OEF Exercices d'électrostatique --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 22 exercices sur l'électrostatique, illustrant :

les outils (surfaces, volumes, dérivée partielle, circulation, gradient, symétries)
les calculs de champ produits par des charges ponctuelles
les calculs de potentiel
les symétries d'une distribution de charges
le théorème de Gauss

Angle solide sous lequel on voit un télescope

Un astronaute qui s'est posé sur la lune observe la terre avec un télescope dont le miroir a un rayon m. Sous quel angle solide un observateur terrestre situé à l'équateur et juste en face de la lune voit-il le miroir du télescope ?

La distance observateur-télescope sera prise égale à km

L'angle solide

Consignes et données :

On donnera le résultat avec 4 chiffres significatifs.

La mantisse et l'exposant du résultat seront séparés. Par exemple, sera séparé en 7.78 dans le premier champ de réponse et -8 dans le second. La mantisse doit être comprise entre 1. et 9.9999

Angles et angles solides

Relier par glisser-déposer les quantités aux valeurs correspondantes.

Circulation d'un champ le long de deux segments

On définit un repère cartésien ( ) dans un plan et une base orthonormée ( ). On considère une courbe composée de deux segments jointifs de longueur individuelle et orthogonaux (voir figure).
Un champ vectoriel constant existe dans tout l'espace, il est représenté par un vecteur (sans dimension, ce n'est pas forcément un champ électrostatique ou magnétique), de norme et faisant un angle d= radians avec la direction ( ).

xrange -7.5,5 yrange -5,5 fcircle ,,5, blue text blue,-0.1,-0.1,giant,A fcircle +8,+8,5, blue text blue,+8.3,+8.2,giant,B arrow ,,+,+,10,red arrow 1,-1,1+,-1+,10,green arrow -2,-1,-2+,-1+,10,green arrow 0,-1.5,,-1.5+,10,green arrow -1,3,-1+,3+,10,green arrow 4.2,-1,4.2+,-1+,10,green arrow 0.1,2.2,0.1+,2.2+,10,green arrow -2,1.1,-2+,1.1+,10,green arrow -3,1,-3+,1+,10,green arrow -1,-4.5,-1+,-4.5+,10,green arrow 0,-3.5,,-3.5+,10,green arrow 4.3,-3,4.3+,-3+,10,green arrow -3,2,-3+,2+,10,green arrow 2.2,-2.1,2.2+,-2.1+,10,green arrow 1.1,-4.5,1.1+,-4.5+,10,green arc ,,2,2,0,/3.1415926*180,blue text blue,+1.2,+0.5,giant,d

Calculer numériquement la circulation du vecteur le long de toute la courbe S.I.

Quelle est l'unité de circulation dans le cas présent ?

s'exprime en

Consignes :

On donnera le résultat avec 4 chiffres significatifs.

Les puissances de 10 seront étendues. Par exemple sera noté -0.000093

Pour les unités, utilisez les notations standard, par exemple une unité s'écrira km^(3)*s^(-1) mais ce n'est qu'un exemple...

Circulation d'un champ le long d'un courbe en escalier

On définit un repère cartésien ( ) dans un plan et une base orthonormée ( ). On considère une courbe composée de segments de longueur individuelle disposés en escalier comme illustré sur la figure.
Un champ vectoriel constant existe dans tout l'espace, il est représenté par un vecteur (sans dimension, ce n'est pas forcément un champ électrostatique ou magnétique), de norme et faisant un angle d= radians avec la direction ( ).

xrange -7.5,5 yrange -5,5 fcircle ,,5, blue text blue,-0.1,-0.1,giant,A fcircle +8,+8,5, blue text blue,+8.3,+8.2,giant,B arrow ,,+,+,10,red arrow 1,-1,1+,-1+,10,green arrow -2,-1,-2+,-1+,10,green arrow 0,-1.5,,-1.5+,10,green arrow -1,3,-1+,3+,10,green arrow 2,-1,2+,-1+,10,green arrow 0.1,2.2,0.1+,2.2+,10,green arrow -2,1.1,-2+,1.1+,10,green arrow -3,1,-3+,1+,10,green arrow -1,-4,-1+,-4+,10,green arrow 0,-3.5,,-3.5+,10,green arrow 3,-3,3+,-3+,10,green arrow -3,2,-3+,2+,10,green arrow 2.2,-2.1,2.2+,-2.1+,10,green arrow 1.1,-4,1.1+,-4+,10,green arc ,,2,2,0,/3.1415926*180,blue text blue,+1.2,+0.5,giant,d

Calculer numériquement la circulation du vecteur le long de toute la courbe en escalier S.I.

