Il cifrario di Cesare

Il cifrario di Cesare


Una versione stampabile di questo documento è qui disponibile: Il cifrario di Cesare

I Cifrare un messaggio

II Decifrare un messaggio

III Una precisazione

IV Un gioco

V Un problema

VI Correzione degli errori

VII Credits

I Cifrare un messaggio


Il problema che abbiamo è questo: abbiamo un messaggio importantissimo che vogliamo inviare ai nostri amici più cari. Ma il messaggio è segreto: vogliamo che solo i nostri amici siano in grado di leggerlo e che spioni curiosi restino a bocca asciutta!
Questo problema è molto comune e fin dall'antichità si è provato a risolverlo in vari modi.
Un esempio storico ci viene raccontato da Svetonio (69 circa -- 122 circa) nelle Vitae Caesarorum, libro in cui viene raccontata la storia del grande Giulio Cesare. Quando Cesare doveva inviare un messaggio, che conteneva importanti informazioni militari segrete, sostituiva a ogni lettera del messaggio da inviare la lettera che la segue di 3 posti. Cioè alla lettera ``A'' sostituiva la lettera ``D'', alla ``B'' la lettera ``E'', e così via.
Non è difficile riflettere sul fatto che un sistema analogo si può ottenere spostando ogni lettera di un numero prefissato qualsiasi di posti. Nelle prossime pagine vedremo bene come funziona questo meccanismo, che viene ricordato proprio come Cifrario di Cesare.
Il problema di decifrare messaggi per trasmetterli in segretezza è una questione ancora attuale ai giorni nostri. Anzi, le tecniche moderne permettono non solo di ottenere questa segretezza, ma permettono anche di verificare che il messaggio non si sia rovinato durante la trasmissione. Ritroviamo queste tecniche nelle trasmissioni telefoniche e televisive (per cui spesso serve un decoder, cioè un decifratore), nei codici dei Bancomat e delle carte di credito, e in tante altre situazioni.
Ma questa è un'altra storia... proveremo a dare qualche idea proprio alla fine di questo documento.

I-1 Come cifrare?

I-2 Mettiti alla prova

Il cifrario di Cesare → I Cifrare un messaggio

I-1 Come cifrare?

Se disponiamo le lettere dell'alfabeto in cerchio, possiamo prendere a caso un numero, che per brevità indicheremo con la lettera k, e spostare tutte le lettere avanti di k posizioni.

Esempio

Per esempio, se scegliamo k=2, la figura ci mostra come la lettera ``A'' viene spostata avanti di due posti, e si trova quindi al posto della ``C'', la lettera ``B'' va al posto della ``D'', la ``C'' al posto della ``E'', e così via.
Dobbiamo immaginarci le lettere disposte in cerchio, così quando arriviamo alla fine (e dobbiamo spostare la ``Z'' in avanti di due posizioni) non dobbiamo far altro che ricominciare (la lettera ``Z'' si trova quindi al posto della ``B'').



Ora visualizza la ruota per un valore casuale di k .


Se abbiamo un messaggio che vogliamo mantenere segreto, in modo che solo i nostri amici siano in grado di leggerlo, possiamo cifrarlo scegliendo un numero k (la ``chiave'') e spostando le lettere in avanti di k posti.

Esempio

Per esempio se scegliamo k=2 e vogliamo cifrare la parola ``CASA'', al posto della ``C'' scriviamo ``E'', al posto della ``A'' scriviamo ``C'' e al posto della ``S'' scriviamo... (indovinate un po'...) scriviamo ``U''. Quindi invece di ``CASA'', scriviamo ``ECUC''.

I-2 Mettiti alla prova


Un primo passo per capire come funziona questa procedura di codifica è quello di provare a cifrare un messaggio molto breve: un messaggio formato da una sola lettera.

Mettiti alla prova

Cifra una lettera 1 : ti viene data una lettera e la chiave k e devi cifrarla. Puoi aiutarti con le ruote che ho disegnato per te.
Cifra una lettera 2 : un pochino più difficile, ora devi immaginarti da solo la ruota che muove le lettere.

Benissimo, se hai capito come codificare le singole lettere, ora sei pronto per codificare alcune semplici parole

Mettiti alla prova

Cifra una parola 1 : ti viene data una parola e la chiave k e devi cifrarla. Puoi aiutarti con le ruote che ho disegnato per te.
Cifra una parola 2 : un pochino più difficile, ora devi immaginarti da solo la ruota che muove le lettere.

E ora puoi provare a cifrare messaggi un po' più lunghi.

