Ce module regroupe pour l'instant 12 exercices sur l'utilisation
de la loi binomiale. Ces exercices ont été conçus dans un contexte de BTS industriel,
mais la plupart d'entre eux peuvent être utilisés dans d'autres classes,
et en particulier en classe de première.
Un exercice sur l'intervalle de fluctuation a été rajouté dans cette optique.
Pour celui-ci, il est possible de choisir un seuil fixe de 95% ou un seuil aléatoire
entre 90 et 99% à l'aide du paramètre en bas de la page.
Il est possible en réglant les paramètres ci-dessous de faire afficher le triangle de Pascal dans les exercices
Utilisation de la formule et Calcul d'une probabilité.
Un autre exercice permet de faire compléter le triangle de Pascal.
Approximation par une loi de Poisson
On considère une variable aléatoire
qui suit une loi binomiale de paramètres et .
Les conditions sont remplies pour pouvoir approcher cette loi par une loi de Poisson.
est
On peut approcher cette loi par une loi de Poisson de paramètre . Soit
une variable aléatoire suivant cette loi de Poisson. Calculer
.
Loi binomiale (ex complet)
.
On appelle
la variable aléatoire qui, à tout échantillon de pièces prélevées avec remise, associe le nombre de dans cet échantillon.
(
;
).
=
.
Pour obtenir la probabilité d'avoir parmi les pièces tirées, on doit calculer la :
Cette
(valeur approchée à
près).
est égale à
et est égal à
(valeur approchée à
près).
Loi binomiale (sans ecart type)
.
On appelle
la variable aléatoire qui, à tout échantillon de pièces prélevées avec remise, associe le nombre de dans cet échantillon.
(
;
).
Calculer à
près :
.
Pour obtenir la probabilité d'avoir parmi les pièces tirées, on doit calculer la
à
(valeur approchée à
près)
est égale à
.
Calculs avec inégalités
On considère une variable aléatoire
qui suit la loi binomiale
( ; ).
.
Calcul de l'espérance d'une loi binomiale
On considère une variable aléatoire
qui suit la loi binomiale
.
est égale à :
.
Intervalle de fluctuation
On s'intéresse à un caractère dont la fréquence dans la population est
.
On cherche à déterminer l'intervalle de fluctuation centré sur
, au seuil de
, de la fréquence de ce caractère dans les échantillons de taille
.
On note
la variable aléatoire égale au nombre d'individus ayant le caractère étudié dans un échantillon aléatoire de
individus. Cette variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres
et
.
Pour trouver l'intervalle de fluctuation de la fréquence à
, on commence par déterminer les deux entiers
et
avec
tels que :
est le
entier
est le
entier
On obtient
et
.
L'intervalle de fluctuation, au seuil
, de la fréquence de ce caractère dans les échantillons de taille
est donc :
[
;
]
[
% ;
% ]
Arrondir les bornes à 0.1 % près si besoin.
Utilisation de la formule
On considère une variable aléatoire
qui suit la loi binomiale
( ; ).
.
Paramètres d'une loi binomiale
.
On appelle
la variable aléatoire qui, à tout échantillon de pièces prélevées avec remise, associe le nombre de dans cet échantillon.
suit(
;
).
Paramètres d'une loi binomiale 2
On admet que la variable aléatoire
suit une loi binomiale
Donner les paramètres
et
de cette loi binomiale.
et
.
On donnera le paramètre
sous forme fractionnaire.
Calcul d'une probabilité
.
On appelle
la variable aléatoire qui, à tout échantillon de pièces prélevées avec remise, associe le nombre de dans cet échantillon. La variable aléatoire
suit donc la loi binomiale
( ; ).
Calculer à
près la
.
Loi binomiale ?
La variable aléatoire
suit-elle ?
Compléter le triangle de Pascal
Compléter ci-dessous l'extrait du triangle de Pascal :
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Description: collection d'exercices d'utilisation de la loi binomiale et calculs. This is the main site of WIMS (WWW Interactive Multipurpose Server): interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games