle croissent plus vite en $+ ∞$ que toutes les fonctions puissance.

Rappelons quelques résultats connus (ou à connaître).

Théorèmes de croissances comparées.

Les fonctions polynômes se comportent à l'infini comme leur terme de plus haut degré.
Les fractions rationnelles (rapport de deux fonctions polynômes) se comportent à l'infini comme le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Théorèmes de croissance comparée (On supposera ici $n$ entier naturel non nul) :
$\lim_{x \to + ∞} \frac{e^{x}}{x^{n}} = + ∞ \lim_{x \to + ∞} \frac{\ln x}{x^{n}} = 0 \lim_{x \to - ∞} x^{n} e^{x} = 0 \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0^{+}} x^{n} \ln x = 0 \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Remarque : à partir des résultats ci-dessus, on peut en obtenir d'autres, en particulier si $x$ tend vers une valeur finie non nulle.
Exemple : calcul de $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1}$ . On peut se ramener en 0, en posant $X = x - 1$ . La condition " $x$ tend vers 1" est remplacée par " $X$ tend vers 0. Le problème est alors celui de la recherche de $\lim_{X \to 0} \frac{\ln (X + 1)}{X}$ et la réponse est dans les théorèmes : $\lim_{X \to 0} \frac{\ln (X + 1)}{X} = 1 = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1}$

Ces dernières propriétés sont extrêmement utiles pour les calculs de limites, en particulier pour "lever" des formes dites "indéterminées" [improprement ainsi nommées, car ce sont des résultats "à" déterminer…].

C'est l'objet des deux parties suivantes.

Exercices.

Déterminer les limites des fonctions suivantes :
a/ $\lim_{x \to 1} \frac{- 2 x^{2} + 5 x - 3}{x - 1}$ b/ $\lim_{x \to + ∞} \frac{- 3 x^{2} + 5 x - 1}{4 x^{2} + x + 1}$ c/ $\lim_{x \to + ∞} \frac{2 x - 1}{x^{2} + 5}$
d/ $\lim_{x \to + ∞} \frac{x^{2} - 4}{\sqrt{2} - \sqrt{x}}$ e/ $\lim_{x \to - ∞} \frac{1}{1 + e^{- x}}$ f/ $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x + 2} - e^{2}}{x}$

a/ $1$ b/ - $\frac{3}{4}$ c/ $0^{+}$ d/ $- ∞$ e/ $0^{+}$ f/ $3 e^{2}$
Limites et comparaison
Croissance comparée
Limites de référence . On utilisera éventuellement la Remarque ci-dessus.
Opérations sur les limites . On utilisera les théorèmes de croissance comparée ci-dessus en posant si besoin $X = - x$ .

Encadrement et comparaison

Théorème d'encadrement (théorème des gendarmes).
Soienr

f, g, h

trois fonctions définies sur un intervalle

I

l

un nombre réel et

x_{0}

un élément ou une extrémité de

I

.
On suppose que :

$\lim_{x \to x_{0}} f (x) = l$ et que $\lim_{x \to x_{0}} h (x) = l$
Il existe un voisinage $V$ de $x_{0}$ , inclus dans $I$ , tel que pour tout $x$ de $V$ on ait : $f (x) \leq g (x) \leq h (x)$

Alors,

g

admet une limite en

x_{0}

\lim_{x \to x_{0}} g (x) = l

Exemple.
Limite en

+ ∞

de la fonction

f

définie sur

ℝ^{*}

par

f (x) = \frac{\sin (x)}{x}

? On sait que, pour tout

x

réel

- 1 \leq \sin (x) \leq 1

donc, comme

x

est positif :

\frac{- 1}{x} \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq \frac{1}{x}

. Grace au théorème d'encadrement, on en déduit que

\lim_{x \to x_{+} ∞} \frac{\sin (x)}{x} = 0

Théorème d'existence d'une limite par majoration et minoration..
Soient

f

g

deux fonctions définies sur

I

x_{0}

un élément ou une extrémité de

I

. On suppose qu'il existe un voisinage

V

x_{0}

, inclus dans

I

, tel que : pour tout

x

V

f (x) \leq g (x)

Si $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = + ∞$ , alors $\lim_{x \to x_{0}} g (x) = + ∞$ .
Si $\lim_{x \to x_{0}} g (x) = - ∞$ , alors $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = - ∞$ .

Exercice.

Soit $f$ une fonction telle que pour tout $x$ non nul, $3 + e^{- x} \leq f (x) \leq \frac{3 x - 1}{x}$ . Quelle est la limite de $f$ en $+ ∞$ .
La fonction $f$ est encadrée par $f_{1} (x) = 3 + e^{- x}$ et $f_{2} (x) = \frac{3 x - 1}{x} = 3 - \frac{1}{x}$ . Les deux fonctions qui encadrent tendent vers 3 en $+ ∞$ , donc en appliquant le théorème des gendarmes : $\lim_{x \to + ∞} f (x) = 3$
Quelle est la limite en $+ ∞$ de la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f (x) = \frac{\sin (x) + x}{\sin (x) + 2}$
On peut encadrer le numérateur par $- 1 + x \leq \sin (x) + x \leq 1 + x$ et le dénominateur par $- 1 + 2 \leq \sin (x) + 2 \leq 1 + 2$
En remarquant que puisque $x$ tend vers $+ ∞$ toutes les expressions sont positives, on peut appliquer les règles de majoration/minoration des fractions : $\frac{- 1 + x}{3} \leq \frac{\sin (x) + x}{\sin (x) + 2} \leq \frac{1 + x}{1}$ . L'encadrement permet de conclure : $\lim_{x \to + ∞} \frac{\sin (x) + x}{\sin (x) + 2} = + ∞$ .
On rappelle que si $x$ est un nombre réel, la notation $E [x]$ désigne également sa partie entière, c'est-à-dire le plus petit entier relatif qui lui est immédiatement inférieur ou égal.
Ainsi $E [3, 45] = 3$ , $E [0, 258] = 0$ , $E [- 12, 52] = - 13$ .
On a également le résultat général : pour tout $x$ réel, $E [x] \leq x < E [x] + 1$
On cherche à démontrer le résultat : $\lim_{x \to 0} x E [\frac{1}{x}] = 1$
Pour tout $x$ réel $E [\frac{1}{x}] \leq \frac{1}{x} < E [\frac{1}{x}] + 1$ , d'où : $\frac{1}{x} - 1 < E [\frac{1}{x}] \leq \frac{1}{x}$
Si $x > 0$ : $1 - x < x E [\frac{1}{x}] \leq 1$ .
Si $x < 0$ : $1 \leq x E [\frac{1}{x}] < 1 - x$
Dans les deux cas, en faisant tendre $x$ vers 0, avec le théorème d'encadrement on a le résultat cherché : $\lim_{x \to 0} x E [\frac{1}{x}] = 1$
Trouver la limite : $\lim_{x \to 0, x > 0} \frac{\sin (\frac{1}{x})}{e^{\frac{1}{x}} + 1}$
$\forall x \in ℝ^{*} ∣ \sin (\frac{1}{x}) ∣ \leq 1$ donc $∣ \frac{\sin (\frac{1}{x})}{e^{\frac{1}{x}} + 1} ∣ \leq \frac{1}{e^{\frac{1}{x}} + 1}$
Or $\lim_{x \to 0, x > 0} e^{\frac{1}{x}} + 1 = + ∞$ et $\lim_{x \to 0, x > 0} \frac{1}{e^{\frac{1}{x}} + 1} = 0$ .
Par le théorème de majoration, la limite cherchée vaut donc 0.

Limite de fonctions composées.

Définition de la composition des fonctions.

La définition et le cours sur les fonctions composées se trouvent --> ici
On peut évidemment composer un nombre quelconque de fonctions, avec le même procédé.

Limite d'une fonction composée.

Théorème. Soient

f

une fonction définie sur

E

g

une fonction définie sur

f (E)

, a un élément de

E

L

L'

deux réels finis ou éventuellement infinis. Si :

\lim_{x \to a} f (x) = L

et si

\lim_{x \to L} g (x) = L'

, alors

\lim_{x \to a} (g \circ f) (x) = L'

Exemple. On cherche la limite en

+ ∞

de la fonction définie sur

[4, + ∞ [

par

φ (x) = \ln (\frac{2 x + 3}{x - 4})

.
On voit que

φ

est la composée

g \circ f

, dans cet ordre, des fonctions définies par

f (x) = (\frac{2 x + 3}{x - 4})

g (x) = \ln (x)

.
On trouve facilement que :

D_{f} = ℝ ∖ {4}

D_{g} = ℝ_{+}^{*}

. Si

x

tend vers

+ ∞

f (x)

tend vers 2 qui se trouve donc dans

D_{g} = ℝ_{+}^{*}

.
On applique le théorème ce qui conduit à :

\lim_{x \to + ∞} (\frac{2 x + 3}{x - 4}) = 2

, et enfin que :

\lim_{x \to 2} \ln (x) = \ln (2

). On en déduit que

\lim_{x \to + ∞} \ln (\frac{2 x + 3}{x - 4}) = \ln (2)

Exercice.

