Tests statistiques --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 16 exercices d'introduction aux tests statistiques.

Age et prévalence d'une maladie

On souhaite savoir si la prévalence d'une maladie M est liée ou non à l'âge. On interroge pour cela un échantillon de personnes représentatif de la population. Les personnes sont réparties selon leur âge et leur état : .
Les effectifs de chaque classe sont décrits dans le tableau ci-dessous : Pour tester l'hypothèse d'indépendance de niveau . On note la variable de test.
Compléter le texte ci-dessous :
  1. Sous l'hypothèse , si les conditions d'approximation sont satisfaites, on peut approcher la loi de par la loi du à degrés de liberté. (on supposera dans la suite que les conditions pour faire cette approximation sont satisfaites, on ne vous demande pas de vous en assurer).
  2. La zone de rejet de l'hypothèse est :
  3. La valeur observée de la variable de test s'écrit :
    où
    • désigne le nombre de personnes de l'échantillon appartenant à la -ème classe d'âge et étant dans l'état (i.e. l'effectif donné dans la case du tableau ci-dessus).
    • est la valeur écrite dans la case du tableau ci-dessous.
  4. D'après les valeurs de , les conditions pour approcher la loi de sous par une loi du sont satisfaites.
    Après calcul, la valeur observée de la statistique de test est
  5. Conclusion du test de niveau avec l'hypothèse d'indépendance entre l'état de l'individu et son âge.
  6. Avec les données de l'énoncé la p-valeur du test est : .

Sondage 1

:

%.

Sondage 2

:
  1. : le va l'emporter le va l'emporter.
  2. %.

Zone de rejet

On dispose d'une observation d'une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans {0,...,}. A l'aide de cette observation , on veut effectuer un test d'une hypothèse contre une hypothèse au niveau %.
Les lois de la variable aléatoire sous les hypothèses et sont représentées par le graphique suivant (en bleu, la loi sous et en rouge, la loi sous ) :
xrange -2, yrange -, segment -1,0, ,0, gray segment 0, -,0,,gray text black, -0.25, 0,small, 0 text black, -0.1, 0,small, text black, -2, +/2, small, segment -0.1,, 0.1,, black
  1. Cliquer sur la région qui correspond à la zone de rejet de l'hypothèse .
    NB : et désignent des entiers vérifiant .

    2. Bonne réponse : la zone de rejet de est de la forme .
  2. Le tableau suivant donne quelques valeurs de la fonction de répartition de sous et sous , notée respectivement et pour avoir un test de niveau %.
    .
    3. Bonne réponse : au niveau %, la zone de rejet de est avec .
  3. Calculer la valeur (en %) de du test ainsi défini.
    %.
    Donner le résultat avec au moins quatre chiffres significatifs.

La pièce est-elle bien équilibrée ?

  1. Quelle est la probabilité pour qu'une pièce bien équilibrée tombe au moins fois sur "" si on la lance fois ?
    %
    %
  2. On lance une pièce fois de suite ; elle tombe fois sur "" et fois sur "".

    Peut-on conclure, avec un risque de se tromper inférieur à %, que la pièce est déséquilibrée ?

La pièce est-elle biaisée ?

On dispose d'une pièce et on se demande si elle est biaisée et tombe plus facilement sur le côté "". On la lance fois de suite ; elle tombe fois sur "" et fois sur "".
  1. Quelle est la probabilité pour qu'une pièce bien équilibrée tombe au moins fois sur "" si on la lance fois ?
    %
    Il y a %
  2. Peut-on conclure, avec un risque de se tromper inférieur ou égal à %, que nous avons raison de penser qu'elle est biaisée en faveur de "" ?

Réaction à un vaccin

Un vaccin est supposé induire une réaction grave dans 1 cas sur .
  1. Par quelle loi peut-on approcher la loi du nombre de personnes ayant une réaction grave sur personnes vaccinées ?
    si la loi a plusieurs paramètres, les rentrer dans l'ordre usuel en séparant les valeurs par des virgules.

    2. Bonne réponse : on peut l'approcher par une loi de Poisson de paramètre = .

Questionnaire

Un examinateur donne un questionnaire comportant questions, chaque question ayant 2 réponses possibles. Si le candidat répond juste à au plus questions sur , il considère que l'étudiant a répondu au hasard à toutes les questions.

