Fonctions, Applications

Sommaire

Ce document est une introduction à la théorie des fonctions. Il fait suite au Doc Ensembles . Nous revenons aussi sur les propriétés des applications. Le DOC Raisonnements est utile à la lecture de certaines parties de ce cours.

Généralités
Image, composition de fonctions
Injection, surjection, bijection
Propriétés graphiques
Bibliographie

Fonction (définitions)

Définitions.

On appelle fonction $f$ la donnée d'un ensemble $E$ , d’un ensemble $F$ et d’un « procédé » qui permet d’associer à un élément $x$ de E au plus un élément $y = f (x)$ de F. Cet élément $y$ , quand il existe, est l’image de $x$ , et $x$ est appelé un antécédent de $y$ .

On appelle $E$ l'ensemble de départ de $f$ , $F$ l'ensemble d'arrivée de $f$ .

L'ensemble de définition d'une fonction $f$ , noté souvent $D_{f}$ , est la partie de l'ensemble de départ $E$ dont les éléments admettent des images par $f$ .

Dans les pages suivantes, on explicite différentes façons de définir une fonction.

Par un tableau
Par un diagramme sagittal
Par une représentation graphique , fournie sans formule de calcul. (Statistique, relevé météo, diagramme, etc...)
Par une formule explicite

Tableau, Diagramme sagittal

Diagramme sagittal

Pour des ensembles finis, on peut dessiner deux "patates" représentant les ensembles

E

F

, et, lorsqu'un élément

y

F

est l'image d'un élément

x

E

, tracer une flèche de cet élément

x

E

vers l'élément

y

F

. Plus élégamment, on parle de diagramme sagittal.

Exemple de diagramme sagittal.

Ce diagramme définit la même fonction que le tableau ci-dessous.

Tableau

Toujours pour des ensembles finis, on peut définir une fonction par un tableau avec les éléments de

E

dans la première colonne, ceux de

F

dans la première ligne en mettant une croix ou un signe dans le tableau, à l'intersection d'une ligne et d'une colonne, lorsque deux éléments de

E

et de

F

sont en relation par

f

.
Le tableau ci-dessous représente une fonction

f

E = {a, b, c, d, e}

vers

F = {p, q, r, s, t, u}

. Ainsi

a

a pour image

s

par

f

(ce que l'on a matérialisé par une étoile ici),

b

a pour image

q

, etc..., et

c

n'a pas d'image.

Exemple de tableau.

Représentation graphique

Définitions.

Le graphe d'une fonction $f$ de E dans F, est la partie $G$ de $E \times F$ définie par $G = {(x, y) \in E \times F ∣ y = f (x)} = {(x, f (x)), x \in E}$
La représentation graphique d'une fonction $f$ de $ℝ$ dans $ℝ$ est l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées appartiennent à $G$ , graphe de $f$ .

Exemple : Scénario cinématique.

Un cycliste roule pendant une heure à 10 km/h, puis à 5 km/h l'heure suivante et enfin à 2,5 km/h les deux heures suivantes. La fonction qui associe au temps $t$ la distance parcourue est donnée par la représentation graphique suivante ; l'axe des abscisses est gradué en heure et l'axe des ordonnées en kilomètres.

Définition. Soit une partie

A

d'un ensemble

E

. On appelle fonction indicatrice de

A

la fonction, notée

1_{A}

, définie sur

E

à valeurs dans

ℝ

, par :

1_{A} (x) = 0

pour

x \notin A

1_{A} (x) = 1

pour

x \in A

Exemple. Pour

A = [- 1, 2 [\cup] 3, 4]

, partie de

ℝ

, la représentation graphique de

1_{A}

est :

Fonction définie par des formules

Fonction numérique de variable réelle

On peut définir une fonction numérique $f$ de $ℝ$ dans $ℝ$ en donnant pour la variable réelle $x$ une formule pour calculer le réel $f (x)$ .

Exemple.

$f (x) = \sqrt{- 2 x^{2} + 3 x + 5}$ pour $x \in [- 1, \frac{5}{2}]$ .
Que valent $f (0), f (1), f (- \frac{1}{3}), f (3)$ ?

$f (0) = \sqrt{5}$ ; $f (1) = \sqrt{6}; f (- \frac{1}{3}) = \sqrt{\frac{34}{9}}; f (3)$ n'est pas défini.