Quelle est l'unité de circulation dans le cas présent ?

s'exprime en

Consignes :

On donnera le résultat avec 4 chiffres significatifs.

Les puissances de 10 seront étendues. Par exemple sera noté -0.000093

Pour les unités, utilisez les notations standard, par exemple une unité s'écrira km^(3)*s^(-1) mais ce n'est qu'un exemple...

Dérivées partielles

Calculer les dérivées partielles de la fonction définie par

Différentielles totales

Soit un champ scalaire f défini dans le plan par

Compléter l'expression analytique de la différentielle totale exacte de

( ) ( ) .

Direction de la force électrostatique

La charge élémentaire est notée

Quatre charges ponctuelles sont situées aux quatres positions dessinées ci-dessous, avec les valeurs des charges indiquées. Une charge ponctuelle de valeur est située au centre xrange -5.2, 5.2 yrange -5.2, 5.2 hline 0,0, gray vline 0,0, gray fcircle 3,0,10,black fcircle 0,3,10,black fcircle 0,-3,10,black fcircle -3,0,10,black fcircle 0,0,10,blue text black,3.4,-0.2,large, q text black,-3.4,-0.2,large, q text black,0.2,3.4,large, q text black,0.2,-3.4,large, q text black,0.2,-0.2,large, q text black,-0.5,0.5,large,C

On donne la convention suivante pour les directions de vecteurs :

xrange -5.2, 5.2 yrange -5.2, 5.2 arrow 0,0,3,0,10,black text black,3.2,0,large,1 arrow 0,0,2.1,2.1,10,black text black,2.6,2.6,large,2 arrow 0,0,0,3,10,black text black,0,3.8,large,3 arrow 0,0,-2.1,2.1,10,black text black,-2.7,2.7,large,4 arrow 0,0,-3,0,10,black text black,-3.4,0,large,5 arrow 0,0,-2.1,-2.1,10,black text black,-2.2,-2.2,large,6 arrow 0,0,0,-3,10,black text black,0,-3.2,large,7 arrow 0,0,2.1,-2.1,10,black text black,2.2,-2.2,large,8

Dans quelle direction et sens la force électrostatique exercée sur la charge centrale présente au point sera-t-elle dirigée ?

Direction numéro (de 1 à 8)

Calcul de flux à travers une surface

On définit un repère cartésien ( ) et une base orthonormée ( ). On considère une surface carrée de coté plongée dans le plan ( ).
Un champ vectoriel constant existe dans tout l'espace, il est représenté par un vecteur (sans dimension) situé dans le plan ( ), de norme et faisant un angle d= radians avec la direction ( ).

La normale à la surface est représentée par un vecteur unitaire dirigé selon ( ) (donc ).

xrange -5,5 yrange -5,5 copy -5,2.9,-1,-1,-1,-1,carre_flux.png transparent white fcircle ,,5, blue text blue,+0.1,-0.1,giant,O arrow ,,+,+,10,red arrow +1,-1,+1+,-1+,10,green arrow -1,-2,-1+,-2+,10,green arrow ,-1.5,+,-1.5+,10,green arrow +3,-1,+3+,-1+,10,green arrow +2,-1,+2+,-1+,10,green arrow +2.2,+0.1,+2.2+,+0.1+,10,green arrow +1.1,-2,+1.1+,-2+,10,green text blue,+0.1,+1.7,giant,d

Calculer numériquement le flux du vecteur à travers la surface S.I.

Quelle est l'unité de flux dans le cas présent ?

s'exprime en

Consignes :

On donnera le résultat avec 4 chiffres significatifs.

Les puissances de 10 seront étendues. Par exemple sera noté -0.000093

On utilisera les notations standard pour l'expression des unités. Par exemple une unité s'écrira km^(3)*s^(-1) mais ce n'est qu'un exemple...

Flux à travers une surface II

On définit un repère cartésien ( ) et une base orthonormée ( ). On considère une surface composée de deux carrés de coté orthogonaux, comme illustré sur la figure.
Un champ vectoriel constant existe dans tout l'espace, il est représenté par un vecteur (sans dimension) situé dans le plan ( ), de norme et faisant un angle d= radians avec la direction ( ).
La normale à la surface est représentée par un vecteur unitaire

dirigé selon ( ) (avec ) pour le carré "horizontal" plongé dans ( ).
dirigé selon ( ) dans le sens opposé à (avec ) pour le carré "vertical".