En écrivant les fonctions définies par $φ_{1} (x) = \frac{1}{- x^{2} + 5 x - 1}$ et $φ_{2} (x) = \sqrt{2 x^{2} - 3 x}$ comme composées de deux autres fonctions, trouver les limites en 0 de $φ_{1}$ et en 3 de $φ_{2}$ .
- $φ_{1}$ peut s'écrire comme le composée dans cet ordre de $f_{1} (x) = - x^{2} + 5 x - 1$ , suivie de $g_{1} (x) = \frac{1}{x}$
  $\lim_{x \to 0} f_{1} (x) = - 1$ et $\lim_{x \to - 1} g_{1} (x) = - 1$ donc $\lim_{x \to 0} φ_{1} (x) = \lim_{x \to 0} (g_{1} \circ f_{1}) (x) = - 1$
- $φ_{2}$ peut s'écrire comme le composée dans cet ordre de $f_{2} (x) = 2 x^{2} - 3 x$ , suivie de $g_{2} (x) = \sqrt{x}$
  $\lim_{x \to 3} f_{2} (x) = 18 - 9 = 9$ et $\lim_{x \to 9} g_{2} (x) = \sqrt{9} = 3$ donc $\lim_{x \to 0} φ_{2} (x) = \lim_{x \to 0} (g_{2} \circ f_{2}) (x) = 3$
Calcul de composées 1
Calcul de composées 2
Limite de fonctions composées

Formes indéterminées

Remarques rapides sur les formes indéterminées.

Le plus souvent, on est dans l'une des situations suivantes, où la fonction à étudier est faite de deux parties qui peuvent tendre chacune vers $\pm ∞, 0$ ou $1$ , situation que l'on écrit symboliquement :

$+ ∞ - ∞$ , $\frac{∞}{∞}$ , $\frac{0}{0}$ , $0 \times ∞$ , $1^{∞}$ , $0^{0}$ , $∞^{0}$ .

Voici, sur des exemples, quelques méthodes classiques et simples qui permettent, dans certains cas, de lever ces formes indéterminées.

$+ ∞ - ∞$ . Exemple : Limite de $f (x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}$ , en $+ ∞$ . Les deux racines tendent vers l'infini, on est en présence d'une forme indéterminée $∞ - ∞$ . On peut alors utiliser l'expression conjuguée (qui s'obtient en changeant le signe entre les deux termes tendant vers l'infini) de façon à pouvoir utiliser l'identité remarquable : $\forall a, b \in ℝ (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

$\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})}{(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}$ .
Il n'y a plus d'indétermination, la fonction tend vers $0$ (par valeurs positives) en $+ ∞$
$\frac{∞}{∞}$ . Outre l'utilisation directe des théorèmes de croissance comparée, on aura souvent intérêt à factoriser au numérateur d'une part et au dénominateur de l'autre ce qui tend, dans chacun des deux cas, "le plus rapidement" vers l'infini, sachant (rappelons-le) qu'à l'infini, les fonctions du type logarithme croissent lentement, les fonctions du type puissance plus rapidement et les fonctions de type exponentielle plus rapidement encore.

Limite en $+ ∞$ de $f (x) = \frac{x^{9} + e^{x}}{\ln x + x^{4}}$ . C'est l'exponentielle qui tend le plus vite vers l'infini au numérateur, et $x^{4}$ au dénominateur.
Donc : $f (x) = \frac{e^{x} (1 + \frac{x^{9}}{e^{x}})}{x^{4} (1 + \frac{\ln x}{x^{4}})}$ , et les théorèmes de croissance comparée permettent de conclure rapidement ( $f$ tend vers $+ ∞$ ).
$\frac{0}{0}$ . On se trouve parfois dans cette situation, lorsque $x$ tend vers une valeur finie $a$ . On peut :
(première méthode) Essayer de factoriser par $x - a$ le numérateur et le dénominateur pour une éventuelle simplification.
(deuxième méthode) Poser $x = a \pm ε$ , avec $ε > 0$ . Il est clair que la proposition [ $x \to a$ ] est équivalente à [ $ε \to 0$ ]. Si on veut faire tendre $x$ vers $a$ , $x$ étant strictement supérieur à $a$ , on pose $x = a + ε$ , si on veut faire tendre $x$ vers $a$ , $x$ étant strictement inférieur à $a$ , on pose $x = a - ε$ , et, dans les deux cas, on fait tendre $ε$ vers 0, par valeurs positives.

Limite si $x$ tend vers 2 de $f_{1} (x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + x - 6}$ . Le numérateur, comme le dénominateur, tend vers 0. Après factorisation par $x - 2$ , il vient $f_{1} (x) = \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x + 3)} = \frac{(x + 2)}{(x + 3)}$ qui tend donc vers $\frac{4}{5}$ si x tend vers 2.

Limite si $x$ tend vers $1^{+}$ de $f_{2} (x) = \frac{\ln x}{x^{2} + 5 x - 6}$ . On pose $x = 1 + ε$ ce qui conduit après calculs à $f_{2} (x) = g (ε) = \frac{\ln (1 + ε)}{ε (ε + 7)}$ .
La condition : " $x$ tend vers $1^{+}$ " devient " $ε$ tend vers $0^{+}$ " si on pose $x = 1 + ε$ .
On conclut alors facilement en se souvenant que $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$ . On arrive à : $\lim_{x \to 1, x > 1} f_{2} (x) = \lim_{ε \to 0, ε > 0} g (ε) = \frac{1}{7}$
$0 \times ∞$ . Pas de clef universelle. À nouveau, les théorèmes de croissance comparée (page précédente) peuvent rendre service.

Les exercices d'application sont à la page suivante.

Exercices sur les formes indeterminées.

Exercices.

Opération sur les limites 1
Opération sur les limites 2
Opération sur les limites 3
Limites de référence

Exercices.

$\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x + 8} - 4}{\sqrt[3]{x} - 2}$ . L'expression est définie sur $ℝ ∖ {8}$ On utilisera avec profit l'identité remarquable :
$\forall a, b \in ℝ$ ou $ℂ, a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , utilisée ici (mais on le vérifiera...) sous la forme : $x - 8 = (\sqrt[3]{x} - 2) (\sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} + 4)$

Lorsque $x \to 8$ , c'est une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ . On recherche donc une factorisation par $x - 8$ .
On se souvient alors, fort à propos, de l'identité remarquable $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ (utilisée ici pour : $x - 8 = (\sqrt[3]{x} - 2) (\sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} + 4)$ ) que l'on va utiliser au dénominateur, ainsi que la multiplication par la quantité conjuguée au numérateur.
$\frac{\sqrt{x + 8} - 4}{\sqrt[3]{x} - 2} = \frac{(\sqrt{x + 8} - 4) (\sqrt{x + 8} + 4) (\sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} + 4)}{(\sqrt[3]{x} - 2) (\sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt{x + 8} + 4)} =$
$\frac{(x - 8) (\sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} + 4)}{(x - 8) (\sqrt{x + 8} + 4)} = \frac{(\sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} + 4)}{(\sqrt{x + 8} + 4)}$ , qui n'est plus indéterminé...
$\lim_{x \to + ∞} (1 + \frac{a}{x})^{x} = e^{a}$ , ( $a \neq 0$ ).

Posons $f (x) = (1 + \frac{a}{x})^{x}$ . Lorsqu'on est en présence d'une expression à la puissance $x$ (variable donc), une technique classique consiste (lorsque c'est possible) à prendre le logarithme de l'expression, pour "faire descendre" cet exposant problématique ...
On obtient : $g (x) = \ln [f (x)] = \ln [(1 + \frac{a}{x})^{x}] = x \ln (1 + \frac{a}{x})$ . On pense alors à la propriété $\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t} = 1$ et on modifie l'expression de $g$ pour l'utiliser.
Ce qui conduit à : $g (x) = a \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{a}{x}}$
Posons alors $X = \frac{a}{x}$ qui conduit à : $g (x) = G (X) = a \frac{\ln (1 + X)}{X}$ ,
Il y a équivalence entre le fait que $x$ tende vers $+ ∞$ et le fait que $X$ tende vers $0$ par valeurs positives.
Donc $\lim_{x \to + ∞} g (x) = \lim_{X \to 0, X > 0} G (X) = a$ (puisque $\lim_{X \to 0} \frac{\ln (1 + X)}{X} = 1$ , résultat déjà rappelé).
Enfin : $\lim_{x \to + ∞} g (x) = \lim_{x \to + ∞} \ln [f (x)] = a \Leftrightarrow \lim_{x \to + ∞} f (x) = e^{a}$ , en utilisant le théorème sur les limites de fonctions composées.

Continuité

Soit une fonction $f$ définie sur son ensemble de définition $D_{f}$ , partie de $ℝ$ et $a$ un élément de $D_{f}$ .

Définitions.

On dit que $f$ est continue en $a \in D_{f}$ si et seulement si $f$ admet une limite finie en $a$ égale à $f (a)$ .
Avec des quantificateurs, cela s'écrit : $\forall ε > 0, \exists α > 0, \forall x \in D_{f}, ∣ x - a ∣ < α \Rightarrow ∣ f (x) - f (a) ∣ < ε$
On dit que $f$ est continue sur une partie $A$ de $D_{f}$ si elle est continue en tout point de $A$ .

Graphiquement, si $f$ est définie sur un intervalle $I$ , alors la courbe représentative d'une fonction continue sur $I$ se trace "d'un seul trait de crayon" sur $I$ . La fonction définie par $f (x) = \frac{1}{x}$ est définie et continue sur $ℝ^{*}$ , mais, parce que $ℝ^{*}$ n'est pas un intervalle, elle se trace avec deux traits de crayon.

Exemple de fonction non continue en un point. On considère la fonction définie sur

ℝ

par

f (0) = 0

f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}

x \neq 0

.
Il est facile de voir que :

\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - 1

et que

\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 1

. Les limites à gauche et à droite sont différentes (et différentes de la valeur en 0 de surcroît), la fonction n'a donc pas de limite en 0, et n'est donc pas continue en 0.

