OEF definicija vektorskega prostora --- Uvod ---

Ta modul vsebuje 13 vaj iz definicije vektorskega prostora. Reševalec mora preveriti aksiome iz definicije vektorskega prostora za različno definirane množice in operacije.

Oglejte si tudi zbirki vaj o vektorskih prostorih v splošnem ali o definiciji podprostorov.

Krožnice

Naj bo M množica vseh krožnic v kartezični ravnini. Na tej množici definiramo operaciji seštevanja krožnic in množenja krožnic s skalarji na naslednji način:

Če imata krožnici K₁ in K₂ središči (x₁,y₁) in (x₂,y₂) ter polmera , potem je njuna vsota K₁ + K₂ krožnica s središčem (x₁+x₂,y₁+y₂) in polmerom .
Če ima krožnica K središče (x,y) in polmer , je njen produkt z realnim skalarjem a krožnica aK s središčem (ax,ay) in polmerom .

Ali je tako opremljena množica M vektorski prostor nad poljem realnih števil?

Prostor preslikav

Naj bo M množica vseh preslikav

f: ---> ,

ki jo opremimo z operacijama seštevanja in množenja preslikave s skalarjem na naslednji način:

Če sta f₁ in f₂ dve preslikavi iz množice M, potem je njuna vsota preslikava f₁+f₂: --> , definirana s predpisom (f₁+f₂)(x)=f₁(x)+f₂(x) za vsak x iz množice (seštevanje preslikav "po točkah").
Če je f preslikava iz množice M in a neko realno število, potem je njun produkt preslikava af: --> , definirana s predpisom (af)(x)=a(f(x)) za vsak x iz množice (množenje preslikave s skalarjem "po točkah").

Ali je takšna algebrska struktura M vektorski prostor nad poljem R ?

Absolutna vrednost

Naj bo M=R² množica vseh urejenih parov realnih števil. Operaciji seštevanja urejenih parov in množenja urejenih parov s skalarji definiramo na naslednji način:

(x,y)+(x,y) = (x+x,y+y).
a(x,y) = (|a|x,|a|y).

Ali je dobljena algebrska struktura vektorski prostor nad poljem R?

Afina premica

Naj bo M premica v ravnini, določena z enačbo c₁x+c₂y=c₃, in naj bo T=(x,y) neka izbrana točka na tej premici.

Za točke iz množice M definiramo operaciji seštevanja točk in množenja točke z realnim skalarjem na naslednji način:

+ = za točki =(x,y), =(x,y) iz premice M.
= za točko =(x,y) iz premice M in realni skalar .

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?

Drugačno seštevanje

Naj bo M množica urejenih parov realnih števil, na kateri definiramo operaciji seštevanja urejenih parov in množenja urejenega para z realnim skalarjem na naslednji način:

(x,y)+(x,y) = (x+y,y+x).
a(x,y) = (ax,ay).

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?

Polja

Ali je množica vseh z običajnima operacijama vektorski prostor nad poljem ?

Matrike

Naj bo množica vseh realnih matrik, ki jo opremimo z običajnim seštevanjem, množenje matrike in realnega skalarja pa definiramo na naslednji način: Za matriko iz in realno število naj bo .

Ali je tako dobljena algebrska struktura vektorski prostor nad poljem R?

Matrike II

Množico matrik koeficienti opremimo z običajnima operacijama seštevanja matrik in množenja matrike s skalarji. Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem števil?

Množenje je deljenje

Naj bo M množica urejenih parov realnih števil, ki jo opremimo z običajnim seštevanjem urejenih parov, množenje urejenega para z realnim skalarjem pa definiramo na naslednji način:

a(x,y) = (x/a , y/a), če je a različen od 0, in
0(x,y)=(0,0).

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?

Neničelna števila

Na množici M vseh realnih števil definiramo operaciji (seštevanje elementov iz M) in (množenje elementov iz M z realnimi skalarji) na naslednji način:

x y=xy (za vsoto vzamemo običajen produkt!).
a x=x^a (x na eksponent a).

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?

Transafine operacije

Naj bo M množica vseh urejenih parov realnih števil. Operaciji (seštevanje urejenih parov) in (množenje urejenega para s skalarjem) definiramo na naslednji način:

(x,y) (x,y) = (x+x,y+y).
a (x,y) = (ax(),ay()).

Ali je tako definirana algebrska struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?

Transkvadratne operacije

Na množici urejenih parov

² definiramo operaciji (seštevanje urejenih parov) in (množenje urejenega para in skalarja) z naslednjima predpisoma:

(x,y)+(x,y) = (x+x,y+y).
a(x,y) = (ax,ay()²).

Ali je dobljena algebrska struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?

Enotska krožnica

Naj bo M krožnica v ravnini, določena z enačbo x²+y²=1. Potem za vsako točko (x,y) iz M obstaja realno število t, tako da je x=cos(t), y=sin(t), zato lahko operaciji seštevanja točk in množenja točke s skalarjem definiramo s predpisoma:

(cos(t₁),sin(t₁))+ (cos(t₂),sin(t₂))= (cos(t₁+t₂),sin(t₁+t₂)).
a(cos(t), sin(t))= (cos(at), sin(at)).

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?

D'autres vaje sur :

Description: zbirka vaj iz definicije vektorskega prostora. This is the main site of WIMS (WWW Interactive Multipurpose Server): interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: wims, mathematics, mathematical, math, maths, interactive mathematics, interactive math, interactive maths, mathematic, online, calculator, graphing, exercise, exercice, puzzle, calculus, K-12, algebra, mathématique, interactive, interactive mathematics, interactive mathematical, interactive math, interactive maths, mathematical education, enseignement mathématique, mathematics teaching, teaching mathematics, algebra, geometry, calculus, function, curve, surface, graphing, virtual class, virtual classes, virtual classroom, virtual classrooms, interactive documents, interactive document, algebra, linearna algebra, vektor, vektorski prostor