xrange -5,5 yrange -5,5 copy -5,4.8,-1,-1,-1,-1,carre2_flux.png transparent white fcircle ,,5, blue text blue,+0.1,-0.1,giant,O arrow ,,+,+,10,red arrow +1,-1,+1+,-1+,10,green arrow -1,-2,-1+,-2+,10,green arrow ,-1.5,+,-1.5+,10,green arrow +3,-1,+3+,-1+,10,green arrow +2,-1,+2+,-1+,10,green arrow +2.2,+0.1,+2.2+,+0.1+,10,green arrow +1.1,-2,+1.1+,-2+,10,green arrow +1,-3,+1+,-3+,10,green arrow -1,-4,-1+,-4+,10,green arrow ,-3.5,+,-3.5+,10,green arrow +3,-3,+3+,-3+,10,green arrow +2,-3,+2+,-3+,10,green arrow +2.2,-2.1,+2.2+,-2.1+,10,green arrow +1.1,-4,+1.1+,-4+,10,green text blue,+0.05,+1.6,giant,d

Calculer numériquement le flux du vecteur à travers toute la surface S.I.

Quelle est l'unité de flux dans le cas présent ?

s'exprime en

Consignes :

On donnera le résultat avec 4 chiffres significatifs.

Les puissances de 10 seront étendues. Par exemple sera noté -0.000093

On utilisera les notations standard pour l'expression des unités. Par exemple une unité s'écrira km^(3)*s^(-1) mais ce n'est qu'un exemple...

Flux à travers une surface cylindrique

On considère un cylindre à base circulaire de hauteur et de rayon . On se place dans un repère en coordonnées cylindriques dont les vecteurs de base locale seront notés . L'axe du cylindre est l'axe

Comment l'élément infinitésimal de surface sur le cylindre s'écrit-il dans ce système de coordonnées cylindriques ?

L'élément infintésimal de surface sur le cylindre s'écrit

On considère aussi un champ vectoriel (sans dimension), qui ne dépend que de l'angle (en radians) et qui s'écrit :

où et sont des constantes.

Quelle est la caractéristique de ?

Un vecteur du champ est dirigé selon , donc de façon normale à la surface du cylindre.

On donne les valeurs suivantes :

m, m
,

Quelle est la valeur du flux de à travers la surface cylindrique ?

S.I.

Consignes :

On donnera le résultat avec 4 chiffres significatifs.

Les puissances de 10 seront étendues. Par exemple sera noté -0.000093

Gradient d'une fonction

Soit une fonction f définie dans le plan par

Exprimer analytiquement les composantes du gradient de

selon

Déterminer les coordonnées du vecteur gradient au point

Consignes :

On donnera le résultat avec 4 chiffres significatifs.

Les puissances de 10 seront étendues. Par exemple sera noté -0.000093

Détermination d'une surface de Gauss I

On considère, illustré ci-dessous, . Quelle surface de Gauss doit-on utiliser pour calculer la norme du champ électrostatique au point et quelle est l'orientation de cette surface ?

xrange -5.2, 5.2 yrange -5.2, 5.2 fcircle ,,5, red text red,+0.2,,giant,M

La surface de Gauss est .
Son est confondu avec .
La surface de Gauss . La surface de Gauss est .
Son est confondu avec .
La surface de Gauss .

Quelle image illustre le mieux la situation ? En bleu la surface ou le volume chargé et en orange la surface de Gauss (cliquez sur le bon dessin) :

L'image qui illustre le mieux la situation est : ou .

Détermination d'une surface de Gauss II

On considère, illustré ci-dessous, . Quelle surface de Gauss doit-on utiliser pour calculer la norme du champ électrostatique au point et quelle est l'orientation de cette surface ?

xrange -5.2, 5.2 yrange -5.2, 5.2 fcircle ,,5, red text red,+0.2,,giant,M

L'image qui illustre le mieux la situation est : ou .

Détermination d'une surface de Gauss III

On considère, illustré ci-dessous, . Quelle surface de Gauss doit-on utiliser pour calculer la norme du champ électrostatique au point et quelle est l'orientation de cette surface ?

xrange -5.2, 5.2 yrange -5.2, 5.2 fcircle ,,5, red text red,+0.2,,giant,M

L'image qui illustre le mieux la situation est : ou .

Détermination d'une surface de Gauss IV

On considère, illustré ci-dessous, . Quelle surface de Gauss doit-on utiliser pour calculer la norme du champ électrostatique au point et quelle est l'orientation de cette surface ?

xrange -5.2, 5.2 yrange -5.2, 5.2 fcircle ,,5, red text red,+0.2,,giant,M

L'image qui illustre le mieux la situation est : ou .

