Algorithme avec Python
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 20 activités sur les algorithmes.
Le but de l'ensemble des exercices est de permettre aux élèves d'apréhender les algorithmes
relatifs au Lycée Général et Technologique.
Un script python à compléter permet de comprendre l'algorithme. Pour aider les élèves,
une représentation graphique vient illustrer le fonctionnement du code. Le but est de
travailler de concert dans des cadres algébriques, graphiques et algorithmiques
afin de maîtriser la notion abordée.
Méthode par balayage classique (guidée)
Étape
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Représentation graphique de la courbe
et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, déterminer un encadrement de
à
. Les valeurs des images doivent être arrondies au millième.
Est-il nécessaire de poursuivre pour déterminer une valeur arrondie de
à
?
La valeur arrondie à
est donc
Le nombre d'informations n'est pas suffisant pour trancher entre
ou
. Par conséquent il est nécessaire de faire au moins une étape supplémentaire pour être plus précis.
Le nombre d'informations est suffisant donc la valeur de
.
Méthode par balayage avec seuil (guidée)
Étape
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
Représentation graphique de la courbe
et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, déterminer un encadrement de
à
. Les valeurs des images doivent être arrondies au millième.
Est-il nécessaire de poursuivre pour déterminer une valeur arrondie de
à
?
La valeur arrondie à
est donc
Le nombre d'informations n'est pas suffisant pour trancher entre
ou
. Par conséquent il est nécessaire de faire au moins une étape supplémentaire pour être plus précis.
Le nombre d'informations est suffisant donc la valeur de
.
Méthode par balayage classique
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, indiquer l'encadrement permettant de déterminer la valeur arrondie de
à
. Les valeurs des images doivent être arrondies au millième.
La valeur arrondie à
est donc
Méthode par balayage avec seuil
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, indiquer l'encadrement permettant de déterminer la valeur arrondie de
à
. Les valeurs des images doivent être arrondies au millième.
La valeur arrondie à
est donc
Méthode par balayage avec une fonction 1
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, indiquer l'encadrement permettant de déterminer la valeur arrondie de
à
. Les valeurs des images doivent être arrondies au millième.
La valeur arrondie à
est donc
Méthode par balayage avec une fonction 2
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, indiquer l'encadrement permettant de déterminer la valeur arrondie de
à
. Les valeurs des images doivent être arrondies au millième.
La valeur arrondie à
est donc
Construction de la courbe par la méthode de balayage en utilisant une boucle for
Soit
un entier naturel non nul. Découpage de l'intervalle
en
sous-intervalles :
- Soit
et
deux nombres réels définis tels que
.
- Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle
en fonction de
,
et
. En survolant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
- Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée et déplacer le point
. Exprimer la valeur de
en fonction de
,
et de l'index
Méthode par dichotomie
Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de
à
et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, la valeur arrondie à
de
est donc
.
Équation cartésienne d'une droite
Déterminer une équation cartésienne de la droite
est :
Équation réduite d'une droite 1
Déterminer une équation réduite de la droite
lorsque les coordonnées de 2 points
et
sont connues :
Pour écrire correctement
, taper x_A . Pour écrire correctement
, taper y_A ...
Déterminer la valeur du coefficient directeur sous forme fractionnaire si nécessaire :
À l'aide des calculs précédents, déduire l'équation réduite de la droite :
Le point
ou
appartient à la droite
donc on peut écrire l'équation suivante :
Résoudre l'équation précédente et déterminer la valeur de l'ordonnée à l'origine
.
En déduire l'équation réduite de la droite
Équation réduite d'une droite 2
Déterminer une équation réduite de la droite
et laisser l'autre champ vide :
Construction de la courbe par la méthode d'Euler
Approximation affine d'une fonction :
Soit
une fonction dérivable sur un intervalle
et
. La fonction
peut être approchée par une fonction affine au voisinage de
. L'opération consiste à remplacer l'expression d'une fonction
au voisinage d’un point
par celle d'une fonction affine tangente à la courbe
en ce point. Graphiquement on considère que les points
et
sont confondus lorsque
est proche de 0.
- Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe
au point d'abscisse
en fonction de
,
,
et
.
Pour écrire correctement
, taper x_0 .
- Quelle expression peut-on écrire à l'aide de l'approximation réalisée, de l'équation de tangente au point d'abscisse
en fonction de
,
,
et
?
Pour
proche de zéro,
- En reconnaissant une fonction de référence, vérifier la validité de cette formule sur l' exemple suivant :
Pour
proche de zéro,
Arrondir les résultats au millième. À l'aide de l'approximation, on a
La valeur arrondie à
est de
Application à la fonction exponentielle :
La méthode d'Euler consiste à approcher la courbe
de la fonction
en utilisant l'approximation affine.
