Calcul vectoriel dans l'espace.
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 12 exercices sur les plans vectoriels dans l'espace.
Problème d'alignement
Pour quelle valeur de les points
,
et
sont-ils alignés ?
Ces points sont alignés pour la valeur
.
Distance d'un point à un plan
On se place dans un repère othonormé de l'espace.
On considère le plan
qui passe par le point
et dont un vecteur normal est :
.
Calculez la distance de
au point
.
La de
à
est égale à
.
Paramétrisation d'une droite
On considère la droite
paramétrée par
Déterminer un vecteur directeur
de cette droite.
On a
(
,
,
).
Soit
un point de
. Déterminer les coordonnées d'un point
tel que les droites
et (d) soient perpendiculaires.
On a
(
,
,
).
Equation du plan normal qui passe par un point
Déterminez l'équation cartésienne du plan normal au vecteur
qui passe par le point
.
L'équation est :
.
Ne pas oublier le symbole = dans l'équation.
Equation d'un plan
On considère les points
,
et
. Déterminer une équation du plan
passant par les points
et
.
On considère le point
et les vecteurs
et
. Déterminer une équation du plan
passant par le point
et dirigé par les vecteurs
et
.
On considère le point
et le vecteur
. Déterminer une équation du plan
passant par le point
et admettant le vecteur
pour vecteur normal.
Le plan
admet pour équation :
x +
y +
z =
Equation du plan médiateur
On se place dans un repère othonormé de l'espace.
Déterminez une équation cartésienne du plan médiateur à
et
.
est :
.
Intersection d'une droite et d'un plan
On considère le plan
d'équation
et la droite
passant par le point
et dirigé par le vecteur
. Déterminer les coordonnées du point
, intersection de
et
.
Le point
a pour coordonnées (
,
,
).
Interesection de deux plans
On considère les plans
et
d'équations respectives
et
. On se propose de déterminer l'intersection de ces deux plans.
L'intersection de ces deux plans est la droite
passant par le point
(
,
,
)
et dirigée par le vecteur
(
,
,
).
Point sur un plan
Déterminer les coordonnées d'un point
situé sur le plan
d'équation
.
Le point
(
,
,
) est situé sur le plan
.
Position relative d'une droite et d'un plan
On considère d'une part la droite
passant par le point
et dirigé par le vecteur
et d'autre part le plan
d'équation
.
On peut dire que la droite
est
plan
.
Position relative de deux droites
On considère les droites
et
paramétrées respectivement par
et
Les droites
et
sont
.
Projection d'un point sur un plan
On considère le plan
d'équation
et le point
. On note
le projeté orthogonal de
sur le plan
. Déterminer les coordonnées du point
.
Le point
a pour coordonnées (
,
,
).
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