Les fonctions usuelles : polynôme, exponentielle, sont continues sur $ℝ$ , la fonction logarithme est continue sur $ℝ_{+}^{*}$ . La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur son ensemble de définition $ℝ^{*}$ , mais pas sur $ℝ$ . Les fonctions rationnelles (rapport de fonctions polynômes) sont continues sur leur ensemble de définition.

Théorèmes
• Si

f

g

sont continues sur un intervalle

I

et si

λ

est un réel quelconque, alors les fonctions

∣ f ∣, f + g, λ f, f . g

sont continues sur

I

.
• Si, de plus,

f

ne s'annule pas sur

I

, alors la fonction

\frac{1}{f}

est continue sur

I

.
• Soient

I

J

deux intervalles. Si

f

est continue sur

I

, si

g

est continue sur

J

et si

f (I) \subset J

, alors

g \circ f

est continue sur

I

Propriété (hors programme au lycée) : caractérisation séquentielle (avec des suites) de la continuité en $a$
Une fonction

f

est continue en a si et seulement si : pour toute suite

(u_{n})_{n \in ℕ}

convergeant vers

a

, la suite

f (u_{n})_{n \in ℕ}

converge vers

f (a)

En fait, cette caractérisation ne peut pas être utilisée telle quelle. On ne peut évidemment pas regarder TOUTES les suites convergeant vers $a$ . On l'utilise donc souvent pour prouver la non-continuité d'une fonction en prouvant la négation de cette propriété qui est :

La négation de l'assertion

𝒫 \Rightarrow 𝒬

est l'assertion :

𝒫

ET (NON

𝒬

)

Il existe une suite $(u_{n})_{n \in ℕ}$ (que l'on indiquera) qui converge vers $a$ ET la suite $f (u_{n})_{n \in ℕ}$ ne converge pas vers $f (a)$ .

Exemple. On considère la fonction définie par

f (x) = 0

x \neq 0

f (0) = 1

. La suite définie par

u_{n} = \frac{1}{n}

définie pour

n > 0

tend vers 0 si

n

tend vers

+ ∞

. Mais pour tout

n \in ℕ f (u_{n}) = f (\frac{1}{n}) = 0

et tend donc vers 0 si

n

tend vers

+ ∞

, mais pas vers

f (0) = 1

f

n'est donc pas continue en 0.

Exercices.

Continuité et opérations
Cette fonction est-elle continue ?
Limites et continuité
Produit de fonctions et continuité Indication : s'intéresser aux valeurs d'annulation de $f$ .

Prolongement par continuité. Exercices

Prolongement par continuité

Propriété. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert

I

contenant a, mais pas définie en

a

.
Alors si

f

admet une limite

l

a

(par exemple si elle a des limites à gauche et à droite égales à

l

), la fonction notée

\tilde{f}

définie par

\tilde{f} (x) = f (x)

x \neq a

\tilde{f} (a) = l

est continue sur

I \cup {a}

La fonction

\tilde{f}

est appelée prolongement par continuité de

f

a

Exercices.

Rendre une fonction continue
Prolongement par continuité
Y a-t-il des prolongements par continuité possibles pour les fonctions :
$f_{1} (x) = \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ pour $x \neq - 2 f_{2} (x) = \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$ pour $x \neq - 2 f_{3} (x) = \sin (x) \sin (\frac{1}{x})$ pour $x \neq 0$ .
Solution. Revoir les identités remarquables : $a^{2} - b^{2}$ et $a^{3} + b^{3} (a, b \in ℝ)$ .
On posera : $\tilde{f_{1}} (- 2) = - 4 \tilde{f_{2}} (- 2) = 12 \tilde{f_{3}} (0) = 0$
Tracez (sur Geogebra, par exemple), la courbe représentative de la fonction définie sur $ℝ^{*}$ par $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ . Que constate-t-on ? On peut donc envisager de prolonger cette fonction par continuité. Il faut donc calculer les limites en 0. [Pour cela, on pourra utiliser la définition de la dérivabilité en 0]
Solution. Avec des unités différentes sur les axes pour une meilleure lisibilité, on arrive à ceci :

On voit "qu'il manque" le point $A = (0, 1)$ . On cherche la limite en 0 de la fonction $f$ . Écrivons, puisque c'est suggéré, la dérivabilité de la fonction sinus en zéro (que l'on connait). C'est $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) - \sin (0)}{x - 0} = \sin' (0) = \cos (0) = 1$ .

La fonction $f$ , définie sur $ℝ^{*}$ , admet donc la limite 1 en 0. Elle est prolongeable par continuité en 0 par la fonction $\tilde{f}$ définie sur $ℝ$ par $\tilde{f} (x) = f (x)$ si $x \neq 0$ et $\tilde{f} (0) = 1$
Prolongement par continuité en 0, en 1 de la fonction définie par $f (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x - 1}$ ?
Solution. Cette fonction est définie sur $ℝ ∖ {0, 1}$ .
Il est facile de voir, à l'aide des théorèmes de croissance comparée que $f$ tend vers l'infini en 0. Pas de prolongement par continuité en 0, donc.
En 1, on peut reprendre la méthode de l'exercice précédent et regarder la dérivabilité de la fonction $g (x) = \ln (x^{2})$ en 1, en notant que $\frac{\ln (x^{2})}{x - 1} = \frac{\ln (x^{2}) - \ln 1^{2}}{x - 1}$
$\lim_{x \to 1} \frac{\ln (x^{2}) - \ln 1^{2}}{x - 1}$ est ainsi le nombre dérivée la fonction $f (x) = \ln (x^{2})$ dont la dérivée est $\frac{2 x}{x^{2}}$ , ceci pour $x = 1$ . Cette limite vaut donc 2.

Elle est donc prolongeable par continuité en 1 par la fonction $\tilde{f}$ définie sur $ℝ^{*}$ par $\tilde{f} (x) = f (x)$ si $x \neq 1$ et $\tilde{f} (1) = 2$ . Cette fonction est ainsi continue sur $ℝ^{*}$

Asymptotes

Lorsque la variable $x$ d'une fonction $f$ tend soit vers l'infini, soit vers une valeur réelle, on constate parfois que la courbe représentative $C_{f}$ de cette fonction tend à se "rapprocher" de la courbe $C_{g}$ d'une autre fonction $g$ que l'on appelle alors "courbe asymptote", ou plus simplement "asymptote". [Notons tout de suite que si $C_{f}$ admet $C_{g}$ pour asymptote, alors la réciproque est aussi vraie ! ] Ce chapitre vise à préciser ce comportement.

Définition : courbes asymptotes
On considère deux fonctions

f

g

, définies sur un intervalle

[a, + ∞ [

a

réel. La courbe d'équation

y = g (x)

est une asymptote en

+ ∞

de la courbe d'équation

y = f (x)

+ ∞

\lim_{x \to + ∞} [f (x) - g (x)] = 0

Exemple : Sur cette illustration, on a tracé en vert la courbe représentative de

y = \ln (x)

, et en rouge la courbe représentative de

y = \ln (x) + \frac{1}{x}

. Ces deux courbes sont asymptotes l'une de l'autre, en

+ ∞

Définitions : droites asymptotes.

La droite d'équation $x = α$ est une asymptote verticale de la courbe représentative de la fonction $f$ si $\lim_{x \to α} f (x) = \pm ∞ .$
La droite d'équation $y = β$ est une asymptote horizontale en $\pm ∞$ de la courbe représentative de la fonction $f$ si $\lim_{x \to + ∞} f (x) = β$ ou si $\lim_{x \to - ∞} f (x) = β$
La droite d'équation $y = a x + b$ ( $a \neq 0$ ) est une asymptote oblique en $\pm ∞$ de la courbe représentative de la fonction $f$ si $\lim_{x \to + ∞} [f (x) - (a x + b)] = 0$ ou si $\lim_{x \to - ∞} [f (x) - (a x + b)] = 0$

Recherche d'une asymptote oblique.

C'est un travail en deux temps. D'abord, on forme la quantité

\frac{f (x)}{x}

. Si elle tend vers une limite réelle finie

a

lorsque

x

tend vers

+ ∞

(resp. -

) , alors dans un deuxième temps, on regarde si la quantité

f (x) - a x

tend, lorsque

x

tend vers

+ ∞

(resp. -

), vers une limite également finie

b

. Si ces deux résultats sont acquis, alors la courbe représentative de la fonction admet la droite d'équation

y = a x + b

pour asymptote oblique en

+ ∞

(resp. -

Position d'une courbe par rapport à une asymptote.

Pour tracer correctement la courbe représentative

C_{f}

d'une fonction

f

et son asymptote, et en particulier dans les cas où l'on a une asymptote horizontale

D

d'équation

y = β

ou une asymptote oblique Delta

d'équation

y = a x + b

, il faut savoir si cette courbe est au-dessus ou en dessous de son asymptote.

Pour une asymptote horizontale, on considère la fontcion $P : \mapsto f (x) - β$ et on étudie son signe au voisinage de $+ ∞$ ou $+ ∞$ .
Si $P (x)$ est positif, $C_{f}$ est au-dessus de l'asymptote $D$ . Si $P (x)$ est négatif, $C_{f}$ est en dessous.
Pour une asymptote oblique, on forme $P (x) = f (x) - (a x + b)$ , avec les mêmes conclusions sur .

Exemple. Déterminer les asymptotes à la courbe représentative de la fonction

f

définie sur

ℝ - {- 1, 1}

par

f (x) = \frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 1}

.
On commencera par chercher

a, b

c

réels, pour écrire

f

sous la forme

f (x) = a x + b + \frac{c}{x^{2} - 1}

Solution.