- À l'aide de la définition de la fonction exponentielle, déterminer l'ordonnée
du point
en fonction de la fonction
et de
.
- En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée
du point
en fonction de
et
.
- En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée
du point
en fonction de
et
.
- Généraliser cette écriture en exprimant
en fonction de
et
.
- Généraliser l'écriture de
en fonction de
et
.
Construction de la courbe par la méthode d'Euler 2
Approximation affine d'une fonction :
Soit
une fonction dérivable sur un intervalle
et
. La fonction
peut être approchée par une fonction affine au voisinage de
. L'opération consiste à remplacer l'expression d'une fonction
au voisinage d’un point
par celle d'une fonction affine tangente à la courbe
en ce point. Graphiquement on considère que les points
et
sont confondus lorsque
est proche de 0.
- Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe
au point d'abscisse
en fonction de
,
,
et
.
Pour écrire correctement
, taper x_0 .
- Quelle expression peut-on écrire à l'aide de l'approximation réalisée, de l'équation de tangente au point d'abscisse
en fonction de
,
,
et
?
Pour
proche de zéro,
- En reconnaissant une fonction de référence, vérifier la validité de cette formule sur l' exemple suivant :
Pour
proche de zéro,
Arrondir les résultats au millième. À l'aide de l'approximation, on a
La valeur arrondie à
est de
Application à la fonction exponentielle :
La méthode d'Euler consiste à approcher la courbe
de la fonction
en utilisant l'approximation affine.
- À l'aide de la définition de la fonction exponentielle, déterminer l'ordonnée
du point
en fonction de la fonction
et de
.
- En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée
du point
en fonction de
et
.
- En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée
du point
en fonction de
et
.
- Généraliser cette écriture en exprimant
en fonction de
et
.
- Généraliser l'écriture de
en fonction de
et
.
- En ayant pris soin de reconnaitre une suite particulière, déterminer la formule implicite de
en fonction de
et
.
- En ayant pris soin de reconnaitre une suite particulière, déterminer la formule implicite de
en fonction de
et
.
- En déduire une expression de
en fonction de
et
.
Méthode de Héron 1
ÉTAPE sur 6
La moyenne arithmétique devient la nouvelle largeur ou longueur.
| Étape | Largeur | Longeur | Moyenne arithmétique
| Moyenne arithmétique au carré |
|---|
| 1 |
|
|---|
| 1 | | | | |
|---|
| 2 |
|
|---|
| 2 | | | | |
|---|
| 3 |
|
|---|
| 3 | | | | |
|---|
| 4 |
|
|---|
| 4 | | | | |
|---|
Le rectangle se tansforme progressivement en une figure. Si on réalise une infinité d'étape, conjecturer les solutions :
- Nommer la figure obtenue :
- Quelle est l'aire théorique de cette figure ?
- Quelle est la valeur arrondie à
de la distance théorique d'un côté ?
٭Modéliser la suite à l'aide d'un algorithme
Afin de vérifier vos conjectures, l'algorithme a été implanté en Python. Compléter le programme pour reproduire l'exemple de
traité précédement. Exécuter la fonction
en prenant soin de spécifier la précision adéquate. Par exemple, pour une précision souhaitée à
, on a alors
.
Le nombre d'itération est de 4 pour une précision minimum de :
Pour simplifier cet algorithme, on affecte la valeur de départ à la variable
. Modifier le programme . Compléter le tableau ci-dessous à l'aide de l'algorithme :
| Racine carré | Précision | Valeur de la racine | Nombre d'itération |
|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Méthode de Héron 2
ÉTAPE sur 6
La moyenne arithmétique devient la nouvelle largeur ou longueur.
| Étape | Largeur | Longeur | Moyenne arithmétique
| Moyenne arithmétique au carré |
|---|
| 1 |
|
|---|
| 1 | | | | |
|---|
| 2 |
|
|---|
| 2 | | | | |
|---|
| 3 |
|
|---|
| 3 | | | | |
|---|
| 4 |
|
|---|
| 4 | | | | |
|---|
Le rectangle se tansforme progressivement en une figure. Si on réalise une infinité d'étape, conjecturer les solutions :
- Nommer la figure obtenue :
- Quelle est l'aire théorique de cette figure ?
- Quelle est la valeur arrondie à
de la distance théorique d'un côté ?
٭Modéliser cette suite par récurrence pour calculer
Compléter le tableau en utilisant les résultats précédents.
| n |
| Moyenne arithmétique
|
|---|
| 0 |
|
|---|
| 1 |
|
|---|
| 2 |
|
|---|
| 3 |
|
|---|
En déduire la suite définie par récurrence pour calculer
.