Mettiti alla prova

Cifra un messaggio 1 : ti viene data una frase e la chiave k e devi cifrarla. Puoi aiutarti con le ruote che ho disegnato per te.
Cifra un messaggio 2 : un pochino più difficile, ora devi immaginarti da solo la ruota che muove le lettere.
Il cifrario di Cesare → I Cifrare un messaggio → I-2 Mettiti alla prova

II Decifrare un messaggio


Ora che abbiamo capito come si fa a cifrare un messaggio, mettiamoci nei panni dei nostri amici che lo ricevono. Si troveranno davanti un testo incomprensibile come questo:

Esempio

Grruxg or haxgzzotu joyzkyk o yauo vgtto gr yurk vkx xgyioamgxro, k yo vuyk g magxjgxk jo wag k jo rg yk vkx igyu gbkyyk vuzazu yiuxmkxk ya wakrrg ossktyg yvogtgzg j'giwag atg voiiurg hgxinkzzg iut at usotu jktzxu. Sg juvu gbkx magxjgzu hkt hktk, tut bojk grzxu jotgtfo g yk ink iokru, sgxk k wagrink bkrg jo hgyzosktzu, sg iuyo rutzgtg rutzgtg, ink vgxkbg atg suyig.

Come si fa a decifrarlo, cioè a capire che cosa c'è scritto?

II-1 Come decifrare?

II-2 Mettiti alla prova

Il cifrario di Cesare → II Decifrare un messaggio

II-1 Come decifrare?


Se sappiamo che il messaggio è stato cifrato con il metodo che abbiamo appena studiato, quello che dobbiamo fare è trovare qual è il valore di k che è stato usato per codificare il messaggio e seguire la procedura di cifratura al contrario!

Esempio

Se sappiamo che il messaggio è stato cifrato utilizzando la chiave k=2, cioè spostando in avanti le lettere di due posti, quello che dobbiamo fare è riportare indietro le lettere di due posti, come si può vedere nella ruota disegnata sotto. Per ricordarci che stiamo spostando le lettere in senso contrario, anziché scrivere k=2, scriviamo k=−2.
Nell'esempio che abbiamo visto all'inizio, la parola ``CASA'' una volta cifrata con k=2 diventa la parola ``ECUC''.
Chi riceve il messaggio ``ECUC'' deve andare a cercare, nella ruota qui sotto, dove è finita la lettera ``E'' e scopre che è finita al posto della ``C''. Questo significa che al posto della ``E'' dovremmo leggere ``C''. In modo analogo, al posto di ``C'' dobbiamo leggere ``A'', al posto di ``U'' dobbiamo leggere ``S'' e, di nuovo, al posto di ``C'' dobbiamo leggere ``A''. Ecco che siamo tornati alla parola ``CASA''.



Ora visualizza la ruota per un valore casuale di k .


Il cifrario di Cesare → II Decifrare un messaggio → II-1 Come decifrare?

II-2 Mettiti alla prova


Anche in questo caso, per capire bene come funziona questa procedura di ``decodifica'' il modo migliore è quello di provare a decifrare i messaggi. Cominciamo con un messaggio molto breve: un messaggio formato da una sola lettera.

Mettiti alla prova

Decifra una lettera 1 : ti viene data una lettera e la chiave k e devi decifrarla. Puoi aiutarti con le ruote che ho disegnato per te.
Decifra una lettera 2 : un pochino più difficile, ora devi immaginarti da solo la ruota che muove le lettere.

Benissimo, se hai capito come decodificare le singole lettere, ora sei pronto per decodificare alcune semplici parole

Mettiti alla prova

Decifra una parola 1 : ti viene data una parola e la chiave k e devi cifrarla. Puoi aiutarti con le ruote che ho disegnato per te.
Decifra una parola 2 : un pochino più difficile, ora devi immaginarti da solo la ruota che muove le lettere.

E ora puoi provare a decifrare messaggi un po' più lunghi.

Mettiti alla prova

Decifra un messaggio 1 : ti viene data una frase e la chiave k e devi decifrarla. Puoi aiutarti con le ruote che ho disegnato per te.
Decifra un messaggio 2 : un pochino più difficile, ora devi immaginarti da solo la ruota che muove le lettere.
Il cifrario di Cesare → II Decifrare un messaggio → II-2 Mettiti alla prova

III Una precisazione


Fino a qui abbiamo considerato l'alfabeto Italiano a cui siamo abituati (ABCDEFGHILMNOPQRSTUVZ: 21 lettere). Sappiamo però che sono sempre più utilizzate nella nostra lingua parole che contengono anche altre lettere (per esempio pensiamo alla parola ``WEEKEND''). Tutto quello che abbiamo fatto funziona perfettamente anche se utilizziamo un alfabeto con queste lettere aggiunte (in tutto 26 lettere).