Cette fonction admet la représentation graphique suivante :

À partir de la représentation graphique d'une fonction, on peut retrouver les formules la définissant.

On donne la représentation suivante définissant l'évolution d'un phénomène.

Donner les formules définissant la fonction sur chaque intervalle.

On rappelle que l'équation de la droite passant par les deux points $A = (x_{A}, y_{A})$ et $B = (x_{B}, y_{B})$ est : $(y - y_{A}) = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} (x - x_{A})$ .

$f (x) = 0$ pour $x \leq - 2$
$f (x) = x + 2$ pour $- 2 \leq x \leq 1$
$f (x) = - 3 x + 6$ pour $1 \leq x \leq 2$
$f (x) = x - 2$ pour $2 \leq x \leq 3$
$f (x) = - 2 x + 7$ pour $3 \leq x \leq 4$
$f (x) = 0$ pour $x \geq 4$

Applications

Définition. On appelle application d'un ensemble

E

dans un ensemble

F

une fonction de

E

dans

F

telle que tous les éléments de

E

aient une image dans

F

. Son domaine de définition et son ensemble de départ coïncident donc.

Remarques.

La différence entre fonction et application ne concerne donc que l'ensemble de départ.
On transforme facilement une fonction en une application en prenant son ensemble de définition pour ensemble de départ.

Exemple 1 : Application et tableau.
Dans l'exemple défini par Tableau, Diagramme sagittal , la fonction

f

E = {a, b, c, d, e}

vers

F = {p, q, r, s, t, u}

devient une application si l'on prend pour ensemble de départ

E' = {a, b, d, e}

( son ensemble de définition).

Exemple 2 : Application et représentation graphique.

On considère la fonction de $ℝ$ dans $ℝ$ , définie par $g (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ .
Comment modifier l'ensemble de départ de la fonction $g$ pour la transformer en une application ? Tracer sa représentation graphique sur ce nouveau domaine de définition, dans un repère orthonormé.

Si on remplace l'ensemble de départ $ℝ$ de la fonction $g$ par son domaine de définition [ $- 2, 2$ ], $g$ devient une application.
Les coordonnées $(x, y)$ des points de la représentation graphique vérifient l'égalité $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ , équivalente à $y^{2} = 4 - x^{2}$ et $y \geq 0$ . On reconnaît l'équation du demi-cercle de centre $(0, 0)$ de rayon $2$ , dans le demi plan $y \geq 0$ . Voici la représentation graphique de $g$ :

Exemple 3 : Application du plan affine. Dans le plan affine, une symétrie centrale par rapport à un point

O

est une application du plan dans lui-même.
Sur le dessin ci-dessous, le point

M'

est l'image du point

M

par la symétrie centrale de centre

C

, et le F vert est l'image du F bleu.Vous pouvez déplacer tous les objets rouges.

Rappel : Définition et propriétés d'une symétrie centrale

Exercice.
Diagramme sagittal d'une application

Restriction d'une fonction.

Définition. Si

f

est une application de

E

dans

F

, et

A

une partie de

E

, on définit l'application notée

f_{∣ A}

, définie sur

A

, à valeurs dans

F

telle que

f_{∣ A} (x) = f (x)

. On dit alors que

f_{∣ A}

est la restriction de

f

A

. On la note aussi parfois

\tilde{f}

(lire "f tilde").

Remarques:

Pour transformer une fonction $f$ de $E$ vers $F$ en une application, on prendra sa restriction, notée $\tilde{f}$ par exemple, à l'ensemble de définition $D_{f}$ de $f$ . Si $f$ est une fonction $f$ de $E$ vers $F$ , $\tilde{f}$ est une application de $D_{f}$ vers $F$ .
On notera bien que $f$ et $\tilde{f}$ ne sont pas les mêmes objets mathématiques (bien que l'écriture $f (x) = . . .$ soit la même) puisque leurs ensembles de départ sont différents.
On a souvent besoin de ne conserver de l'ensemble de définition d'une fonction qu'une partie où elle est strictement monotone (voir Théorèmes sur la bijection ). On prendra donc sa restriction à une partie judicieusement choisie. Par exemple, pour la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{2}$ , on prendra sa restriction à $ℝ^{+}$ où elle est strictement croissante. (On pourrait prendre, de la même manière, sa restriction à $ℝ^{-}$ , où elle est strictement décroissante).
Dans GeoGebra, la syntaxe pour afficher la restriction, à l'intervalle [ $- 1, 1$ ] par exemple, de la fonction, définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{2}$ , est
$f (x) = x^{2}, (- 1 < x < 1)$ ou Si $(- 1 < x < 1, x^{2})$

Représentations graphiques :
On a tracé ci-dessous les courbes représentatives de la fonction définie a priori sur

ℝ

par

f (x) = x^{2} (2 - x)

(en violet), puis celles de ses restrictions

{\tilde{f}}_{1}

{\tilde{f}}_{2}

, respectivement aux intervalles [

0, 1

] (en bleu), puis [

- 1, 2

] (en marron).