    2. Bonne réponse : la probabilité pour que l'examinateur rejette l'hypothèse selon laquelle l'étudiant a répondu au hasard à toutes les questions alors que celle-ci est vraie est de .

Donnez vos réponses en gardant au moins 3 chiffres significatifs.

Test de la médiane

Un produit commercialisé est présenté dans des boîtes sur lesquelles on peut lire : contenance grammes. Les informations recueillies auprès du fabriquant permettent d'affirmer que dans ce cas la valeur de grammes est censée représenter la médiane d'une variable aléatoire à densité. Un échantillon de boîtes est prélevé. Sur les boîtes, boîtes ont une contenance inférieure à grammes.
Peut-on conclure avec un risque de se tromper inférieur ou égal à % que ?

Poids d'un paquet de farine

Le poids (en grammes) de farine contenue dans un paquet peut être modélisé par une variable aléatoire de loi normale avec inconnu et g. Sur le paquet, il est indiqué Poids : 1 kg .
  1. Calculer la valeur minimale de qui assure que moins de % des paquets aient un poids inférieur à 1 kg. g
    Donnez votre réponse en grammes au centième de gramme près

    2. Réponse : il faut que soit au moins égal à g pour que moins de % des paquets aient un poids inférieur à 1 kg.
  2. Un contrôleur pèse paquets pris au hasard dans la production. Le poids moyen de ces paquets est de g.
    Peut-on conclure avec un risque de se tromper inférieur ou égal à % que est strictement inférieur à 1000 g ?

Tension artérielle 1

:
  1. ?
    2. Le médecin fait le test : .

  2. %

Tension artérielle 2

  1. ?
    2. Le médecin fait le test : .
  2. :

    %
    :
  3. Que conclut le medecin s'il fait un test de niveau % ?

Pourcentage de pièces défectueuses

Un fabricant affirme qu'au moins % de l'équipement qu'il fournit à un dépositaire est conforme au cahier des charges. L'examen de pièces prises au hasard parmi les pièces fournies montre que pièces sont défectueuses (c'est-à-dire non conformes au cahier des charges).
  1. %
    2. ?
    Le pourcentage de pièces défectueuses parmi les pièces testées est .
    3. ?
    Bonne réponse : on peut approcher la loi du nombre de pièces défectueuses par une loi Binomiale.
  3. Que dire de l'affirmation du fabricant au niveau de % ?
    4. Bonne réponse : au niveau %, .
  4. Combien de composants défectueux doit-on observer dans l'ensemble des pièces testées pour rejeter l'affirmation du fabricant au niveau % ? .

Test du chi-deux d'ajustement 1

On nous dit que le tableau suivant a été obtenu en tirant nombres au hasard entre et

  1. .

    2. .

  2. Est-il raisonnable d'approcher la loi de la variable de test par une loi du sous ? .
    3. Bonne réponse : on peut approcher la loi de la variable de test par une loi du sous .
  3. Donner le degré de liberté de la loi du qui approche la loi de la variable de test sous et calculer la valeur observée de la variable de test.

    4. Bonnes réponses :


Test du chi-deux d'ajustement 2

On nous dit que le tableau suivant a été obtenu en tirant nombres au hasard entre et

  1. .

    2. .

  2. Est-il raisonnable d'approcher la loi de la variable de test par une loi du sous ? .
    3. Bonne réponse : on peut approcher la loi de la variable de test par une loi du sous .
  3. Donner le degré de liberté de la loi du qui approche la loi de la variable de test sous et calculer la valeur observée de la variable de test.

    4. Bonnes réponses :


Vocabulaire sur les tests

On effectue un test d'une hypothèse contre une hypothèse au niveau % à l'aide de l'observation d'une variable aléatoire .
  1. Sur la figure ci-dessous, on a représenté la densité de la loi de sous en bleu et la densité de la loi de sous en rouge.
    figure
    La zone de rejet de est de la forme :
  2. Sur l'une de ces figures, l'aire de la zone coloriée en jaune correspond à du test. Cliquez sur cette figure.
  3. Bonne réponse, sur la figure ci-dessous l'aire de la zone coloriée en jaune correspond à du test.
  4. Si le seuil de signification du test (appelé aussi la p-valeur) pour la valeur observée est de % alors cela signifie que pour le test de niveau % . .
  5. L'expression de la p-valeur est :
    ( )
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