Un rectangle est donné par les dimensions de ses côtés exprimées en centimètres. Sa largeur est égale à à près et sa longueur est égale à à près. On note l'aire calculée avec les dimensions et .
Deux chiens et , attachés respectivement à des piquets et distants de m, se déplacent sur le chemin rectiligne dans les limites de leurs laisses de longueurs respectives m et m. On cherche le meilleur encadrement de la distance entre les deux chiens.
Modélisation du problème. Le chemin rectiligne est modélisé par un axe gradué en mètres et d'origine . Les piquets correspondent à des points et d'abscisses et . Les positions des deux chiens sont représentées par des points et . Leurs abscisses varient respectivement dans des intervalles de centres et et de rayons et .
Trouver le meilleur encadrement de la distance des deux chiens.
Lili veut régler sa douche pour que la température du mélange ne dépasse pas la valeur °C. Elle a fixé à son maximum le débit litres/min de l'eau chaude et elle choisit la valeur du débit de l'eau froide en tournant le robinet F gradué en litres/min.
La température du mélange dépend de la température °C de l'eau chaude, de celle °C de l'eau froide et des deux débits et selon la formule de calorimétrie :°C.
Cet exercice peut comporter 2 étapes.
Sur sa route, une navette électrique dessert 2 stations situées aux bornes kilométriques d'abscisses et . Elle se gare et se recharge devant une borne d'abscisse variable . Partant de , elle effectue chaque jour allers-retours et allers-retours .
On note la fonction exprimant la distance totale parcourue par la navette en fonction de l'abscisse de la borne . On veut localiser la station de recharge à une abscisse telle que sa distance totale parcourue soit égale à km.
Cet exercice peut comporter 2 étapes.
Sur sa route, une navette électrique dessert 2 stations situées aux bornes kilométriques d'abscisses et . Elle se gare et se recharge devant une borne d'abscisse variable . Partant de , elle effectue chaque jour allers-retours et allers-retours .
On note la fonction exprimant la distance totale parcourue par la navette en fonction de l'abscisse de la borne . On veut localiser la station de recharge à une abscisse telle que sa distance totale parcourue soit inférieure ou égale à km.
On considère un rectangle dont les dimensions en cm sont les suivantes. Sa largeur vaut à près et sa longueur vaut à près. On note le périmètre calculé avec les dimensions et .
Étape 1.
Le prix du kWh (électricité) devrait augmenter de pour l'année et de pour l'année .
Le pourcentage est la bonne réponse.
Votre réponse située dans l'intervalle est acceptée. La réponse exacte est .
Vous avez saisi . La bonne réponse est .
Étape 2.
En fait, le prix du kWh augmentera de à près l'année et de à près l'année .
Cet exercice comporte trois étapes composées de plusieurs questions.
Une grande poutre
de longueur 16, de point bas
et de point haut
(Figure 1), s'appuie sur le coin d'un muret rectangulaire de largeur
et hauteur
.
Elle est fixée par deux cales, l'une
sur un poteau vertical à
mètres du sol, l'autre
placée au sol à
mètres du poteau.
Pour des raisons matérielles, la distance est supposée comprise entre et et la hauteur entre et .
On va étudier comment sont liées entre elles les variables et , donc les positions des cales et .
Modélisation du problème. Dans le plan vertical muni d'un repère orthonormé , on représente ci-dessous les éléments suivants :
Étape n° 1.
La bonne réponse à la question 1 est :
| = | ||
| = | ||
Étape n° 2.
| = | |||
3. On note la fonction .
4. On note la fonction .
Étape n° 3.
On donne aux côtés du muret des valeurs : et . L'abscisse du point et l'ordonnée du point sont alors reliées par les fonctions et ainsi définies : avec et avec .
5. Lorsque l'abscisse du point varie de à dans l'intervalle , le point N descend de sa position à sa position . L'image de l'abscisse par la fonction décroissante est l'ordonnée qui varie entre deux valeurs et .