Image d'une fonction

Définition. Soit

f

une fonction de

E

dans

F

, on appelle image de

f

, notée

Im (f)

f (E)

la partie de l'ensemble d'arrivée

F

dont les éléments ont au moins un antécédent par

f

, c'est-à-dire l'ensemble défini par :

$Im (f) = {y \in F ∣ \exists x \in E, y = f (x)}$

Remarque. On veillera à ne pas confondre deux choses portant un peu le même nom :

l’élément y, image de l’élément $x$ par la fonction $f$ , c'est-à-dire $y = f (x)$ ; l’élément $y$ est un élément de $F$
La partie de l'ensemble d'arrivée de la fonction $f$ appelée image de la fonction $f$ . C'est un ensemble, une partie de $F$ .

Illustrations graphiques. Dans les deux figures ci-dessous, on a indiqué en rouge les images de deux fonctions, l'une $f_{1}$ donnée par son diagramme sagittal, l'autre $f_{2}$ définie sur $ℝ$ par $f_{2} (x) = \frac{6 x}{1 + x^{2}}$ par sa représentation graphique.

$Im (f_{1}) = {M, O, P, S, T}$	$Im (f_{2}) = [- 3, 3]$

Exemples.

Dans l'exemple de la page Tableau, Diagramme sagittal , $Im (f) = {q, s, t}$
$f : ℝ \to ℝ$ , définie par: $f (x) = \sin x, (x \in ℝ)$ . $Im (f) = [- 1, 1]$ .
$f : ℝ \to ℝ$ , définie par: $f (x) = x^{2} + 3 x + 4, (x \in ℝ)$ . Le minimum de la fonction est obtenu pour $x = - \frac{3}{2}$ . L'ordonnée du minimum est $y = \frac{7}{4}$ d'où $Im (f) = [\frac{7}{4}, + ∞ [$
Pour $f$ : $ℝ^{2} \to ℝ$ , $f (x, y) = \frac{y}{x + 1}, (x, y) \in ℝ \ {- 1} \times ℝ$ , on a $Im (f) = ℝ$ .
Choisissons $α \in ℝ$ , a priori quelconque, dans l'ensemble d'arrivée et cherchons ses antécédents, s'il en a. Ce sont des couples $(x, y)$ solutions de l'équation à deux inconnues $x$ et $y$ : $α = \frac{y}{x + 1}$ .
- Choisissons pour $x$ une valeur fixée quelconque $x_{0} \neq - 1$ dans $ℝ$ . En remplaçant dans l'équation, on obtient pour $y$ une valeur : $y_{0} = α x_{0} + α$ . Le couple $(x_{0}, y_{0})$ est donc une solution de l'équation et un antécédent de $α$ , quel que soit $α$ .
- On peut aussi choisir d'abord arbitrairement $y_{1}$ dans $ℝ$ .
  - Cas $α = 0$ : on peut prendre dans l'équation de départ $y_{1} = 0$ et $x_{1}$ quelconque dans $ℝ \ {- 1}$ .
  - Cas $α \neq 0$ : l'équation conduit à $x_{1} = \frac{y_{1} - α}{α}$ .
    On peut donc prendre $y_{1}$ quelconque dans $ℝ$ et $x_{1} = \frac{y_{1} - α}{α}$ .
Dans tous les cas, le couple $(x_{1}, y_{1})$ est une solution de l'équation et un antécédent de $α$ , quel que soit $α$ .
En définitive on obtient $Im (f) = ℝ$

Exercices.

