Ce module regroupe pour l'instant 50 exercices sur la notion de nombre dérivé,
le calcul de dérivées et les premières applications.
Approximation affine 1
Une fonction
de courbe représentative
est telle que
et
Quelle est l'approximation affine de
en ?
Approximation affine 2
Donner une valeur approchée de
sachant que
et
.
Approximation affine 3
Soit la fonction
définie sur par
. Déterminer par approximation affine, une valeur approchée de
.
Puis calculer
et
En déduire
Approximation affine 4
Soit la fonction
définie sur par
. Déterminer par approximation affine, une valeur approchée de
.
Puis calculer
et
En déduire
Approximation affine 5
Soit la fonction
définie sur par
. Déterminer par approximation affine, une valeur approchée de
.
Puis calculer
et
En déduire
Dérivée produit ou inverse 1
Soit
la fonction définie sue
par:
Cocher la ou les bonnes réponses :
Dérivée produit ou inverse 2
Calculer
pour
:
Dérivée produit ou inverse 3
Calculer
pour
:
Dérivée produit ou inverse 4
Calculer
pour
:
Dérivée produit ou inverse 5
Calculer
pour
:
Dérivée d'un quotient 1
Soit
la fonction définie sur
par
Cocher les bonnes réponses :
Dérivée d'un quotient 2
Dans quels cas peut-on utiliser la formule
?
Dérivée d'un quotient 3
Calculer
pour
.
Dérivée d'un quotient 4
Calculer
pour
.
Dérivée d'un quotient 5
Soit la fonction
définie sur
par
Calculer
:
Vérifier que pour tout
,
. Déterminer les réels
et
:
Calculer
à partir de cette nouvelle écriture de
:
Dérivée somme ou produit par un réel 1
Calculer
pour
:
Dérivée somme ou produit par un réel 2
Calculer
pour
:
Dérivée somme ou produit par un réel 3
Calculer
pour
:
Dérivée somme ou produit par un réel 4
Calculer
pour
:
Dérivée somme ou produit par un réel 5
Calculer
pour
:
Recherche d'extremum 1
Le plus grand cône
On construit un cône dans une sphère de centre O et de rayon R comme indiqué sur la figure.
On veut déterminer la distance
pour que ce cône ait un volume maximal.
On note
. Donner l'expression algébrique de
représentant le volume du cône en fonction de
et de
:
Déterminer la hauteur
en fonction de R pour laquelle le volume du cône est maximal :
Dans un disque de rayon R, on découpe un secteur circulaire de
radian. En joignant les deux bords droits du secteur angulaire restant, on fabrique un cône.
On veut déterminer pour quelle valeur de
le volume du cône est maximal.
On note
la hauteur du cône. Donner l'expression algébrique de
représentant le volume du cône en fonction de
et de
:
Calculer la hauteur
pour laquelle le volume du cône est maximal :
Exprimer
, rayon de la base du cône correspondant à cette hauteur
:
En exprimant que la circonférence du secteur angulaire de départ correspond à la circonférence de la base du cône, donner une valeur exacte de
:
Taper pi pour
et sqrt(a) pour
.
Recherche d'extremum 2
Un coffre à bijoux a la forme d'un parallélépipède rectangle à base carrée et a un volume imposé de L ( dm3).
Le matériau utilisé pour construire les bases coûte euros le mètre carré et celui utilisé pour construire la surface latérale coûte euros le mètre carré.
Exprimer le prix de revient
en fonction du côté
(en dm) de la base carrée :
En déduire les dimensions de la boîte pour que le prix de revient soit minimal.
dm
dm
Recherche d'extremum 3
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
.
Une droite
non parallèle aux axes et de pente négative passant par le point
coupe l'axe des abscisses en
et l'axe des ordonnées en
.
Déterminer l'équation réduite
pour que le triangle
ait une aire minimale.
Recherche d'extremum 4
On considère un carré
de côté . On note
le milieu de [A B] et
celui de [A D]. Un point
se déplace sur le segment [A I], on note
. Soit
le point de [B C] tel que le triangle
soit rectangle en
.
Déterminer en fonction de
l'aire du triangle
:
Quelle est la valeur de
rendant cette aire minimale?
Indication : on remarquera que les triangles
et
sont semblables!
Recherche d'extremum 5
Le parc d'attraction Totoland a ouvert en 2007 et a reçu visiteurs avec un billet d'entrée valant euros. Une étude de marché a montré que si le prix du billet d'entrée augmentait de , le nombre de visiteurs baisserait de 10 %, et que si le prix baissait de , le nombre de visiteurs augmenterait de 10 %.
On fait l'hypothèse que cette étude de marché se prolonge ainsi à toute hausse ou baisse du prix du billet.
On veut déterminer quel prix du billet d'entrée en 2008 permettrait de réaliser une recette maximale.
Exprimer la recette
réalisée en fonction du prix
du billet d'entrée :
En déduire le prix
correspondant au maximum de cette recette :
Dérivée de fonction de référence 1
Calculer
pour
et
:
Taper "sqrt(a)" pour
.
Dérivée de fonction de référence 2
Calculer
pour
et
:
Taper "sqrt(a)" pour
.
Dérivée de fonction de référence 3
Calculer
pour
et
:
Taper "sqrt(a)" pour
.
Dérivée de fonction de référence 4
Calculer
pour
et
:
Taper "sqrt(a)" pour
.