Mettiti alla prova

Cifra una lettera utilizzando l'alfabeto completo con 26 lettere.
Decifra una lettera utilizzando l'alfabeto completo con 26 lettere.
Il cifrario di Cesare → III Una precisazione

IV Un gioco


Quello che abbiamo visto fino a ora è un metodo di cifratura particolare.
Si possono utilizzare metodi di cifratura diversi: la cosa importante è avere una regola per sostiture una lettera con un'altra, ma questa regola deve anche permettere al destinatario del messaggio di costruire la regola inversa per tornare indietro quando si vuole decifrare il messaggio.
In questi giochi che ti indichiamo qui sotto potrai sperimentare il compito di decifrare messaggi che sono stati cifrati con metodi diversi.

Mettiti alla prova

Il cifrario di Cesare
  • Testo lungo (più facile)
  • Testo breve (più difficile)

Mettiti alla prova

Altri metodi di cifratura
  • Livello 1
  • Livello 2
  • Livello 3
  • Livello 4
  • Livello 5
  • Livello 6

Il cifrario di Cesare → IV Un gioco

V Un problema


Concludiamo questa parte sulla codifica e decodifica dei messaggi con un problema difficilissimo:
Fonte: AAVV, La formica e il Miele: 30 giochi per ragazze e ragazzi svegli, Mimesis, 2005.

Il cifrario di Cesare → V Un problema

VI Correzione degli errori


Le tecniche moderne di cifratura permettono anche di verificare che il messaggio non si sia rovinato durante la trasmissione, cioè permettono di correggere gli errori.
Qui un semplice esempio di cosa questo significhi.

Mettiti alla prova

Sette domande e una bugia : pensa un numero tra 0 e 15 e rispondi alle domande, mentendo al massimo una volta. Non solo è possibile indovinare il numero che hai pensato, ma è anche possibile capire se hai mentito a una di queste domande e a quale domanda hai mentito.

VI-1 Come funziona?

Il cifrario di Cesare → VI Correzione degli errori

VI-1 Come funziona?


L'esempio che abbiamo mostrato si basa su due principi, che ora ti raccontiamo nei prossimi due paragrafi.

VI-1-1 La scrittura dei numeri in base 2

VI-1-2 L'invio di informazioni superflue

VI-1-1 La scrittura dei numeri in base 2


La scrittura dei numeri che siamo abituati a utilizzare è chiamata scrittura posizionale in base 10. Questo significa che quando scriviamo per esempio il numero 27, la cifra 2 sta a indicare che abbiamo due decine, cioè che abbiamo raccolto parte delle unità in due gruppi da 10. La cifra 7 invece indica che sono rimaste 7 unità che avanzano e non sono abbastanza per formare un gruppo da 10.

Mettiti alla prova

Decine e unità (1) Raggruppa le decine e le unità e dimmi quanti sono i cubetti.
Decine e unità (2) quanti sono i gettoni? Per contarli raggruppali in decine e unità.
Fai corrispondere i numeri conta i gettoni e falli corrispondere ai numeri scritti in cifre.

Quando scriviamo per esempio 243, oltre alle decine, utilizziamo anche le centinaia: la cifra 2 sta a indicare che abbiamo 2 grupponi formati da 10 gruppi da 10. E 10 gruppi da 10 significa che abbiamo 100 unità. La cifra 4 rappresenta ancora le decine, cioè gruppi da 10 unità e infine la cifra 3 rappresenta le unità che avanzano e non sono abbastanza per formare un gruppo da 10.

Mettiti alla prova

Centinaia, decine e unità Raggruppa le centinaia, le decine e le unità e dimmi quanti sono i cubetti.

E così via introducendo anche le migliaia

Mettiti alla prova

Migliaia, centinaia, decine e unità Raggruppa le migliaia, le centinaia, le decine e le unità e dimmi quanti sono i cubetti.

Quello che fino a qui abbiamo fatto raggruppando a dieci a dieci (cioè formando le decine, le centinaia e le migliaia), può essere fatto formando gruppi di altre grandezze (a due a due, a tre a tre, ...).

Mettiti alla prova

Raggruppa i cubetti (1) Raggruppa i cubetti e dimmi quanti sono.
Raggruppa i cubetti (2) Raggruppa i cubetti e dimmi quanti sono.
Raggruppa i cubetti (3) Raggruppa i cubetti e dimmi quanti sono.

Il linguaggio dei computer si basa soprattutto sui raggruppamenti a due a due, utilizzando cioè la scrittura posizionale in base 2, detta anche scrittura binaria del numero.

Mettiti alla prova

Trova i blocchi Ti darò un numero e tu dovrai selezionare ``blocchi di due in due'' per formare quel numero.

Tutti i numeri da 0 a 15 possono essere scritti utilizzando la scrittura posizionale in base 2 con 4 cifre.