Image d'une application donnée par un tableau . On rappelle que le cardinal d'un ensemble fini est son nombre d'éléments distincts.
Image par un polynôme
Pour les fonctions suivantes, de $ℝ$ dans $ℝ$ , déterminer $Im (f)$ .
1. $f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 2}$
2. $f (x) = \frac{1}{2} . \tan x$ Solution : $\cup_{k = - ∞}^{+ ∞} (] (2 k - 1) \frac{π}{2}, (2 k + 1) \frac{π}{2} [)$ , $k \in ℤ$
Soit $f$ l'application de $ℕ^{2}$ dans $ℤ$ , définie par $f (p, q) = p^{2} - q$ .
Quelles sont les images des couples $(1, 2)$ et $(0, 4)$ ? $- 5$ a-t-il des antécédents?

Les images : $f (1, 2) = - 1$ , $f (0, 4) = - 4$ .
Le nombre -5 a pour antécédents les couples $(p, q)$ tels que $p^{2} - q = - 5$ . En choisissant arbitrairement par exemple $p = t$ avec $t \in ℕ$ , on en déduit $q = t^{2} + 5$ . Comme pour tout $t$ dans $ℕ$ , le nombre $t^{2} + 5$ est aussi dans $ℕ$ , l'ensemble des antécédents de $- 5$ est : S = { $(t, t^{2} + 5), t \in ℕ$ }

Image réciproque d'un ensemble par une fonction

Définition.

Soient une application $f$ de $E$ dans $F$ et $B$ une partie de $F$ , on appelle image réciproque de $B$ , notée $f^{- 1} (B)$ , la partie de $E$ définie par : $f^{- 1} (B) = {x \in E ∣ f (x) \in B}$ .

Autrement dit, l'image réciproque de $B$ est l'ensemble des antécédents des éléments de $B$ .

Exemples.

Dans l'exemple du tableau et du diagramme sagittal, on a : $f^{- 1} ({q}) = {b, d}$ , $f^{- 1} ({s}) = {a}$ , $f^{- 1} ({u}) = \emptyset$ , $f^{- 1} (F) = {a, b, d, e}$
$f : ℝ \to ℝ$ , définie par: $f (x) = x^{2} - 2 x$ , ( $x \in ℝ$ ).
1. Pour déterminer $f^{- 1} ({8})$ , on résout dans $ℝ$ l'équation $x^{2} - 2 x = 8$ . On obtient deux solutions : $4$ et $- 2$ . Donc on a : $f^{- 1} ({8}) = {- 2, 4}$ .
2. Déterminer $f^{- 1} (ℝ^{+})$ . La fonction s'annule pour $x = 0$ et $x = 2$ et est du signe du coefficient de $x^{2}$ (positif) à l'extérieur des racines ( théorème sur le signe du trinôme ), donc on obtient : $f^{- 1} (ℝ^{+}) =] - ∞, 0] \cup [2, + ∞ [$ .
Considérons la restriction à l'intervalle $[- 10, 6]$ de la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f (x) = 4 \sin (\frac{x}{2})$ . On pose : $A = (0, 1)$ et $B = (0, 2)$ .
L'image réciproque du segment $[A, B]$ de l'axe $Oy$ est la réunion des trois segments rouges : $[α_{1}, α_{2}] \cup [α_{3}, α_{4}] \cup [α_{5}, α_{6}]$

Exercices.

Pour les fonctions suivantes, de $ℝ$ dans $ℝ$ , déterminer $f^{- 1} (ℝ)$ .
1. $f (x) = 2 x + 1$
2. $f (x) = x^{n}$ (On discutera suivant les valeurs de $n \in ℕ$ )
3. $f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 2}$
4. $f (x) = \frac{1}{2} . \tan (x)$
Image réciproque d'un intervalle Aide
Comparer $f(f^{-1}(I))$ et $I$ , $I$ étant un intervalle.
Comparer $f^{-1}(f(I)) $ et $I$ , $I$ étant un intervalle.

Composée de fonctions

Définition.

Soient $E$ , $F$ et $G$ trois ensembles, $f$ une fonction de $E$ dans $F$ et $g$ une fonction de $F$ dans $G$ , $f$ suivie de $g$ . On appelle composée des fonctions $f$ et $g$ , notée $g \circ f$ (lire " $g$ rond $f$ "), la fonction de $E$ dans $G$ , définie pour $x \in D_{f}$ et $f (x) \in D_{g}$ , par

$(g \circ f) (x) = g [f (x)]$

Exemples.