En réduisant l'expression $a x + b + \frac{c}{x^{2} - 1}$ au même dénominateur et en identifiant les termes de même degré, on arrive à : $f (x) = 2 x + 3 + \frac{4}{x^{2} - 1}$
$D_{f} = ℝ ∖ {- 1, 1}$ . $x^{2} - 1$ est positif à l'extérieur de [-1,1], négatif ailleurs, et tend vers 0 en -1 et 1.
$\frac{4}{x^{2} - 1}$ tend donc vers $+ ∞$ si $x$ tend vers $- 1^{-}$ ou si $x$ tend vers $1^{+}$ , vers $- ∞$ si $x$ tend vers $- 1^{+}$ ou si $x$ tend vers $1^{-}$ .
Il en va de même pour $f$ ce qui permet de conclure en l'existence de deux asymptotes verticales : $x = - 1$ et $x = 1$ .
$\lim_{x \to + ∞} f (x) - (2 x + 3) = 0$ en étant positif, et $\lim_{x \to - ∞} f (x) - (2 x + 3) = 0$ en étant positif. On en déduit que $C_{f}$ admet la droite $y = 2 x + 3$ pour asymptote oblique en $\pm ∞$ et qu'elle se trouve dans les deux cas au-dessus de cette asymptote.
Remarque : Pour trouver l'équation de l'asymptote oblique, on peut tout aussi bien utiliser la méthode en deux temps donnée plus haut ! Faites-le pour varier les méthodes.

Asymptote et limite
Position par rapport à l'asymptote

Branches infinies

Le comportement d'une fonction, lorsque $x$ tend vers l'infini peut produire des représentations graphiques très différentes comme le montrent les diverses situations ci-dessous. Nous faisons ici l'étude de ces branches infinies.

Dans l'ordre :

y = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 10 y = \frac{2 x + 3}{4 x - 5} y = e^{x}

y = \ln (x) y = x \sin (x)

Le fait que $f (x)$ tende vers $+ ∞$ si $x$ tend vers $+ ∞$ ne permet en rien de tracer la courbe précisément. On a besoin d'une étude supplémentaire.
Remarque : Dans tout ce qui suit, nous ne nous intéresserons qu'au cas où $x$ tend vers $+ ∞$ . Il va de soi qu'on aura des résultats de même nature si $x$ tend vers $- ∞$ .

Plan de recherche des branches infinies. On forme d'abord la quantité

\frac{f (x)}{x}

. Plusieurs cas se présentent :

$\lim_{x \to + ∞} \frac{f (x)}{x} = + ∞$ . $C_{f}$ admet alors une branche parabolique de direction $Oy$ et la courbe tend à devenir parallèle à l'axe des ordonnées à l'infini. C'est le cas en particulier des fonctions polynômes de degré $n$ avec $n \in ℕ^{*}$ et $n \neq 1$ , et de la fonction exponentielle.
$\lim_{x \to + ∞} \frac{f (x)}{x} = 0$ . On dit qu'on a une branche parabolique de direction $Ox$ et la courbe tend à devenir parallèle à l'axe des abscisses à l'infini. C'est le cas de la fonction logarithme, de la fonction racine carrée et des fonctions polynômes en $x^{n}$ avec $n$ compris strictement entre 0 et 1.
$\lim_{x \to + ∞} \frac{f (x)}{x} = a$ , $a$ non nul. Ce résultat a été en partie traité à la page précédente. On doit alors distinguer deux cas à partir de la quantité $𝒜 (x) = f (x) - a x$
- $\lim_{x \to + ∞} 𝒜 (x) = \pm ∞$ . $C_{f}$ admet une branche parabolique ou une direction asymptotique de direction la droite $y = a x$ .
- $\lim_{x \to + ∞} 𝒜 (x) = b$ . $C_{f}$ admet la droite d'équation $y = a x + b$ pour asymptote oblique. On doit alors se poser la question de la position de la courbe par rapport à cette asymptote oblique, et cela a été vu à la page précédente.

Quelques exemples graphiques de ces diverses situations sont donnés à la page suivante.

Exercices.

Branches infinies . Il peut y avoir plusieurs réponses à donner et plusieurs types d'asymptote.
Limite et asymptote . Il peut y avoir plusieurs réponses à donner et plusieurs types d'asymptote.
Montrer que la fonction définie par $f (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 9}{x - 2}$ admet une asymptote verticale et une asymptote oblique. (On s'inspirera d'un exercice analogue à la page précédente).
Solution.
- Si $x$ tend vers 2, le numérateur tend vers 10 et le dénominateur vers 0. Le rapport tend donc vers l'infini et $x = 2$ est une asymptote verticale.
  Pour être plus précis et pour le tracé de la courbe, on peut séparer les cas $x < 2$ et $x > 2$ .
  Si $x$ tend vers 2 en étant inférieur à 2, le dénominateur tend vers $0^{-}$ , le numérateur tend vers 10 donc $f$ tend vers $- ∞$ . La courbe $C_{f}$ est donc "en bas et à gauche" de l'asymptote verticale $x = 2$ .
  Si $x$ tend vers 2 en étant supérieur à 2, le dénominateur tend vers $0^{+}$ , le numérateur tend vers 10 donc $f$ tend vers $+ ∞$ . La courbe $C_{f}$ est donc "en haut et à droite" de l'asymptote verticale $x = 2$ .
- Avec la méthode indiquée dans l'énoncé, on trouve une asymptote oblique d'équation : $y = 2 x - 3$ . La courbe est au-dessus de l'asymptote oblique en $+ ∞$ et en dessous en $- ∞$ .
Donner la nature des branches infinies en $+ ∞$ des fonctions suivantes, qui vérifient toutes $\lim_{x \to + ∞} f (x) = + ∞$ :
$f_{1} (x) = \sqrt{x} + 1 f_{2} (x) = x + \sqrt{x^{2} - 1} f_{3} (x) = \sqrt{x} + e^{x} f_{4} (x) = 3 x + \sqrt{x}$
$f_{5} (x) = \frac{4 x^{2}}{2 x - 1} f_{6} (x) = \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 10} f_{7} (x) = x - \sqrt{∣ x - 1 ∣}$
Solution.
1. $\frac{f_{1} (x)}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}$ tend vers 0 si $x$ tend vers + $∞$ . $C_{f_{1}}$ admet donc en + une branche parabolique de direction $O x$ .
2. $\frac{f_{2} (x)}{x} = 1 + \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} = 1 + \sqrt{\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}} = 1 + \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ tend vers 2 si $x$ tend vers + $∞$ .
  $f_{2} (x) - 2 x = \sqrt{x^{2} - 1} - x$ . C'est une forme indéterminée $+ ∞ - ∞$ . On multiplie par l'expression conjuguée, ce qui conduit à $\frac{- 1}{\sqrt{x^{2} - 1} + x}$ qui tend vers $0$ par valeurs positives, lorsque $x$ tend vers + $∞$ . $C_{f_{2}}$ admet donc en + une asymptote oblique $D$ d'équation $y = 2 x$ et la courbe est au-dessous de $D$ .
3. $\frac{f_{3} (x)}{x} = \frac{\sqrt{x} + e^{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{e^{x}}{x}$ .
  $\frac{1}{\sqrt{x}}$ tend vers 0 en + , $\frac{e^{x}}{x}$ tend vers + , la somme tend donc vers $+ ∞$ et on a une branche parabolique de direction $O y$ en + .
4. $\frac{f_{4} (x)}{x} = \frac{3 x + \sqrt{x}}{x} = 3 + \frac{1}{\sqrt{x}}$ tend vers 3 en + .
  $f_{4} (x) - 3 x = \sqrt{x}$ tend vers + . $C_{f_{4}}$ admet donc en + une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = 3 x$ .
5. $\frac{f_{5} (x)}{x} = \frac{4 x^{2}}{2 x^{2} - x}$ tend vers 2 en + $∞$ .
  $f_{5} (x) - 2 x = \frac{4 x^{2}}{2 x - 1} - 2 x = \frac{2 x}{2 x - 1}$ qui tend vers 1 en + .
  $f_{5} (x) - (2 x + 1) = \frac{1}{2 x - 1}$ qui tend vers $0^{+}$ en + . $C_{f_{5}}$ admet donc en + une asymptote oblique d'équation $y = 2 x + 1$ et la courbe se trouve est au-dessus de l'asymptote en + .
6. $\frac{f_{6} (x)}{x} = \frac{\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 10}}{x} = \sqrt{\frac{4 x^{2} - 12 x + 10}{x^{2}}}$ tend vers 2 en +.
  $f_{6} (x) - 2 x = \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 10} - 2 x = \frac{(\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 10} - 2 x) (\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 10} + 2 x)}{\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 10} + 2 x}$
  $= \frac{- 12 x + 10}{\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 10} + 2 x} = \frac{- 12 x + 10}{2 x (\sqrt{1 - \frac{12}{4 x} + \frac{10}{4 x^{2}}} + 1)}$ tend vers -3 en +. D'où une asymptote oblique d'équation $y = 2 x - 3$ en +.
7. Sur $[1, + ∞ [f (x) = x - \sqrt{x - 1}$
  $\frac{f_{7} (x)}{x} = 1 - \frac{\sqrt{x - 1}}{x}$ . La fraction tend vers 0 en $+ ∞$ , $\frac{f_{7} (x)}{x}$ tend donc vers 1.
  $f (x) - 1 . x = - \sqrt{x - 1}$ qui tend vers $- ∞$ si $x$ tend vers $+ ∞$ . $C_{f_{7}}$ admet, en $+ ∞$ , une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = x$ .
  Calculs analogues et résultat identique en $- ∞$ .