L'expresion
se rentre "u_n". Par analogie, l'expression
se rentre "u_0" ...
On définit la suite
par :
- le premier terme :
- la relation de récurrence :
٭Étudier graphiquement la convergence de la suite pour calculer
٭Modéliser la suite à l'aide d'un algorithme
Afin de vérifier vos conjectures, l'algorithme a été implanté en Python. Compléter le programme pour reproduire l'exemple de
traité précédement. Exécuter la fonction
en prenant soin de spécifier la précision adéquate. Par exemple, pour une précision souhaitée à
, on a alors
.
Le nombre d'itération est de 4 pour une précision minimum de :
Pour simplifier cet algorithme, on affecte la valeur de départ à la variable
. Modifier le programme . Compléter le tableau ci-dessous à l'aide de l'algorithme :
| Racine carré | Précision | Valeur de la racine | Nombre d'itération |
|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Méthode des milieux
Soit
un entier naturel non nul. Découpage de l'intervalle
en
sous-intervalles :
- Soit
et
deux nombres réels définis tels que
.
- Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle
en fonction de
,
et
. En survolant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
- Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée et déplacer le point
. Exprimer la valeur de
en fonction de
,
et de l'index
Après avoir découpé l'intervalle
, on utilise la méthode des milieux.
- Déterminer l'aire du premier rectangle orange en fonction de
,
et
Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire des rectangles oranges en fonction de
,
et
Méthode des rectangles
Soit
un entier naturel non nul. Découpage de l'intervalle
en
sous-intervalles :
- Soit
et
deux nombres réels définis tels que
.
- Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle
en fonction de
,
et
. En survolant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
- Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée et déplacer le point
. Exprimer la valeur de
en fonction de
,
et de l'index
Après avoir découpé l'intervalle
, on utilise la méthode des rectangles. Pour chaque sous-intervalle
, on construit un rectangle :
- Méthode des rectangles à gauche représentée en vert : Le rectangle passe par le point d'intersection de la courbe
avec la droite verticale ayant pour abscisse l'abscisse à gauche de l'intervalle. Les 4 sommets du rectangle ont donc respectivement pour coordonnées
,
,
et
.
- Méthode des rectangles à droite représentée en rouge : Le rectangle passe par le point d'intersection de la courbe
avec la droite verticale ayant pour abscisse l'abscisse à droite de l'intervalle. Les 4 sommets du rectangle ont donc respectivement pour coordonnées
,
,
et
.
- Déterminer l'aire à gauche du premier rectangle vert en fonction de
,
et
Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire à gauche des rectangles verts en fonction de
,
et
Déterminer l'aire à droite du premier rectangle rouge en fonction de
,
et
Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire à droite des rectangles rouges en fonction de
,
et
Construction de la courbe par la méthode des sécantes
Soit
un entier naturel non nul. Découpage de l'intervalle
en
sous-intervalles :
- Soit
et
deux nombres réels définis tels que
.
- Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle
en fonction de
,
et
. En survolant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
- Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée et déplacer le point
. Exprimer la valeur de
en fonction de
,
et de l'index
On considère deux points
et
comme le montre la construction ci-dessous.
On souhaite relier ces deux points
et
par une droite d'équation de la forme
.
Déterminer l'ordonnée à l'origine de cette droite en sachant que le point
appartient à la droite :
Construction de la courbe par la méthode des tangentes
Soit
un entier naturel non nul. Découpage de l'intervalle
en
sous-intervalles :
- Soit
et
deux nombres réels définis tels que
.
- Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle
en fonction de
,
et
. En survolant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
- Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée et déplacer le point
. Exprimer la valeur de
en fonction de
,
et de l'index
On souhaite construire l'enveloppe des tangentes à la courbe représentative de la fonction
. Par conséquent on va construire la tangente associée à chaque point
.
Soit
l'équation réduite de la tangente à la courbe représentant
au point
. Exprimer le coefficient directeur de la tangente au point
en fonction de
et de
Soit en utilisant l'équation générale de la tangente soit en utilisant le fait que le point
appartient à la tangente, déterminer l'ordonnée à l'origine de cette tangente. On l'exprimera à l'aide des fonctions
et
ainsi que
Méthode des trapèzes
Soit
un entier naturel non nul. Découpage de l'intervalle
en
sous-intervalles :
- Soit
et
deux nombres réels définis tels que
.
- Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle
en fonction de
,
et
. En survolant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
- Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée et déplacer le point
. Exprimer la valeur de
en fonction de
,
et de l'index
Après avoir découpé l'intervalle
, on utilise la méthode des trapèzes.
- Déterminer l'aire du premier trapèze violet en fonction de
,
et
Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire des trapèzes violets en fonction de
,
et
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