Exemples graphiques de composition
Soient $f$ et $g$ les applications de $ℝ$ dans $ℝ$ définies par $f (x) = - x^{2}$ et $g (x) = x + 2$ . La composé de $f$ et $g$ , ainsi que celle de $g$ et $f$ , sont possibles.
- $g \circ f$ est définie sur $ℝ$ par $(g \circ f) (x) = - x^{2} + 2$ .
- $f \circ g$ est définie sur $ℝ$ par $(f \circ g) (x) = - (x + 2)^{2}$ .
On remarque que les deux composées sont différentes. La loi de composition des fonctions n'est pas commutative.
Soit $f$ l'application de $ℝ$ dans $ℝ$ , définie par : $f (x) = x^{2} - 1$ et $g$ l'application de $ℝ ∖ {- 1}$ dans $ℝ$ , définie par : $g (x) = \frac{1}{x + 1}$ .
- De l'équivalence $f (x) \in D_{g} \Leftrightarrow x \neq 0$ , on déduit que l'ensemble de définition de $g \circ f$ est $ℝ^{*}$ alors $g \circ f$ est l'application de $ℝ^{*}$ dans $ℝ$ , définie par : $(g \circ f) (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .
- $f \circ g$ est l'application de $ℝ ∖ {- 1}$ dans $ℝ$ , définie par : $(f \circ g) (x) = \frac{- x (x + 2)}{(x + 1)^{2}}$ .
Soit $f$ l'application de $ℝ_{+}^{*}$ dans $ℝ$ , définie par : $f (x) = \ln (x)$ et $g$ l'application de $ℝ$ dans $ℝ$ , définie par : $g (x) = - \sqrt{x^{2} + 1}$ .
- $g \circ f$ est l'application de $ℝ_{+}^{*}$ dans $ℝ$ , définie par : $(g \circ f) (x) = - \sqrt{[\ln (x)]^{2} + 1}$
- $f \circ g$ n'est pas définie, car l'ensemble d'arrivée de la première application $g$ est $g (ℝ)$ = ] $- ∞$ , -1], lequel n'est pas inclus dans l'ensemble de définition de $f$ qui est $ℝ_{+}^{*}$ .
Décomposition sous diverses formes

Remarque. On ne peut pas toujours composer des fonctions. Considérons la fonction $f$ de $ℝ$ dans $ℝ$ , définie par $f (x) = x^{2}$ et la fonction $g$ définie par $g (x) = \ln (- x)$ . L'ensemble d’arrivée de $f$ est $ℝ_{+}$ , l'ensemble de départ de $g$ est $ℝ_{-}^{*}$ . On ne peut pas composer $f$ et $g$ .

Exercices.

Calcul d'image par $g \circ f$
Composition et enchainement
Composition et ensemble de définition

Exemples graphiques de composition

Soient trois ensembles $E = {A, B, C, D, E, F_{1}}$ , $F = {M, N, O, P, Q}$ et $G = {α, β, γ, δ}$ . On considère $f$ une fonction de $E$ dans $F$ et $g$ une fonction de $F$ dans $G,$ représentées par leurs diagrammes sagittaux ci-dessous.

Les représentations graphiques de

g \circ f

sont données ci dessous, la première en montrant les deux étapes, la seconde en "oubliant" l'ensemble

F

puisque

g \circ f

est une application de

E

dans

G

Injection

Définition. Soient

E

F

deux ensembles.

On dit que une application ou une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est injective ou une injection si tout élément de $F$ admet au plus un antécédent dans $E$ .
On peut aussi formuler cela de la façon suivante : deux éléments distincts de l'ensemble de départ $E$ ont des images distinctes par $f$ dans l'ensemble d'arrivée $F$ , ce qui s'écrit avec des quantificateurs :

$\forall (a, b) \in E^{2}, a \neq b \Rightarrow f (a) \neq f (b)$

Remarques.

