OEF Probabilités et variables aléatoires simples
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 6 exercices sur les probabilités conditionnelles, l'indépendance des événements, et les variables aléatoires discrètes dont la loi est donnée par un tableau.
Probabilité conditionnelle
Une usine fabrique des stylos à bille. Une étude statistique a montré que
.
Chaque stylo est soumis à un contrôle de fabrication.
Le contrôle des stylos présentant un défaut et des stylos sans défaut. On tire au hasard un stylo dans la production. On note
l'événement : "le stylo a un défaut " et
l'événement : "le stylo n'a pas de défaut".
On note
l'événement : "le stylo est refusé au contrôle" et
l'événement "le stylo est accepté par le contrôle."
ANALYSE DES DONNEES DE L'ENONCE
Le nombre représente :
Vous avez trouvé que :
= ;
=
; =
; =
; =
.
Construire l'arbre de probabilités correspondant à cette situation et en déduire les probabilités suivantes :
La probabilité qu'un stylo défectueux soit accepté par le contrôle est égale à
.
La probabilité qu'un stylo soit défectueux et accepté par le contrôle est égale à
.
La probabilité qu'un stylo accepté par le contrôle soit défectueux est égale à
.
Donner la valeur exacte de chaque probabilité sous forme de fraction, ou sous forme décimale utilisant le point comme séparateur.
Ainsi, si la réponse juste est
, on acceptera 1/100 ou 0.01 mais pas 0,01
Evénements indépendants
Un objet produit en série peut présenter, à l'issue de sa fabrication deux défauts A et B, qui se produisent indépendamment l'un de l'autre.Les objets ayant les deux défauts sont mis au rebut. Sur l'ensemble de la production, % ont le défaut A, % ont le défaut B.
Tableau variable aléatoire 1
On considère une variable aléatoire
qui prend ses valeurs dans l'ensemble {,..,}, et dont la loi est donnée dans le tableau ci-dessous.
Les résultats pourront être arrondis au millième. L'espérance de
est
=
.
L'espérance de
est
; on en déduit la variance de
L'écart-type de
est donc
.
Tableau variable aléatoire 2
Un objet produit en série a un coût de €.
Il peut présenter, à l'issue de sa fabrication deux défauts A et B.
La garantie permet de faire les réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivant : - € pour le seul défaut A
- € pour le seul défaut B
- € pour les défauts A et B
Sur l'ensemble de la production, % des objets n'ont aucun défaut, % ont le seul défaut A, % ont le seul défaut B et % ont les deux défauts A et B.
On note
la variable aléatoire, qui à chaque objet choisi au hasard, associe de cet objet.
Pour pouvoir déterminer la loi de probabilité de
, il faut commencer par chercher l'ensemble des valeurs possibles pour la variable aléatoire
.
Écrire ces valeurs possibles dans l'ordre croissant et séparées par des virgules:
Remplir ce tableau représentant la loi de la variable aléatoire
Calculer l'espérance mathématique de
€
défaut
et son écart-type (à
près) :
€
défaut
Tableau variable aléatoire 2 (sans écart type)
Un objet produit en série a un coût de €.
Il peut présenter, à l'issue de sa fabrication deux défauts A et B.
La garantie permet de faire les réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivant : - € pour le seul défaut A
- € pour le seul défaut B
- € pour les défauts A et B
Sur l'ensemble de la production, % des objets n'ont aucun défaut, % ont le seul défaut A, % ont le seul défaut B et % ont les deux défauts A et B.
On note
la variable aléatoire, qui à chaque objet choisi au hasard, associe de cet objet.
Pour pouvoir déterminer la loi de probabilité de
, il faut commencer par chercher l'ensemble des valeurs possibles pour la variable aléatoire
.
Écrire ces valeurs possibles dans l'ordre croissant et séparées par des virgules:
Remplir ce tableau représentant la loi de la variable aléatoire
Calculer l'espérance mathématique de
€
défaut
Tableau variable aléatoire 3
Un objet produit en série a un coût de €.
Il peut présenter, à l'issue de sa fabrication deux défauts A et B.
Sur l'ensemble de la production,
La garantie permet de faire les réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivant : - pour le seul défaut A
- pour le seul défaut B
- € pour les deux défauts A et B
On note
la variable aléatoire, qui à chaque objet choisi au hasard, associe de cet objet.
Pour pouvoir déterminer la loi de probabilité de
, il faut commencer par chercher l'ensemble des valeurs possibles pour la variable aléatoire
.
Écrire ces valeurs possibles dans l'ordre croissant et séparées par des virgules:
Remplissez ce tableau représentant la loi de la variable aléatoire
Calculer l'espérance mathématique de
€
défaut
et l'écart-type de
à
près :
€
défaut
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