Exemple de représentation graphique de quelques branches infinies

Deux exemples :

Pas d'asymptote, mais une branche parabolique de direction $y = \frac{x}{2}$ .
Asymptote oblique.

Dérivée et utilisation

Vous trouverez ici un cours sur la dérivation et son utilisation.

Dans toute cette page, $f$ est une fonction de $ℝ$ dans $ℝ$ , définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un point de $I$ .

Rappel de définitions et de théorème.

Si cette limite (finie) existe, le nombre dérivé de $f$ en $a$ vaut : $f' (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ .
La fonction notée $f'$ , qui à $x$ associe $f' (x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$ .
Si une fonction est dérivable sur un Intervalle $I$ , alors elle est continue sur cet intervalle.

Géométriquement, si

f' (a)

existe, la courbe représentative de la fonction admet une tangente au point

(a, f (a))

d'équation :

y = f' (a) (x - a) + f (a)

, avec donc pour coefficient directeur

f' (a)

. Si cette limite en

a

est infinie, la courbe admet en ce point une tangente verticale. Si cette limite est nulle, la tangente est horizontale.
Exemple. On a tracé ici les courbes de la fonction

f

définie par

f (x) = \sin (x^{2} + 1)

et de la tangente au point

A (1, \sin (2))

y = 2 \cos (2) (x - 1) + \sin (2)

Utilisation des dérivées.

On sait que l'étude de la dérivée (terme utilisé souvent pour dire "fonction dérivée") permet de déterminer le sens de variation des fonctions, de trouver ses extrémums, et de déterminer des tangentes éventuelles à la courbe représentative.
L'étude d'une dérivée passe d'abord par son calcul, puis par l'étude de son signe. Il conviendra donc de la mettre sous la forme la plus factorisée possible.
En physique, les notions de vitesse, de débit font appel à la notion de dérivée.
Le recours à une dérivée permet parfois de lever une forme indéterminée et de calculer une limite. Regardez ces
Exemples.
Ce sont toutes les trois des formes indéterminées $\frac{0}{0}$ .
1. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{0}}{x - 0}$ . C'est le nombre dérivée de la fonction $e^{x}$ en 0. Donc $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = e^{0} = 1$
2. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - \ln 1}{x - 0}$ . C'est le nombre dérivée de la fonction $\ln (1 + x)$ en 0. Donc $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = (\frac{1}{1 + 0}) = 1$
3. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin 0}{x - 0}$ . C'est le nombre dérivée de la fonction $\sin (x)$ en 0. Donc $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \cos 0 = 1$

Exercice.

C_{1}

C_{2}

sont les courbes représentatives de deux fonctions

f_{1}

f_{2}

. Laquelle est la dérivée de l'autre ? On tirera profit de cet exercice en suivant les deux courbes de gauche à droite, en regardant le signe et le sens de variation de chacune des deux.

Solution.

f_{1}

s'annule en en

- 3 π

, c'est donc la dérivée d'une fonction qui admet une tangente horizontale en

- 3 π

, c'est à dire

f_{2}

.
par conséquent :

f_{1}

est la dérivée de

f_{2}

Exercices.

Tangentes à une courbe polynomiale
Variations avec des fonctions exponentielles
Fonctions et dérivées, lecture graphique

Dérivées à droite, à gauche.

Si une fonction $f$ n'est pas dérivable en un point $a \in D_{f}$ , sa courbe représentative peut admettre des singularités graphiques. En effet, même si cette courbe n'admet pas de tangente en un point, elle peut admettre des "demi-tangentes" portées par des droites non parallèles, à droite et à gauche en ce point. (Voir dessin ci-dessous). Ceci est précisé par les notions de dérivabilité à droite et à gauche.

Dans la pratique, si la fonction n'est pas définie de la même façon à droite et à gauche de $a$ , on va étudier deux fonctions, l'une étant la restriction de la fonction $f$ à l'intervalle $] - ∞, a [$ , l'autre sa restriction à $] a, + ∞ [$ .

Définitions.

Si le rapport $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ admet quand $h$ tend vers $0^{+}$ (resp. $h$ tend vers $0^{-}$ ) une limite, on dit que $f$ admet une dérivée à droite (resp. à gauche) en $a$ , notées $f'_{d} (a)$ . (resp. $f'_{g} (a)$ ), et appelé nombre dérivé à droite (resp. à gauche).
Si une fonction est continue en $a$ , et admet des dérivées à droite et à gauche distinctes, on dit que le point $A (a, f (a))$ est un point anguleux.
En un tel point $A$ , la courbe $C_{f}$ peut admettre des demi-tangentes. Le nombre dérivé à droite, $f'_{d} (a)$ , est le coefficient directeur d'une demi-tangente à droite, le nombre dérivé à gauche, $f'_{g} (a)$ , est le coefficient directeur d'une demi-tangente à gauche. Voir dessin ci-dessous.

Un point anguleux peut se rencontrer lorsqu'une fonction n'est pas définie de la même façon sur des intervalles de $D_{f}$ et lorsque, par exemple, $f'_{g} (a) \neq f'_{d} (a)$ . Dans ce cas, ces deux demi-tangentes ne sont pas alignées.

Exemple :

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{2}$ si $x \leq 1$ (rouge) et $f (x) = \frac{1}{x}$ si $x > 1$ (bleue).

Le calcul des dérivées à droite et à gauche est fait -->

Solution. On suppose

h \neq 0

. En

a = 1

, à droite :

\frac{f (1 + h) - f (1)}{h} = \frac{\frac{1}{1 + h} - \frac{1}{1}}{h} = \frac{\frac{- h}{1 + h}}{h} = - \frac{1}{1 + h}

qui tend vers -1 si si

h

tend vers

0^{+}

.
En

a = 1

, à gauche :

\frac{f (1 + h) - f (1)}{h} = \frac{(1 + h)^{2} - 1^{2}}{h} = \frac{2 h + h^{2}}{h} = 2 + h

qui tend vers 2 si

h

tend vers

0^{-}

.
On en déduit qu'en

a = 1 f'_{d} (1) = - 1 f'_{g} (1) = 2

On a ainsi deux demi-tangentes (vertes) de coefficients directeurs respectifs -1 et 2.

Propriété. Si une fonction

f

définie en un point

a

est dérivable à droite et à gauche en

a

et si les dérivées à droite et à gauche sont égales, alors

f

est dérivable en

a

Exercices.

La fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = ∣ x^{2} - 5 x + 6 ∣ + 1$ est-elle dérivable en 2 et en 3 ? Examiner ces deux cas.
Solution. Il faut commencer par chercher le signe de ce trinôme qui admet deux racines 2 et 3. On voit facilement que $f$ se scinde en deux fonctions :
$f_{1} (x) = (x^{2} - 5 x + 6) + 1 = x^{2} - 5 x + 7$ sur $] - ∞, 2] \cup [3, + ∞ [$ .
$f_{2} (x) = (- x^{2} + 5 x - 6) + 1 = - x^{2} + 5 x - 5$ sur $[2, 3]$ .
- On se place sur $] - ∞, 2 [$ . Regardons si $f_{1}$ est dérivable à gauche en $2$ , en sachant que : $f_{1} (2) = 1$ :
  $\frac{f_{1} (x) - f_{1} (2)}{x - 2} = \frac{(x^{2} - 5 x + 7) - 1}{x - 2} = \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 2} = x - 3$ qui tend vers -1 si $x$ tend vers $2^{}$ .
  Donc $f$ est dérivable à gauche en 2, avec une demi-tangente en (2,1) de coefficient directeur $f_{g}' (2) = - 1$
- On se place maintenant sur $] 2, 3 [$ . Regardons si $f_{2}$ est dérivable à droite en $2$ , en sachant que : $f_{2} (2) = 1$ :
  $\frac{f_{2} (x) - f_{2} (2)}{x - 2} = \frac{(- x^{2} + 5 x - 5) - 1}{x - 2} = \frac{- x^{2} + 5 x - 6}{x - 2} = - (x - 3)$ qui tend vers 1 si $x$ tend vers $2$ .
  Donc $f$ est dérivable à droite en 2, avec une demi-tangente en (2,1) de coefficient directeur $f_{d}' (2) = 1$
- Comme $f_{g}' (2) \neq f_{d}' (2)$ , $f$ n'est pas dérivable en 2.
- Calculs analogues en $3^{-}$ et $3^{+}$ . $f_{g}' (3) = - 1$ et $f_{d}' (3) = 1$
Étudier la dérivabilité de la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = x - \sqrt{∣ x - 1 ∣}$ en $x = 1$ . Que peut-on en conclure graphiquement ?
Solution.
- Sur $] 1, + ∞ [$ , $f (x) = x - \sqrt{x - 1}$ et $f (1) = 1$ . Examinons la dérivabilité à gauche.
  $\frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \frac{(x - \sqrt{x - 1}) - 1}{x - 1} = \dots = 1 - \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ qui tend vers $- ∞$ si $x$ tend vers $1^{+}$ .
- Sur $] - ∞, 1 [$ , $f (x) = x - \sqrt{1 - x}$ et $f (1) = 1$ . Examinons la dérivabilité à droite.
  $\frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \frac{(x - \sqrt{1 - x}) - 1}{x - 1} = \dots = 1 + \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ qui tend vers $+ ∞$ si $x$ tend vers $1^{-}$ .
- Au point de coordonnées $(1, 1)$ la courbe n'est dérivable ni à droite, ni à gauche, sa courbe représentative admet en 1 une tangente verticale.