Esempio


Per esempio il numero 3 può essere scritto in base 2 con le 4 cifre 0,0,1,1.
1 2 1 1 1 1
.

Maggiori informazioni
Ecco qui una tabella completa per tutti i numeri da 0 a 15
numero 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1
00000
10001
20010
30011
40100
50101
60110
70111
81000
91001
101010
111011
121100
131101
141110
151111
Il cifrario di Cesare → VI Correzione degli errori → VI-1 Come funziona? → VI-1-1 La scrittura dei numeri in base 2

VI-1-2 L'invio di informazioni superflue


Come abbiamo visto nel paragrafo precedente i numeri da 0 a 15 possono essere scritti utilizzando 4 cifre nella scrittura posizionale in base 2.
Le prime 4 domande del gioco servono proprio a individuare queste 4 cifre
  1. Il numero che hai pensato è maggiore di 7 (e diverso da 7): se si risponde sì significa che la prima cifra del numero, in notazione binaria, è 1 (in altre parole nella scrittura ``a blocchi'' serve un blocco blu formato da 8 cubetti), altrimenti la prima cifra è 0 (verificate!).
  2. È uno tra i numeri 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15: se si risponde sì significa che la seconda cifra del numero, in notazione binaria, è 1 (quindi serve un blocco rosso formato da 4 cubetti), altrimenti la seconda cifra è 0.
  3. È uno tra i numeri 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15: se si risponde sì significa che la terza cifra del numero, in notazione binaria, è 1 (quindi serve un blocco verde formato da 2 cubetti), altrimenti la terza cifra è 0.
  4. È dispari: se si risponde sì significa che l'ultima cifra del numero, in notazione binaria, è 1 (quindi serve un blocco giallo formato da un unico cubetto), altrimenti è 0.
Per esempio, il numero 12 nella scrittura posizionale in base 2 si scrive 1100 e se rispondete alle quattro domande (senza mentire!) per il numero 12 vi accorgete che le risposte sono rispettivamente sì, sì, no, no (a ogni 1 corrisponde un sì, a ogni 0 corrisponde un no).
A che cosa servono allora le tre domande successive?

  1. È uno tra i numeri 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 15
  2. È uno tra i numeri 1, 2, 4, 7, 9, 10, 12, 15
  3. È uno tra i numeri 1, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 15

Le domande dalla 5 alla 7 sono informazioni inutili se non ci sono menzogne, ma servono proprio per capire se c'è stata una menzogna!
Per capire se c'è stata una menzogna conviene segnarsi le risposte alle sette domande utilizzando uno schema un po' particolare. Nel diagramma che ti copio qui sotto colora i numeri che corrispondono alle domande a cui hai risposto sì


Esercizio

Per i numeri da 0 a 15, che sono quelli utilizzati nel nostro gioco, prova a compilare il diagramma rispondendo alle 7 domande senza menzogne! e colorando i numeri che corrispondono alle domande a cui hai risposto sì.
Che cosa osservi sui diagrammi così creati?

Maggiori informazioni
In caso di risposte tutte sincere, ci sono 4 possibilità:
  • tutti i pallini sono bianchi;
  • tutti i pallini sono colorati;
  • 4 pallini sono bianchi e 3 i pallini colorati sono allineati o disposti sulla circonferenza;
  • 4 pallini sono colorati e 3 i pallini bianchi sono allineati o disposti sulla circonferenza.

Ora che hai visto quali sono le caratteristiche dei diagrammi nel caso non ci siano menzogne, ti raccontiamo cosa succede nel caso ci sia una menzogna (ma una sola menzogna!). In questo c'è un unico modo di cambiare un punto per ricondursi ad una delle 4 possibilità elencate sopra, quindi c'è un solo modo per correggere la risposta sbagliata.
Una volta corretto l'eventuale errore, il numero che hai pensato in forma binaria si ottiene guardando le risposte alle prime quattro domande, cioè i pallini corrispondenti alle posizioni 1, 2, 3, 4 e scrivendo una cifra 1 per ogni pallino colorato e 0 per ogni pallino bianco.

Mettiti alla prova

Prova a indovinare Ti aiuterò a disegnare il diagramma. Puoi anche lavorare in coppia con un tuo compagno.
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VII Credits

Attività sui codici a cura di Daniela Bertacchi, Marina Cazzola, Francesca dalla Volta e Veronica Felli. Queste attività sono state proposte la prima volta nell'ambito dell'evento Un giorno tra le scienziate in Bicocca per l'iniziativa I talenti delle donne promossa dal Comune di Milano.
Successive modifiche sono state poi introdotte in questo documento.
Il cifrario di Cesare → VII Credits

introduzione ai giochi di codifica/decodifica elementare e alla scrittura dei numeri in base 2.
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