Dans le cas d'un diagramme sagittal, une fonction n'est pas injective si deux flèches arrivent sur le même élément de l'ensemble d'arrivée. Lorsqu'on a fait un tableau, la fonction n'est pas injective lorsqu'il y a deux étoiles dans la même colonne. C'est le cas dans cet exemple .
En prenant le restriction d'une fonction $f$ à une partie de son ensemble de départ, on peut rendre celle-ci injective, si elle ne l'est pas.
Ainsi $f$ en tant que fonction de $ℝ$ dans $ℝ$ , définie par $f (x) = x^{2}$ n'est pas injective, mais sa restriction à $ℝ^{+}$ l'est.
L'injectivité d'une fonction dépend essentiellement de son ensemble de départ.
Soit $f$ une application de $E$ dans $F$ . Si $E$ et $F$ sont deux ensembles finis et qu'on ait $Card E > Card F$ , alors l'application $f$ n'est pas injective.
Dans le cas d'une fonction donnée par une formule, on résout dans $E$ , pour un $y$ quelconque dans $F$ , l'équation d'inconnue $x$ : $y = f (x)$ .
Si, pour tout $y$ dans $F$ , elle admet au plus une solution dans $E$ , alors $f$ est une injection de $E$ dans $F$ .
Graphiquement, une fonction est injective si et seulement si toute droite horizontale coupe la courbe représentative de cette fonction en au plus un point.
Dans l'exemple et le dessin ci-dessous, la courbe verte, courbe représentative d'une fonction $f$ , est coupée en quatre points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ par la droite d'équation $y = 2$ , la fonction $f$ n'est donc pas injective sur la partie de l'axe $O x$ du dessin. Les antécédents de $2$ sont les abscisses des quatre points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .

Injection, exemples, exercices

Pour prouver qu'une application

f

est injective, on utilise souvent la proposition contraposée ( rappel ici ) de la définition formulée avec des quantificateurs. Cette proposition contraposée s'écrit :

$\forall (x, y) \in E^{2}, f (x) = f (y) \Rightarrow x = y$

Exemple. Montrons que l'application de

ℝ

dans

ℝ

, définie par

f (x) = 2 x + 1

est injective.
Première méthode. Soit

y \in ℝ

, résolvons l'équation (d'inconnue

x

) :

y = 2 x + 1

. On trouve une (unique) solution

x = \frac{y - 1}{2}

. La fonction

f

ℝ

dans

ℝ

est donc injective.
Deuxième méthode.

\forall (x, y) \in ℝ^{2}, f (x) = f (y)

s'écrit :

2 x + 1 = 2 y + 1

qui conduit bien sûr à

x = y

. L'injectivité est donc établie.

Pour une preuve de la non injectivité d'une application

f

, on montre la négation de la définition en exhibant un exemple :

$\exists (x, y) \in E^{2} ∣ x \neq y et$ $f (x) = f (y)$

Exemples.

Montrons que l'application de $ℝ$ dans $ℝ$ définie par $f (x) = \sin x$ n'est pas injective.
Prenons $x = 0$ et $y = 2 π$ . On vérifie les relations : $x \neq y$ et $f (x) = f (y) = 0$ .
Le nombre $0$ a deux antécédents. L'application $f$ n'est pas injective.
Montrons que l'application de $ℝ^{2}$ dans $ℝ$ , définie par $f (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} + 2 x_{2}$ n'est pas injective.
Prenons $(x_{1} = 1, x_{2} = - 1)$ et $(y_{1} = 0, y_{2} = - \frac{1}{2})$ . On vérifie les relations : $(x_{1}, x_{2}) \neq (y_{1}, y_{2})$ et $f (x_{1}, x_{2}) = f (y_{1}, y_{2})$ = -1).
Le nombre $- 1$ a deux antécédents. L'application $f$ n'est pas injective.

Exercices.

Injectivité de $g \circ f$
Injectivité de $f \circ g$
Injectivité de $g \circ f \circ h$

Surjection

Définition. Soient

E

F

deux ensembles.
On dit qu'une application ou une fonction

f

E

dans

F

est surjective ou une surjection de

E

dans

F

, si tout élément de

F

admet au moins un antécédent dans

E

, ce qui s'écrit avec des quantificateurs :

$\forall y \in F, \exists x \in E ∣ y = f (x)$

Remarques.

Dans la pratique, on peut, pour un $y$ quelconque dans $F$ , résoudre dans $E$ l'équation (d'inconnue $x$ ) : $y = f (x)$ .
Si, pour tout $y$ dans $F$ , elle admet au moins une solution dans $E$ , alors $f$ est une surjection de $E$ sur $F$ .
Les ensembles $E$ et $F$ étant finis, $f$ n'est pas surjective si $Card E$ est strictement inférieur à $Card F$ .
Une application $f$ devient surjective si on limite l'ensemble d'arrivée à $Im (f)$ .
Exemple : $f (x) = x^{2}$ ( $x \in ℝ$ ). Comme l'équation $y = x^{2}$ n'a de solutions que pour tout $y$ positif, $f$ est une surjection de $ℝ$ sur $ℝ^{+}$
La surjectivité dépend essentiellement de l'ensemble d'arrivée.