Dérivée des fonctions composées.

Dérivation des fonctions composées.

Définition (Rappel).

Soient $E$ , $F$ et $G$ trois ensembles, $f$ une fonction de $E$ dans $F$ et $g$ une fonction de $F$ dans $G$ . On suppose que $f (E) \subset F$ . On appelle composée des fonctions $f$ et $g$ , notée $g \circ f$ (lire " $g$ rond $f$ "), la fonction de $E$ dans $G$ , définie pour $x \in D_{f}$ et $f (x) \in D_{g}$ , par :

$(g \circ f) (x) = g [f (x)]$

Théorème. Si

f

est dérivable sur E, et si

g

est dérivable sur

f (E)

, alors

g \circ f

est dérivable sur

E

et pour

x \in E

(g \circ f)' (x) = g' (f (x)) . f' (x)

Exemple. On considère la fonction de

ℝ

dans

ℝ

définie par

x \mapsto \cos (x^{2} + 2 x)

. C'est le composé, dans cet ordre, de

f : x \mapsto f (x) = x^{2} + 2 x = y

pour tout

x

réel, avec la fonction

g : y \mapsto \cos (y)

. Les deux fonctions sont dérivables sur

ℝ

leur composé

(g \circ f)

l'est donc aussi sur

ℝ

. On applique le résultat : pour tout

x

réel,

g' (f (x)) = g' (y) = \cos' (y) = - \sin (y) = - \sin (x^{2} + 2 x)

f' (x) = 2 x + 2

, pour tout

x

réel. Donc

(g \circ f)' (x) = - \sin (x^{2} + 2 x) . (2 x + 2)

, pour tout

x

réel.

Exercice.

Dérivation des fonctions composées 1
Dérivation des fonctions composées 2
Dérivation des fonctions composées 3
Dérivation des fonctions composées
Un peu plus difficile, mais fort instructif.
Donner, sur la partie de $ℝ$ où elle est définie, la dérivée de la fonction $φ$ définie par :
$φ (x) = \frac{1}{\sin \sqrt{x}}$ . On commencera par écrire comme composé de trois fonctions.
Solution. Il importe de bien identifier les fonctions et l'ordre dans lequel elles opèrent. La première est : $f : x \mapsto f (x) = \sqrt{x} = y$ . La seconde est $g$ la fonction sinus, $g : y \to \sin y = \sin \sqrt{x} = t$ . La troisième est la fonction inverse $h : t \mapsto \frac{1}{t}$ . Et donc $φ = h \circ g \circ f$
On dérive $φ$ en tant que composé des deux fonctions $h$ et $g \circ f$ et on applique le théorème : $φ' (x) = [h \circ (g \circ f)]' (x) = h' (g \circ f) (x) . (g \circ f)' (x)$
La dérivée de $h$ est $\frac{- 1}{h^{2}}$ donc $h' (g \circ f) (x) = \frac{- 1}{(g \circ f)^{2} (x)} = \frac{- 1}{\sin^{2} \sqrt{x}}$
$(g \circ f)' (x) = g' (f (x)) . f' (x) = \sin' (f (x)) . f' (x) = \cos (f (x)) . f' (x) = \cos (\sqrt{x}) . \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ Finalement : $φ' (x) = \frac{- 1}{\sin^{2} \sqrt{x}} . \cos (\sqrt{x}) . \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{- \cos (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x} \sin^{2} \sqrt{x}}$

Tableau de variation

Extrémums d'une fonction.

Définitions.

Soit $f$ une fonction définie sur son domaine de définition noté $D_{f}$ et $I$ un intervalle de $D_{f}$ Si, pour tout $x$ de $I$ , la fonction $f$ prend des valeurs toujours inférieures à une valeur $M$ qu'elle atteint pour une valeur $x_{0}$ ( $f (x_{0}) = M$ ), on dit que $M$ est un maximum local sur $I$ de la fonction $f$ , atteint en $x_{0}$ .
Si, pour tout $x$ de $I$ , la fonction $f$ prend des valeurs toujours supérieures à une valeur $m$ qu'elle atteint pour une valeur $x_{1}$ ( $f (x_{1}) = m$ , on dit que $m$ est un minimum local sur $I$ de la fonction $f$ , atteint en $x_{1}$ .
On appelle extremum indifféremment un maximum ou un minimum.
On dit que $M$ est un maximum global de $f$ , si c'est un maximum sur l'ensemble de définition $D_{f}$ tout entier.

Une illustration.

Le tableau de variation d'une fonction se fait sur son domaine de définition éventuellement réduit par des considérations de parité ou de périodicité.

Pour illustrer ce travail, on a pris ici la fonction définie par $f (x) = x + \frac{1}{x^{2} - 4}$ .

L'étude, que nous ne faisons pas ici, a conduit aux résultats suivants :

$D_{f} = ℝ - {- 2, 2}$ ,
$\lim_{x \to - ∞} f (x) = - ∞ \lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = + ∞ \lim_{x \to \to - 2^{+}} f (x) = - ∞$
$\lim_{x \to \to 2^{-}} f (x) = - ∞ \lim_{x \to \to 2^{+}} f (x) = + ∞ \lim_{x \to + ∞} f (x) = + ∞$ .
La courbe représentative admet ainsi deux asymptotes verticales $x = - 2$ et $x = 2$ , ainsi qu'une asymptote oblique d'équation, $y = x$ . De plus, cette courbe se trouve, en $- ∞$ et en $+ ∞$ au-dessus de cette asymptote oblique.
La dérivée s'annule pour deux valeurs $α ≃ \frac{3}{2}$ et $β ≃ \frac{5}{2}$ . Elle est négative entre ces deux valeurs, positive en dehors. La courbe admet ainsi un maximum local en $α$ et un minimum local en $β$ , avec $f (α) ≃ 0, 9$ et $f (β) ≃ 2, 9$

On regroupe tous ces résultats dans le tableau de variation qui devrait avoir la présentation suivante :

Le tracé de la courbe représentative de cette fonction se trouve dans le paragraphe 7 de ce document, tout à la fin.
Dans l'étude ci-dessus,

α

est un maximum local pour

- 2 < x < 2

β

est un minimum local pour

x > 2

. Ici,

f

n'a ni maximum global, ni minimum global.

Exercices.

Construction de tableaux de variation
Travail d'interprétation sur les tableaux de variation
Construction de tableaux avec des fonctions puissance
Comparaison et tableau de variation
Construction de tableaux avec des fonctions logarithmes
Extremum et tableau de variation

Exercice. Questions sur les tableaux de variation

Théorème des valeurs intermédiaires.

On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ , $a$ et $b$ sont deux éléments de $I$ .

Théorème des valeurs intermédiaires.
Si f est une fonction continue sur le segment

[a, b]

, avec

a < b

, alors pour tout réel

k

compris entre

f (a)

f (b)

, il existe au moins un réel

x_{0}

compris entre

a

b

tel que :

f (x_{0}) = k

Cas particulier, applicable à la recherche des solutions d'une équation.
1 - Si, sous les hypothèses pécédentes,

f (a)

f (b)

sont de signes contraires (par exemple si le produit

f (a) \times f (b)

est strictement négatif) alors il existe au moins un réel

x_{0} \in [a, b]

tel que

f (x_{0}) = 0

.
2- Si, de plus,

f

est strictement monotone sur

[a, b]

, alors cette solution est unique.

Graphiquement, l'illustration de ce théorème est simple à comprendre. Il reste néanmoins peu aisé à démontrer avec les moyens à notre disposition.

La fonction dont la courbe représentative est de couleur verte, est continue sur l'intervalle $[1, 5; 6, 2]$ .
$k$ est ici pris égal à 2. $f (1, 5)$ vaut -4, $f (6, 2)$ vaut 4, et $k = 2$ est bien compris entre ces deux valeurs.
$f$ prend ici (trois fois d'ailleurs) la valeur 2, en recoupant la droite d'équation $y = 2$ , et les solutions sont 2, 4 et 6.

Recherche des solutions d'une équation du type $f (x) = 0$

Dans le cas où l'on ne sait pas résoudre l'équation, on va chercher un encadrement de la solution $x_{0}$ , à $10^{- p}$ , avec $p \in ℕ^{*}$ .

Une première possibilité, empirique nous le soulignons, consiste à tracer avec (par exemple Geogebra) la courbe représentative $C_{f}$ de la fonction $f$ et à déterminer visuellement un encadrement de la valeur $x_{0}$ de l'abscisse où $C_{f}$ coupe l'axe $O x$ . Comme on a la possibilité d'agrandir la figure à peu près autant que l'on veut, on arrive très rapidement à l'encadrement que l'on souhaite, en répétant cela autant de fois que la courbe recoupe l'axe $O x$ .
On peut utiliser la méthode par balayage, ici avec un tableur ou une calculatrice. Il faut, au préalable, avoir déterminé un premier encadrement grossier $[x_{1}, x_{2}]$ , ( $x_{1} < x_{2}$ ), de la solution avec le théorème ci-dessus. Ensuite, on rentre des valeurs de $x$ entre $x_{1}$ et $x_{2}$ avec un pas de $10^{- p}$ . Lorsque les valeurs de $f (x)$ correspondantes changent de signe entre deux valeurs de x), celles-ci fournissent l'encadrement souhaité.

Illustrations. Deux exemples de méthode. $f (x) = x^{4} + x^{3} - 2 x^{2} + 2$ . avec $x$ réel quelconque.
On cherche donc à avoir des valeurs approchées de la solution de l'équation $f () = 0$
Avec Geogebra on arrive à l'encadrement $[- 1,769 5; - 1,169 0]$ , c'est à dire une valeur approchée à $10^{- 3}$ égale à -1, 769.
Avec Excel, c'est un peu plus précis, on obtient la valeur approchée de -1, 7692 à $10^{- 4}$ près.

