Fractions rationnelles
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Définition d'un élément simple
On appelle
fraction rationnelle (sur
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) toute fonction
définie par une relation de la forme
où
et
sont des polynômes à coefficients réels.
Par exemple,
ou encore
On note
l'ensemble des fractions rationnelles sur
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.
On appelle
élément simple de
une fraction rationnelle d'un des deux types suivants :
- type "racine réelle" :
avec
et
des nombres réels et
un entier.
Cet élément simple a pour numérateur une constante et pour dénominateur une puissance d'un polynôme
où
est un réel.
- type "racines complexes conjuguées" :
où
,
sont des réels, où
,
sont des réels vérifiant
et où
est un entier naturel non nul.
Cet élément simple a pour numérateur un polynôme de degré 1 et
pour dénominateur une puissance d'un trinôme sans racine réelle.
Théorème
Théorème
Théorème : Toute fraction rationnelle sur
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s'écrit de façon unique comme somme d'un polynôme (appelé partie entière) et d'éléments simples (appelé partie polaire) dont le type est déterminé par le dénominateur de la fraction rationnelle qu'on décompose.
Cela sera précisé avec les techniques pour les obtenir dans
quelques cas particuliers que l'on conseille de regarder d'abord.
Des
techniques
ou algorithmes plus systématiques sont expliquées d'autre part. Elles sont
facilement programmables. Il faut quand même insister sur le fait qu'il y a derrière un problème difficile dont on ne parle pas : trouver les pôles et en particulier les pôles simples de la fraction rationnelle
, c'est-à-dire les racines du polynôme
.
Théorème général de décomposition en éléments simples sur R
Théorème général de décomposition en éléments simples sur R
Soit
une fraction rationnelle avec
avec les u
i des réels, les p
j et les q
j des réels tels que
et les n
i et les m
j des entiers strictement positifs.
Théorème : Il existe une et une seule décomposition en éléments simples de P(x)/Q(x) et elle est de la forme :
avec
-
E un polynôme nul ou de degré égal à deg(P)-deg(Q),
-
les Ai,l, les Bj,k et les Cj,k des réels
De plus si la fraction est irréductible (c'est-à-dire qu'elle ne se simplifie pas),
les A
i,ni sont tous non nuls et
les polynômes B
j,mj+C
j,mjx sont tous non nuls
(c'est-à-dire que soit B
j,mj, soit C
j,mj est non nul)
Calcul de la partie entière
Proposition :
La partie entière
de la fraction rationnelle
est le quotient de
par
dans la division euclidienne de
par
.
Ainsi :
avec
)
et
On est alors ramené au cas où le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.
Division euclidienne
Faisons la division euclidienne sur des exemples.
N'hésitez pas à recommencer
. Et allez voir ensuite comment
poser la division euclidienne
.
Prenons
=,
= alors :
=()() +()
c'est-à-dire
avec E(x) = et R(x) = . Bien remarquer que le degré de R qui est est strictement inférieur à NaN.
Effectuons la division : on écrit avec P=P
0 :
P0(x)= Q +
Le degré de
est strictement plus petit que celui de
.
Il est aussi strictement inférieur à celui de Q, on a donc fini ; le reste est
P
1=
; le quotient est obtenu en ajoutant les monômes en rouge.
En général, on pose la division euclidienne de la
manière suivante
Calcul de la partie polaire
On suppose maintenant que l'on cherche à décomposer la fraction rationnelle P(x)/Q(x) en éléments simples
quand deg(P) < deg(Q).
Dans cette situation, la partie entière est nulle.
On étudie en détail les cas particuliers suivants et on précise dans ces cas particuliers le
théorème
Le degré de Q est 3 et celui de P est inférieur ou égal à 2
Soit une fraction rationnelle P(x)/Q(x) telle que
le degré de Q
est égal à 3 et le degré de P est au plus égal à 2.
Suivant les racines du dénominateur, sa décomposition prendra l'une des
formes suivantes où a, b, c, A, B, C sont des réels :
- Si Q(x) admet 3 racines simples distinctes réelles
Pour calculer A : on utilise la
Technique 1
On multiplie l'égalité donnant la forme de la décomposition
rationnelle en éléments simples par (x - u), puis on donne à
la valeur
. On obtient immédiatement
.
et de même pour B et C
Exemple
- Si Q(x) admet 1 racine simple et 1 racine double réelle :
Technique
On calcule A et C par la technique 1 et la technique 2 donne la valeur de A + B.