Exemple 1. Voici deux fonctions de

X

dans

Y

et de

X_{1}

dans

Y_{1}

. La première n'est pas surjective, la seconde l'est.

Exemple 2. Posons

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}

. A priori, on définit ici

f

une fonction de

ℝ

dans

ℝ

. Elle devient une application si l'on restreint son ensemble de départ à

ℝ ∖ {1}

.
Soit

y

quelconque dans

ℝ

, l'équation

y = \frac{2 x + 1}{x - 1}

, avec

x \neq 1

est équivalente à

(y - 2) x = y + 1

, puis, si

y

est différent de 2, à

x = \frac{y + 1}{y - 2}

.
Tout

y

différent de 2 a donc un antécédent et

f

est une surjection de

ℝ ∖ {1}

sur

ℝ ∖ {2}

Exercices.

Surjectivité de $g o f$
Surjectivité de $f o g$
Surjectivité de $g o f o h$

Bijection

Définition.

Soient $E$ et $F$ deux ensembles.
On dit que $f$ est une application (ou une fonction) bijective ou une bijection de $E$ dans $F$ , si tout élément de $F$ admet exactement un antécédent dans $E$ , ce qui s'écrit avec des quantificateurs :
$\forall y \in F, \exists! x \in E ∣ y = f (x)$
De cette définition, il découle que $f$ est bijective si et seulement si elle est injective et surjective.

Remarques.

Si $E$ et $F$ sont deux ensembles finis tels que $Card E \neq Card F$ , $f$ ne peut pas être bijective.
Si la bijection est donnée par un tableau, ce tableau possède autant de lignes que de colonnes et on n'observe qu'une seule étoile sur chaque ligne et sur chaque colonne. (Voir ici)
Si la bijection est donnée par un diagramme sagittal, de chaque élément de l'ensemble de départ part une flèche et une seule, et chaque élément de l'ensemble d’arrivée est atteint par une flèche et une seule. (Voir ici)
Pour une application donnée par une formule, pour un $y$ quelconque dans $F$ on peut résoudre dans $E$ l'équation (d'inconnue $x$ ) $y = f (x)$ .
Si, pour tout $y$ dans $F$ , cette équation admet exactement une solution dans $E$ , alors $f$ est une bijection de $E$ dans $F$

Exemples.

Un exemple concret : L'application qui à une quantité d'essence achetée associe le prix payé est une bijection.
La fonction de $ℝ$ dans $ℝ$ , définie par $f (x) = x^{2}$ n'est, on l'a vu, ni injective, ni surjective. En prenant sa restriction à $ℝ^{+}$ , elle devient une application injective de $ℝ^{+}$ dans $ℝ$ qui n'est pas surjective. Comme l'équation $y = x^{2}$ admet dans $ℝ^{+}$ une unique solution ( $x = \sqrt{y}$ ), quel que soit y dans $ℝ^{+}$ , elle devient bijective en tant qu'application de $ℝ^{+}$ dans $ℝ^{+}$ .
[De la même façon on aurait prouvé que c'est une application bijective de $ℝ^{-}$ dans $ℝ^{+}$ ].
Soit $C$ un point d'un plan $𝒫$ ; la symétrie centrale de centre $C$ est une bijection de $𝒫$ dans $𝒫$ . Le point $C$ a pour antécédent $C$ , et tout point $M \neq C$ de $𝒫$ a pour antécédent le point $M'$ de $𝒫$ , unique symétrique de $M$ par rapport à $C$ .
Considérons l'application de $ℝ_{2} [X]$ (ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2) dans $𝒱_{3}$ (vecteurs de l'espace), qui à tout polynôme $P (X) = a_{0} + a_{1} X + a_{2} x^{2}$ associe le vecteur de coordonnées $(a_{0}, a_{1}, a_{2})$ . C'est ici un théorème, l'unicité de l'écriture d'un polynôme, qui fournit le caractère bijectif de cette application.

Exercice. On considère la fonction de

ℝ

dans

ℝ

définie par

f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

. Est-ce une bijection ? Comment la rendre bijective ?