Exercices.

Montrer que la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{3} + x - 1$ ne prend qu'une seule fois la valeur 0.
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $ℝ$ . Sa dérivée $f' (x) = 3 x^{2} + 1$ est toujours strictement positive sur $ℝ$ , elle est donc strictement monotone. Comme de plus elle prend la valeur -1 en 0, et la valeur 1 en 1, le cas particulier 2 du théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur l'intervalle $[0, 1]$ donne le résultat.
Monter que l'équation $\sqrt{x} = \frac{1}{x - 2}$ admet une unique solution sur $ℝ_{+} \ {2}$ que l'on encadrera à $10^{- 2}$ .
Introduisons la fonction définie sur $ℝ_{+} \ {2}$ par $φ (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{x - 2}$ et séparons les cas $0 \leq x < 2$ et $x > 2$ .
1. - Sur $[0, 2 [$ , $φ$ est la somme de $f (x) = \sqrt{x}$ qui est positive et strictement croissante, à valeurs dans $[0, + ∞ [$ et de $g (x) = - \frac{1}{x - 2}$ qui est strictement positive et strictement croissante, à valeurs dans $[\frac{1}{2}, + ∞]$ .
    $φ$ est donc strictement croissante et strictement positive sur $[0, 2 [$ , et l'équation n'y a pas de solution.
  - Sur $] 2, + ∞ [$ , $f$ et $g$ sont toutes les deux strictement croissantes. $\lim_{x \mapsto 2, x > 2} φ (x) = - ∞$ ; $f (2, 5) \approx - 0, 42; f (2, 6) \approx - 0, 05$ et $f (4) = 1, 5$ .
    $φ$ s'annule donc exactement une fois sur $] 2, + ∞ [$ , entre $2, 6$ et $4$ .
    En définitive, l'équation n'admet qu'une seule solution sur $ℝ_{+} \ {2}$ .
2. L'une ou l'autre des deux méthodes indiquées plus haut conduit à la solution $x_{0}$ telle que $2, 61 < x_{0} < 2, 62$ .
Résoudre dans $[0, π]$ l'équation $2 \cos (x) = 3 x - 2$ . Donner un encadrement de la solution à $10^{- 3}$ .
On considère la fonction $φ$ définie par $φ (x) = 2 \cos (x) + 2 - 3 x$ restreinte à l'intervalle $[0, π]$ . il s'agit de résoudre l'équation $φ (x) = 0$ .
est la somme des deux fonctions $x \mapsto φ_{1} (x) = 2 \cos (x)$ et de $x \mapsto φ_{2} (x) = 2 - 3 x$ qui sont toutes les deux dérivables et strictement décroissantes sur $[0, π]$ .
Comme $φ (0) = 4 > 0$ et que $φ (π) = - 6 π < 0$ , on en déduit le résultat. La racine, notée $x_{0}$ , vérifie $1,017 < x_{0} < 1,018$ .
Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$ . Montrer que $f$ s'annule exactement une fois en une valeur $α$ sur l'intervalle $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ . Montrer que : $\frac{5 π}{6} < α < π$ .
1. $f$ est dérivable sur $ℝ$ et $f' (x) = x \cos (x)$ . Sur l'intervalle $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ , $\cos (x)$ est négatif et ne s'annule qu'en $\frac{π}{2}$ et $\frac{3 π}{2}$ , donc $f'$ est strictement négative sauf en ces points et donc strictement décroissante.
  De plus $f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} > 0$ et $f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} < 0$ . D'après les théorèmes ci-dessus, $f$ ne s'annule donc qu'une seule fois en une valeur $α$ .
2. $f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π - 6 \sqrt{3}}{12} > 0$ et $f (π) = - 1 < 0$ , d'où le résultat $\frac{5 π}{6} < α < π$ .
Méthode par balayage

Concavité, convexité

Cette partie traite de fonctions ayant une représentation graphique particulière. Il suppose connu le chapitre déjà vu sur la dérivation.

Définition. Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

. Elle est convexe sur I si et seulement si sa représentation graphique est entièrement située en dessous de tout segment (corde) joignant deux points quelconques de la courbe. (Voir dessins ci-dessous).

Propriétés dans les cas où $f$ dérivable sur $I$ .

Une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ est convexe sur I si et seulement si sa représentation graphique est située au-dessus de chacune de ses tangentes en tout point de la courbe.
Une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ est convexe sur I si et seulement si sa dérivée est croissante sur $I$ .
Si $f$ est deux fois dérivable sur un intervalle $I$ , elle est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur $I$ .

Définition. Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

, elle est concave sur

I

- f

est convexe sur

I

. La courbe représentative de

f

est donc située en dessous de chacune des tangentes en tout point et au-dessus des cordes joignant deux points de la courbe.

Les courbes sont en rouge, les tangentes en pointillé vert et les cordes en bleu.

Remarques :

Une fonction peut être convexe sur un intervalle et concave sur un autre. Ainsi la fonction sinus est concave sur tous les intervalles de la forme $[2 k π, (2 k + 1) π], k \in ℤ$ et convexe sur $[(2 k + 1) π, (2 k + 2) π], k \in ℤ$ .
Lorsqu'une fonction est convexe sur $I$ , on dit parfois que sa courbe tourne sa concavité vers le haut. Lorsqu'elle est concave, on dit qu'elle tourne sa concavité vers le bas.

Exercices sur concavité, convexité.

Exercice. Étude de la convexité

Exercices.

On considère la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2}$ . Donner l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse 1, puis chercher les intervalles sur lesquels la courbe est au-dessus, puis au-dessous de cette tangente
Solution. $f$ est dérivable sur $ℝ$ , la courbe représentative $C_{f}$ admet donc des tangentes en tout point.
$f (1) = - \frac{2}{3}$ . L'équation de la tangente $T$ en $(1, - \frac{2}{3})$ est, après calculs : $y = - x + \frac{1}{3}$ , L'écart vertical (sur les ordonnées) entre un point d'abscisse $x$ et d'ordonnée $y_{T}$ de la tangente $T$ et le point d'ordonnée $y_{C}$ de même abscisse de la courbe $C$ est mesuré par : $P (x) = y_{T} - y_{C} = - x + \frac{1}{3} - (\frac{x^{3}}{3} - x^{2})$ . Après simplification, il vient : $P (x) = - \frac{1}{3} (x - 1)^{3}$ . On peut maintenant conclure :
Si $x \geq 1$ , alors $P (x) \leq 0$ et donc $C$ est au-dessus de $T$ .
Si $x \leq 1$ , alors $P (x) \geq 0$ et donc $C$ est au-dessous de $T$
Attention : l'étude qui vient d'être faite ne permet en aucun cas de conclure sur les questions de concavité et de convexité de $f$ . En effet, on n'a regardé la position de $C$ que par rapport à une seule tangente !
Montrer, à l'aide d'arguments de convexité, l'inégalité : pour tout $x \in [0, \frac{π}{2}]$ , $\frac{2}{π} x \leq \sin (x) \leq x$ .
Solution. On considère la fonction définie par $f (x) = \sin (x)$ sur $ℝ$ . Alors, $f ″ (x) = - \sin (x)$ . Sur $[0, \frac{π}{2}]$ , $f ″$ est négative, et donc $f$ est concave. La tangente à la courbe représentative de la fonction en 0 a pour équation $y = x$ et celle de la corde joignant les points $(0, 0)$ et $(\frac{π}{2}, 1)$ est $y = \frac{2}{π} x$
La courbe $C_{f}$ de la fonction $f$ (concave) étant en dessous de ses tangentes et en dessus des cordes le résultat en découle.
Montrer que la fonction définie sur $I =] 1, + ∞ [$ par $f (x) = \ln [\ln (x)]$ est concave sur $I$ .
Solution. $f$ est deux fois dérivable sur $I$ , comme composé de deux fonctions $\ln$ successives, toutes deux dérivables sur $I$ .
Après calcul, on arrive à : $\forall x \in] 1, + ∞ [f ″ (x) = - \frac{1}{x^{2} \ln (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} = - \frac{1 + \ln (x)}{x^{2} \ln^{2} (x)}$ . Sur l'intervalle $I$ , $1 + \ln (x) \geq 0$ , $f ″$ est donc négative et par conséquent $f$ est concave sur $I$ .
On suppose qu'à la suite d'une étude, une fonction $f$ continue sur $[- 5, 5 [$ a le tableau de variation ci-dessous. On sait de plus qu'elle est convexe sur $[- 5, - 1]$ et $[3, 5]$ , et concave sur $[- 1, 3]$
On demande de tracer une courbe répondant à ces propriétés.

Solution.

Par exemple !

Point d'inflexion

On se place sur une partie $A$ de $ℝ$ contenant un intervalle ouvert contenant $x_{0}$

La notion de point d'inflexion est une notion locale. On se placera donc sur un voisinage de centre $x_{0}$ .
Soit $f$ une fonction définie sur $ℝ$ et $I$ un intervalle ouvert du domaine de définition contenant un point $x_{0}$ .

Définition. Le point (

x_{0}, f (x_{0})

) est un point d'inflexion de

C_{f}

si et seulement si la courbe change de concavité au point (

x_{0}, f (x_{0})

). Si elle est concave (resp. convexe) pour

x \leq x_{0}

, elle devient convexe (resp. concave) pour

x \geq x_{0}

Propriétés.