Dérivée de fonction de référence 5
Calculer
pour
et
:
Taper "sqrt(a)" pour
.
Nombre Dérivé 1
Soit la fonction
définie sur par
. On veut calculer le nombre dérivé de
en
, en utilisant la définition.
Calculer
Exprimer
Calculer
En déduire
Nombre dérivé 2
Soit la fonction
définie sur par
. On veut calculer le nombre dérivé de
en
, en utilisant la définition.
Calculer
Exprimer
Calculer
En déduire
Nombre dérivé 3
Soit la fonction
définie sur par
. On veut calculer le nombre dérivé de
en
, en utilisant la définition.
Calculer
Exprimer
Calculer
En déduire
Compléter :
La tangente à la courbe représentative de
au point d'abscisse
est A(;
) et qui a pour
.
Nombre dérivé 4
Soit la fonction
définie sur par
. On veut calculer le nombre dérivé de
en
, en utilisant la définition.
Calculer
Exprimer
Calculer
En déduire
Compléter :
La tangente à la courbe représentative de
au point d'abscisse
est A(;
) et qui a pour
.
Nombre dérivé 5
On a tracé la courbe représentative d'une fonction
et certaines de ses tangentes. Lire graphiquement :
On a tracé la courbe représentative d'une fonction
. Déplacer le point
sur la courbe et lire graphiquement les valeurs de
pour compléter le tableau suivant :
Donner des valeurs décimales avec 2 décimales ou bien des fractions irréductibles.
Nombre de solutions et encadrement 1
On considère la fonction
définie sur
par
On note
et
avec .
On veut déterminer sans calculatrice le nombre de solutions de l'équation
Compléter le tableau des variations de
:
sg
0
0
?
?
Soit
la racine non nulle de
.
Quel est le signe de
?
Encadrer
par deux entiers consécutifs :
<
<
En déduire une judicieuse de
:
En déduire le nombre de solutions de l'équation
:
Nombre de solutions =
Nombre de solutions et encadrement 2
On considère la fonction
définie sur
par
On note
et
avec .
On veut déterminer sans calculatrice le nombre de solutions de l'équation
Compléter le tableau des variations de
:
sg
0
0
En déduire le nombre de solutions de
:
Nombre de solutions =
Nombre de solutions et encadrement 3
On considère la fonction
définie sur
par
On note
et
avec .
On veut déterminer sans calculatrice le nombre de solutions de l'équation.
Compléter le tableau des variations de
:
sg
0
0
0
En déduire le nombre de solutions de
:
Nombre de solutions =
Nombre de solutions et encadrement 4
On considère la fonction
définie sur
par
On note
et
avec .
On veut déterminer sans calculatrice le nombre de solutions de l'équation.
Compléter les deux premières lignes du tableau des variations de
:
Taper sqrt(a) pour
sg
0
0
On note
et
, avec
les deux valeurs de
annulant la dérivée
. Encader
et
par deux entiers consécutifs :
En déduire les signes de
et
et compléter la dernière ligne du tableau des variations.
En déduire le nombre de solutions de
:
Nombre de solutions =
Nombre de solutions et encadrement 5
On considère la fonction
définie sur
par
On note
et
avec .
On veut encadrer
sur l'intervalle [;].
Calculer
=
et
=
Compléter le tableau des variations de
:
sg
0
0
En déduire l'encadrement cherché :
Signe de la dérivée et variations 1
On considère une fonction
définie sur [ ; ], dont on connaît le tableau des variations
Quel est le signe de
sur [;] :
sur [;] :
sur [;] :
Signe de la dérivée et variations 2
Compléter le tableau des variations d'une fonction
dérivable sur
sachant que
et
sg
0
0
Signe de la dérivée et variations 3
Compléter le tableau des variations d'une fonction
dérivable sur
sachant que
et ,
sg
Signe de la dérivée et variations 4
On a dessiné les courbes représentatives de 4 fonctions (en rouge) et de leurs dérivées (en bleu).
Associez à la courbe de chaque fonction, celle de sa dérivée.
Signe de la dérivée et variations 5
On conviendra que la partie visible du graphique respecte le tableau de variation de
.
Cocher les bonnes propositions :
Equation de tangente 1
Une fonction
de courbe représentative
est telle que
et
Écrire une équation de la tangente
à
au point
d'abscisse :
Equation de tangente 2
Soit la fonction
de courbe représentative
, définie sur par
.
Écrire une équation de la tangente
à
au point
d'abscisse :
Equation de tangente 3
Soit la fonction
définie sur
par :
.
Combien existe-t-il de points de
où la tangente a pour coefficient directeur ?
Il existe de
où la tangente a pour coefficient directeur .
Indiquer l'abscisse de ce point:
Indiquer les abscisses
et
de ces points avec
Equation de tangente 4
Soit la fonction
définie sur
par
et
sa représentation graphique.
Déterminer les coordonnées des points suivants :
, point en lequel
admet une tangente horizontale :
(
,
)
, point en lequel
admet une tangente parallèle à la droite d'équation
:
(
,
)
Equation de tangente 5
Soit la fonction
, de courbe représentative
, définie sur
par
.
On cherche à déterminer l'équation d'une droite
de pente qui soit tangente à
en deux points distincts.
Quelle est l'équation de
?
Quelles sont les abscisses
et
avec
des points de tangence?
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