6. Lorsque l'ordonnée du point varie de à dans l'intervalle , ce point monte de sa position à sa position et le point se déplace sur vers la gauche de à . Son abscisse varie entre deux valeurs et .
Toto a fixé les débits de l'eau chaude et de l'eau froide en tournant les deux robinets C et F gradués en litres/min. La température du mélange dépend des températures °C de l'eau chaude et °C de l'eau froide, et des deux débits et selon la formule de calorimétrie :
°C.
et .
Sur une avenue longue de 200 mètres se trouve une fontaine située mètres avant après le point médian. Où doit se mettre Toto pour être à mètres de la fontaine ?
Modélisation du problème : Sur un axe doté d'une origine se trouve une fontaine au point d'abscisse . On cherche quels points se trouvent à une distance de égale à .
Dans une rue longue de 200 mètres se trouve une fontaine située mètres avant après son point médian. Où doit se mettre Toto pour être dans la rue et à une distance de la fontaine strictement inférieure à mètres ?
Modélisation du problème : Sur un axe doté d'une origine se trouve un point d'abscisse situé entre les points et . On cherche l'ensemble des valeurs de l'abscisse d'un point situé entre et et dont la distance au point est strictement inférieure à .
1. Un point situé entre et est à moins de mètres du point si et seulement si son abscisse est située entre les valeurs :
Solution de 1. : un point situé entre et est à une distance du point strictement inférieure à mètres si et seulement si son abscisse est située entre les valeurs et .
2. Préciser ci-dessous à quel intervalle doit appartenir l'abscisse pour que les deux conditions précédentes soient vérifiées.
Cet exercice comporte trois étapes.
Sur une avenue longue de 200 mètres se trouve une fontaine et un lampadaire situés respectivement mètres avant après et mètre mètres avant après le milieu de l'avenue. Où doit se mettre Toto dans sa rue pour que sa distance à la fontaine ne dépasse pas la valeur mètres et que sa distance au lampadaire ne dépasse pas la valeur mètres ?
Modélisation du problème : La voie est modélisée par un axe où figurent les points d'abscisse et d'abscisse . On cherche à quel intervalle doit appartenir un point d'abscisse telle que pour que ses distances aux points et soient inférieures ou égales respectivement à et .
La distance (avec entre et ) ne dépasse pas si et seulement si l'abscisse de appartient à .
La distance (avec entre et ) ne dépasse pas si et seulement si l'abscisse de appartient à .
vide.Toto attend quelqu'un dans sa rue qui va de l'extrémité à l'extrémité , distantes de mètres. La rue est éclairée par un grand lampadaire situé à à gauche du milieu de la galerie, et un petit lampadaire situé à à droite de ce milieu. Craignant la lumière, Toto voudrait se mettre à au moins de et à au moins de . On cherche dans quelle portion de la rue il peut se placer entre et .
Modélisation du problème. La rue est modélisée sur un axe gradué en mètres (m), où figurent quatre points fixes, d'une part et d'abscisses et (les extrémités de la rue), d'autre part et d'abscisses et (les lampadaires). On recherche, dans l'intervalle , le sous-ensemble des valeurs de l'abscisse du point représentant Toto, qui vérifient les conditions suivantes :: et : .
On commence par déterminer dans l'intervalle
1. Préciser les intervalles et .
Vos réponses : , , , .
Les bonnes réponses : , , , ; c'est-à-dire et .
2. Déterminer, dans l'intervalle , l'ensemble où l'une ou l'autre des conditions et n'est pas vérifiée.
On cherche l'ensemble où les deux conditions et sont vérifiées. C'est le complémentaire de l'ensemble dans l'intervalle .
Comme est la réunion des trois intervalles , et , l'ensemble cherché est la réunion de trois sous-ensembles éventuellement vides : , et .3. Déterminer ces trois sous-ensembles.
vide dans les cases de ses bornes.Les longueurs (en cm) des trois côtés , et d'un parallélépipède sont définies de façon approchée ainsi :
Les volumes minimal et maximal du parallélépipède sont :
Les surfaces minimale et maximale du parallélépipède sont :
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