Résolution d'équations

I Égalité
II Équation
III Problème

Sur la résolution des équations de base

I Égalité

II Équation

III Problème

I Égalité

I Égalité
II Équation
III Problème

Définition [Égalité]

Une égalité est une phrase mathématique dans laquelle il y a un signe égal. Cette égalité peut être vraie ou fausse.

Exemple

Soit $t$ la taille du professeur. L'égalité $t = 184$ cm est vraie !
Soit $m$ la masse du professeur. L'égalité $m = 24$ kg est (heureusement) fausse.

Une égalité peut être écrite avec un nombre inconnu, le plus souvent désigné par une lettre, par exemple

2 x + 144 = 10 x

. Tester l'égalité, c'est regarder si l'égalité est vraie pour une valeur particulière donnée à

x

Exemple [ ]

Gardons l'équation ci-dessus :

2 x + 144 = 10 x

. L'égalité est-elle vraie si

x = 6

? si

x = 18

Quand $x = 6$ , on donne 6 comme valeur particulière de $x$ dans l'égalité précédente. On calcule séparément la valeur des membres de gauche et de droite de l'égalité avec cette valeur particulière.
$2 x + 144 = 2 \times 6 + 144$ , soit 156 et pour l'autre membre, $10 x = 10 \times 6$ soit 60. Les nombres 156 et 60 ne sont pas égaux donc l'égalité est fausse pour $x = 6$ . On dit aussi que 6 n'est pas solution de l'équation.
Faisons le même travail pour $x = 18$ .
Pour le membre de gauche : $2 x + 144 = 2 \times 18 + 144$ soit 180. Et pour l'autre membre, $10 x = 10 \times 18$ soit 180. Quand $x = 18$ , les deux membres sont égaux ; on dit que 18 est solution de l'équation. Mais qu'est-ce qu'une équation ?

Résolution d'équations → I Égalité

Définition [Équation]

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition [Résoudre une équation]

Résoudre une équation, c'est déterminer la valeur (ou les valeurs) que doit prendre cette inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

Exercice

[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 0$ soit vraie ?
[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 1$ soit vraie ?

Solution

On peut donner n'importe quelle valeur, il y a une infinité de solution. Plus tard dans la scolarité, on verra d'autres équations qui ont 2, 3 ... solutions.
Il n'y a pas de solution !

On une équation comme le montre les exemples suivants, en retenant les règles générales ci-après :

Proposition

On ne change pas les solutions d'une équation quand :

On additionne un même nombre à ses deux membres ;
On soustrait un même nombre à ses deux membres ;
On multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;
On divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;

II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

Résolution d'équations → II Équation

II-1 Premier exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

h - 14 = 16

, on procède ainsi :

\begin{matrix} h - 14 & = & 16 \\ h - 14 + 14 & = & 16 + 14 \\ h & = & 30 \end{matrix}

La solution de l'équation est

h = 30

Résolution d'équations → II Équation → II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

y + 15 = 20

, on procède ainsi :

\begin{matrix} y + 15 & = & 20 \\ y + 15 - 15 & = & 20 - 15 \\ y & = & 5 \end{matrix}

La solution de l'équation est

y = 5

Résolution d'équations → II Équation → II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

2 p = 24

, on procède ainsi :

\begin{matrix} 2 p & = & 24 \\ \frac{2 p}{2} & = & \frac{24}{2} \\ p & = & 12 \end{matrix}

La solution de l'équation est

p = 12

Résolution d'équations → II Équation → II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

\frac{t}{9} = 12

, on procède ainsi :

\begin{matrix} \frac{t}{9} & = & 12 \\ \frac{t}{9} \times 9 & = & 12 \times 9 \\ t & = & 108 \end{matrix}

La solution de l'équation est

t = 108

Résolution d'équations → II Équation → II-4 Quatrième exemple

III Problème

I Égalité
II Équation
III Problème

Il y a trois étapes à respecter pour la rédaction des résolutions des problèmes :

Si elle n'est pas imposée par l'énoncé, le choix de l'inconnue. Généralement, soit $x$ ce que l'on cherche .
Mise en équation du problème et sa résolution.
Conclusion par une phrase au problème posé.

Exercice

Le père d'Augustin a sept fois l'âge de son fils et si l'on ajoute 8 à la somme de leur âge, on trouve un 64.

Solution

Choix de l'inconnue Soit $x$ l'âge d'Augustin.
- Mise en équation Le père d'Augustin a sept fois son âge, donc son âge est de : $7 x$ ;
  La somme de leur âge est donc de $7 x + x = 8 x$ .
  Si on ajoute 8 à la somme de leur âge, on trouve 64, d'où l'équation $8 x + 8 = 64$
- Résolution
  $\begin{matrix} 8 x + 8 & = & 64 \\ 8 x & = & 64 - 8 \\ 8 x & = & 56 \\ x & = & \frac{56}{8} \\ x & = & 7 \end{matrix}$
Augustin a donc 7 ans. (Bonus : son père a 49 ans !)

Résolution d'équations → III Problème

document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire).
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