Surfaces et volumes

Relier par glisser-déposer les quantités aux valeurs correspondantes.

est le rayon de l'objet, la hauteur si c'est une grandeur pertinente, la longueur du coté du carré, également si cette grandeur est pertinente

Champ électrostatique radial

On considère une surface tridimensionnelle chargée, illustrée sur la figure ci-dessous :

Après avoir observé cette surface en vous aidant des plans dessinés, cliquez sur tous les points rouges pour lesquels le vecteur champ électrostatique créé par la surface sera radial, c'est à dire que sa droite d'action passera par l'origine des coordonnées.

Consignes :

Faites tourner la figure avec la souris. La molette permet de zoomer. En appuyant sur la touche majuscule en même temps que l'on fait tourner la figure, il est possible de corriger l'orientation

Un clic sur l'un des boutons dessine l'un des plans dans une orientation particulière. Ceci a pour but d'aider à l'observation en 3D, de guider l'oeil.

Toutes les orientations possibles ne sont peut-être pas utiles et il est possible que l'on doive imaginer certains plans de symétrie.

Calcul d'un champ électrostatique

Deux charges ponctuelles de valeurs et sont placées dans un plan aux coordonnées

xrange -5.2, 5.2 yrange -5.2, 5.2 hline 0,0, gray vline 0,0, gray fcircle ,0,10,black fcircle 0,,10,black text black,,-0.2,large,Q1 text black,0.2,,large,Q2 text blue,0.2,-0.2,large,O dlines gray,,0,,,0, fcircle ,,5,blue text black,+0.3*/abs(),+0.3*/abs(),large,P

Calculer les composantes du champ électrostatique produit par ces charges au point et sa norme. On donnera le résultat avec 4 chiffres significatifs.

Composante selon

Norme :

Calcul d'une force électrostatique I

Deux charges ponctuelles de valeurs et sont placées dans un plan aux coordonnées

xrange -8.6, 8.6 yrange -5.6, 5.6 hline 0,0, gray vline 0,0, gray fcircle ,0,10,black fcircle ,,10,black text black,,-0.2,large,Q1 text blue,0.2,-0.2,large,O text black,,-0.2,large,Qc

La charges exerce sur la charge une force . Calculer les composantes de cette force et sa norme exprimées en Newton.

Composante selon N

Norme : N

Consignes :

On donnera le résultat avec 4 chiffres significatifs.

Ne pas mettre l'unité dans la réponse.

Les puissances de 10 seront étendues. Par exemple sera noté -0.000093

On prendra la valeur numérique S.I.

Calcul d'une force électrostatique II

Trois charges ponctuelles de valeurs , et sont placées dans un plan aux coordonnées

xrange -5.6, 5.6 yrange -5.6, 5.6 hline 0,0, gray vline 0,0, gray fcircle ,0,10,black fcircle 0,,10,black text black,,-0.2,large,Q1 text black,0.2,,large,Q2 text blue,0.2,-0.2,large,O dlines gray,,0,,,0, fcircle ,,10,black text black,+0.3*/abs(),+0.3*/abs(),large,Qc

Les charges et exercent sur la charge une force . Calculer les composantes de cette force et sa norme exprimées en Newton.

Composante selon N

Norme : N

Consignes :

On donnera le résultat avec 4 chiffres significatifs.

Ne pas mettre l'unité dans la réponse.

Les puissances de 10 seront étendues. Par exemple sera noté -0.000093

On prendra la valeur numérique S.I.

Calcul d'un potentiel électrostatique I

Deux charges ponctuelles de valeurs et sont placées dans un plan aux coordonnées

Calculer le potentiel électrostatique produit par ces charges aux points et . On supposera le potentiel nul à l'infini.

Potentiel en V

Consignes :

On donnera le résultat avec 4 chiffres significatifs.

Ne pas mettre l'unité dans la réponse.

Les puissances de 10 seront étendues. Par exemple sera noté -0.000093

On prendra la valeur numérique S.I.

Calcul d'un potentiel électrostatique II

Deux charges ponctuelles de valeurs et sont placées dans un plan aux coordonnées

xrange -8.6, 8.6 yrange -5.6, 5.6 hline 0,0, gray vline 0,0, gray fcircle ,0,10,black fcircle ,,10,black fcircle 0,,5,blue text black,,-0.2,large,Q1 text blue,0.2,-0.2,large,O text black,,-0.2,large,Qc text blue,0,-0.2,large,P

Calculer le potentiel électrostatique produit par ces charges aux points et . On supposera le potentiel nul à l'infini.

Potentiel en V

Consignes :

On donnera le résultat avec 4 chiffres significatifs.

Ne pas mettre l'unité dans la réponse.

Les puissances de 10 seront étendues. Par exemple sera noté -0.000093

On prendra la valeur numérique S.I.

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