Si une fonction est deux fois dérivable en $x_{0}$ , ( $x_{0}, f (x_{0})$ ) est un point d'inflexion si et seulement si $f ″$ s'annule et change de signe en ce point.
En un point d'inflexion, la tangente traverse la courbe. Si celle-ci était en dessus de la tangente pour $x \leq x_{0}$ , elle passe au-dessous pour $x \geq x_{0}$ (et réciproquement). Voir le dessin ci-dessous.

Remarque : la dérivabilité n'est pas une condition nécessaire pour avoir un point d'inflexion. Voir par exemple la fonction définie sur

ℝ

par

f (x) = \sqrt[3]{x}

qui, en 0, n'est pas dérivable, admet une tangente verticale et change de concavité.

Exemple :

f

est eun focntion définie sur

ℝ

par :

f (x) = \frac{1}{6} (x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 10), f ″ (x) = x - 2

La dérivée seconde s'annule pour

x = 2

La courbe représentative de

f

est en rouge, la tangente au point d'abscisse 2 est en bleu.

A

est un point d'inflexion. La droite orange sépare le plan en deux parties, à droite, c'est-à-dire sur

[2, + ∞ [

, la fonction est concave (la courbe tourne sa concavité vers le bas), et à gauche sur

] - ∞, 2]

elle est convexe (la courbe tourne sa concavité vers le haut).

Exercice.
Lecture graphique

Exercice.
Déterminer les points d'inflexion, la concavité et les branches infinies de la courbe représentative de la fonction

f

définie sur

ℝ

par

f (x) = \ln (x^{2} + 1)

Solution.
•

f

est deux fois dérivable sur

ℝ

\forall x \in ℝ, f ″ (x) = 2 \frac{1 - x^{2}}{(x^{2} + 1)^{2}}

.
La fonction

f ″

est positive donc convexe sur

[- 1, 1]

, négative et concave sur

] - ∞, - 1]

[1, + ∞ [

.
Deux points d'inflexion aux points d'abscisse

x = - 1

x = 1

. On notera que l'on a fait figurer sur la représentation graphique jointe ci-dessous les tangentes aux points d'inflexion :

y = x + \ln 2 - 1

y = - x + \ln 2 - 1

(en vert) qui traversent la courbe.
• Pour l'étude des branches infinies (donc

x \neq 0

), on forme la quantité :

\frac{f (x)}{x} = \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x}

. Les théorèmes de croissance comparée montrent que ceci tend vers 0 en

\pm ∞

. La courbe admet donc des branches paraboliques parallèles à

O x

+ ∞

et en

- ∞

Représentation graphique.

Quelques particularités d'une courbe

Points anguleux.

Ce cas a été traité dans cette partie --> Dérivées à droite, à gauche.

Points de discontinuité.

Lorsqu'une fonction est définie par plusieurs expressions sur des intervalles différents, il faut prêter une attention particulière aux bornes de ces intervalles où il peut y avoir une discontinuité.

La fonction partie entière, déjà vue ici, est discontinue en chaque valeur de $x$ de $ℤ$ .

Exemple. Soit la fonction

f

ℝ

dans

ℝ

, définie par

f (x) = e^{x}

x < 1

f (x) = \frac{1}{x}

x \geq 1

. Examinons d'abord la continuité.

f

est continue sur

ℝ_{-}^{*}

ℝ_{+}^{*}

, car

x \mapsto e^{x}

x \mapsto \frac{1}{x}

le sont. Par ailleurs

\lim_{x \mapsto 1^{-}} f (x) = e

\lim_{x \mapsto 1^{+}} f (x) = 1

f (1) = 1

. La fonction

f

n'ayant pas la même limite à droite et à gauche en 1 n'est donc pas continue en 1. On a une discontinuité en 1 et un saut de la représentation graphique. N'étant pas continue en 1, elle n'est pas dérivable en 1. En revanche, elle peut admettre des demi-tangentes à droite et à gauche aux points d'abscisse 1. Examinons cela :

À gauche sur $] - ∞, 1 [$ : on forme $φ (x) = \frac{e^{x} - e^{1}}{x - 1}$ . On se ramène à une variable tendant vers 0, en posant $t = x - 1$ avec $t$ tendant vers $0^{-}$ . Ceci conduit à $ψ (t) = \frac{e^{t + 1} - e}{t} = e \frac{e^{t} - 1}{t}$ . La fraction est une forme indéterminée connue lorsque $t$ tend vers $0^{-}$ , dont on sait qu'elle tend vers 1. Donc $ψ (t)$ tend vers $e$ si $t$ tend vers $0^{-}$ , ainsi que $φ (x)$ si $x$ tend vers $1^{-}$ . Au point de coordonnées $(1, e)$ la courbe admet une demi-tangente à gauche de coefficient directeur $e$ .
À droite sur $] 1, + ∞ [$ : on forme $χ (x) = \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{1}}{x - 1} = - \frac{1}{x}$ qui tend vers -1, lorsque $x$ tend vers $1^{+}$ . Au point de coordonnées $(1, 1)$ la courbe admet une demi-tangente à droite de coefficient directeur - $1$ .

Tracé de la courbe

Remarque préliminaire importante.

Depuis quelque temps, l'utilisation des calculatrices graphiques ou de GeoGebra par exemple, rend aisé le travail de visualisation de la courbe représentative d'une fonction. Si cela donne de bons résultats dans la majorité des cas, cela a ses limites et nous pensons qu'il peut être fort instructif de faire le travail "à la main", un certain nombre de fois dans sa formation, pour bien comprendre la façon dont les différentes notions s'illustrent dans le dessin.

On reprend le tableau de variation de la fonction définie par $f (x) = x + \frac{1}{x^{2} - 4}$ définie sur $ℝ \ {- 2, 2}$ , déjà vue dans ce document. Rappelons que les tableaux de variation tiennent compte des réductions éventuelles du domaine d'étude provenant de remarques de parité et de périodicité. Dans celui-ci, une seule chose ne figure pas : l'existence d'une asymptote oblique d'équation $y = x$ , qui a été déterminée par ailleurs, et le fait que la courbe est au-dessus de celle-ci en $- ∞$ et en $+ ∞$ .

On trace un repère, affine ou orthogonal, normé ou non, ainsi que les unités choisies sur chaque axe.
On trace les asymptotes éventuelles (dans notre exemple, deux verticales bleues et une oblique verte). Puis d'un petit trait (rouge ici), la position de la courbe par rapport à ces asymptotes (à droite, à gauche, en dessus, en dessous).
On place les points de la courbe correspondant aux maxima et minima locaux, avec une tangente horizontale, ici en A et en B.
On place les points d'intersection de la courbe avec les axes, si le calcul est faisable.
Si on a pu en calculer, on ajoute des points remarquables avec leur tangente si possible : point d'inflexion, point anguleux avec les demi-tangentes
Il peut être fort utile de calculer quelques points de la courbe judicieusement choisis, voire même d'en ajouter quelques-uns, pour l'aide qu'ils apportent au tracé, lorsque le calcul n'est pas trop compliqué. On les reporte dans le repère, avec les tangentes en ces points si possible. (Si la fonction est dérivable, le coefficient directeur de la tangente en un point $x_{0}$ est $f' (x_{0})$ ).
Si l'on a fait des remarques de parité, périodicité, on trace la courbe représentative sur la partie retenue et on complète la figure, soit par symétrie, soit par des translations successives.

À titre d'entraînement, voici quelques fonctions et leur courbe représentative. À vous de faire le lien entre les deux, après étude bien sûr !…

Exercice.

$f_{1} (x) = e^{- x} - e^{- 2 x}$

Représentation graphique.
$f_{2} (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Représentation graphique.
$f_{3} (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$

Représentation graphique.
$f_{4} (x) = x - \sqrt{∣ x - 1 ∣}$

Représentation graphique.
$f_{5} (x) = x^{2} - ∣ x ∣$

Représentation graphique.
$f_{6} (x) = \frac{\sin x}{1 - sinx}$

Représentation graphique.

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Plan d'étude d'une fonction

Introduction

Sommaire.

Ensemble de définition

Quelques résultats connus.

Exercices

Exercices sur le chapitre précédent.

Ensemble d'étude

Limites

Limite finie en un point, limite à droite, limite à gauche.

Opérations sur les limites.

Propriétés générales.

Théorèmes et exercices sur les limites

Rapidité de croissance et comparaison

Rappelons quelques résultats connus (ou à connaître).

Encadrement et comparaison

Limite de fonctions composées.

Définition de la composition des fonctions.

Limite d'une fonction composée.

Formes indéterminées

Remarques rapides sur les formes indéterminées.

Exercices sur les formes indeterminées.

Continuité

Prolongement par continuité. Exercices

Prolongement par continuité

Asymptotes

Recherche d'une asymptote oblique.

Position d'une courbe par rapport à une asymptote.

Branches infinies

Exemple de représentation graphique de quelques branches infinies

Dérivée et utilisation

Utilisation des dérivées.

Dérivées à droite, à gauche.

Dérivées à droite, à gauche.

Exemple :

Dérivée des fonctions composées.

Dérivation des fonctions composées.

Tableau de variation

Extrémums d'une fonction.

Une illustration.

Théorème des valeurs intermédiaires.

Recherche des solutions d'une équation du type f(x)=0

Concavité, convexité

Exercices sur concavité, convexité.

Point d'inflexion

Quelques particularités d'une courbe

Points anguleux.

Points de discontinuité.

Tracé de la courbe

Remarque préliminaire importante.

Recherche des solutions d'une équation du type $f (x) = 0$