Technique 1
On multiplie l'égalité ci-dessus par (x - v)2, puis on donne à x la valeur v.
On obtient immédiatement le coefficient de
.
Technique 1
On multiplie l'égalité donnant la forme de la décomposition
rationnelle en éléments simples par (x - u), puis on donne à
la valeur
. On obtient immédiatement
.
Technique 2
On multiplie l'égalité ci-dessus par x et on fait tendre x vers l'infini.
Exemple
- Si Q(x) admet 1 racine simple réelle et 2 racines complexes conjuguées :
Technique
On calcule
- A par la
technique 1
On multiplie l'égalité donnant la forme de la décomposition
rationnelle en éléments simples par (x - u), puis on donne à
la valeur
. On obtient immédiatement
.
-
B par la
technique 2
On multiplie l'égalité ci-dessus par x et on fait tendre x vers l'infini.
-
C par la
technique 3
L'égalité de décomposition est vraie pour tout x ; en donnant à x une valeur numérique, on obtient
une relation entre les coefficients des numérateurs.
Exemple
- Si Q(x) admet 1 racine triple réelle :
Technique
On peut calculer les trois coefficients
,
et
-
soit par les techniques précédentes
-
soit en faisant le changement de variable
.
Le degré de
est au plus 2 donc
s'écrit ay2 + by + c.
En divisant par y3=(x-u)3, on obtient
et par unicité de la décomposition, on en déduit
,
et
.
Exemple
Considérons la fraction rationnelle
On cherche
A,
B et
C tels que
-
Pour calculer
A, on multiple
par
, on obtient
donc
et on prend la valeur en x=-2, donc
A =
.
-
Pour calculer
B, on multiple
par
, on obtient
donc
et on prend la valeur en x=-5, donc
B =
.
-
Pour calculer
C, on multiple
par
, on obtient
donc
et on prend la valeur en x=6, donc
C =
.
Donc
Exemple
Considérons la fraction rationnelle
On cherche
A et
B tels que
-
Pour calculer
A, on multiple
par
, on obtient
donc
et on prend la valeur en
x = -4, donc
A =.
-
Pour calculer
C, on multiple
par
()2, on obtient
donc
et on prend la valeur en
x = -8, donc
C =.
-
Pour calculer
B, on multiple
par
x et on fait tendre
x vers l'infini : on obtient
donc
-4 = A + B= + B, donc
B =.
Donc
Exemple
Considérons la fraction rationnelle
On cherche
A,
B et
C tels que
-
Pour calculer
A, on multiplie
par
, on obtient
donc
et on prend la valeur en
x = 4, donc
A =.
- Pour calculer B, on multiplie
par
x et on fait tendre
x vers l'infini : on obtient
donc
2= A+B=+B, donc
B =.
- Pour calculer
C, on prend une valeur particulière autre que le pôle 4, par exemple
x = 0 :
d'où
C =.
Ainsi,
Exemple
Considérons la fraction rationnelle
On cherche
A,
B et
C tels que
On fait le changement de variables
x =. On a donc
Donc
Algorithme général
Pour des exemples de décomposition de la fraction P(x)/Q(x), voir
Exemple
- On calcule la partie entière en faisant la
division euclidienne
de
P par
Q
- On calcule la partie polaire de la décomposition
en éléments simples correspondant à un pôle
u de multiplicité m.
La fraction rationnelle s'écrit
avec Q1(u) non nul.
On fait un développement limité de
P/Q1 en
x = u à l'ordre m :
(en fait
H est une fraction rationnelle de la forme
P1/Q1 et donc n'ayant pas de pôle en x=u).
On a donc
et la partie polaire de la décomposition en éléments simples est exactement
- On fait de même pour tous les pôles.
- Dans le cas où les pôles sont complexes, on peut se ramener à
la décomposition sur
en regroupant les décompositions
correspondant à un pôle et à son conjugué.
La décomposition en éléments simples de P(x)/Q(x) est obtenue en ajoutant les bouts obtenus.
Exemple