Elle est définie sur $ℝ$ , à valeurs dans $ℝ^{+ *}$ et un coup d’œil rapide sur une calculatrice graphique fournit une idée du résultat et de bons éléments de réponse !
Soit $y$ un réel quelconque strictement positif. Cherchons des solutions à l'équation $y = \frac{1}{1 + x^{2}}$ . On obtient : $x^{2} = \frac{1 - y}{y}$ . La fraction doit être positive ce qui conduit à imposer $0 < y \leq 1$ . Si l'on suppose cette double inégalité vérifiée, l'équation admet alors deux solutions $x = \pm \sqrt{\frac{1 - y}{y}}$ .
Si l'on restreint l'ensemble de départ à $ℝ^{+}$ (ou $ℝ^{-}$ !), cette équation n'a plus qu'une seule solution, et ceci quel que soit $y$ dans l'intervalle $] 0, 1]$
Conclusion : l'application est une bijection de $ℝ^{+}$ (ou $ℝ^{-}$ !) dans $] 0, 1]$ .

Exercice dans une situation "concrète".

On demande à un groupe de personnes de laisser leur téléphone dans une boite à l'entrée d'une salle. On note $P$ l'ensemble des personnes, $T$ l'ensemble des téléphones. On s'intéresse au processus $f$ qui met en relation une personne de $P$ à son ou ses téléphones dans $T$ .
Que faut-il supposer sur $P$ et $T$ pour que $f$ soit une fonction ? une application ? une injection ? une surjection? une bijection?

$f$ est une fonction à condition qu'aucune personne n'ait plus d'un téléphone...
$f$ est une application si tout le monde a un téléphone.
$f$ est une injection si aucun téléphone n'est partagé entre deux personnes...
$f$ est une surjection, sauf si la veille quelqu'un, n'appartenant pas à ce groupe, a oublié son téléphone dans la boite...
$f$ est une bijection si la boîte est vide au départ et si chacun a exactement un téléphone personnel.

Exercices.

Reconnaissance d'applications 1
Reconnaissance d'applications 2
Tracé graphique d'applications
Relations entre les notions d'injectivité, surjectivité et les cardinaux
Relations, applications, injectivité, surjectivité et bijectivité

Exemples graphiques de bijection

Exemple de représentation graphique d'une bijection d'un ensemble

X = {A, B, C, D, E, F}

vers un ensemble

Y = {α, β, δ, ε, κ, λ, ξ, σ}

, donnée sous forme d'un diagramme sagittal.

Exemple de représentation graphique d'une bijection d'un ensemble

{A, B, C, D, E, F}

vers un ensemble

{U, V, W, X, Y, Z}

, donnée sous forme d'un tableau.

Théorèmes sur la bijection

Théorème important.
Si

f

est une application strictement monotone sur un intervalle

I

ℝ

, alors

f

est une bijection de

I

sur

f (I)

.
En d'autres termes, pour tout

y_{0}

f (I)

, l'équation

f (x) = y_{0}

admet une unique solution

x_{0}

dans

I

Graphiquement, cela se visualise bien. Si la fonction n'est pas monotone, un réel

y_{0}

f (I)

peut avoir plusieurs antécédents et la fonction n'est pas bijective, comme le montre le troisième dessin.

courbe pour une fonction monotone courbe pour une fonction non monotone

Cas particulier des fonctions dérivables.

Théorème.
Soit

f

une application dérivable sur un intervalle

I

ℝ

. Si, pour tout

x

dans

I

, la dérivée

f'

est, soit toujours strictement positive, soit toujours strictement négative, alors c'est une bijection de

I

sur

f (I)

Bijection, bijection réciproque

Propriété.

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Si $f$ est une application bijective de $E$ dans $F$ , alors elle admet une application réciproque de $F$ dans $E$ , notée $f^{- 1}$ , qui est également bijective. On a l'équivalence :

$\forall (x, y) \in E \times F y = f (x) \Leftrightarrow x = f^{- 1} (y)$

Remarque : Pour trouver l'application réciproque d'une bijection

f

, comme pour l'injection et la surjection on prend un

y

quelconque dans

F

, et on résout l'équation

y = f (x)

. Cette résolution fournit d'ailleurs l'application réciproque (voir l'exemple 4).

Exemples.

L'application $\ln$ de $ℝ_{+}^{*}$ dans $ℝ$ est bijective et admet l'application $\exp$ de $ℝ$ dans $ℝ_{+}^{*}$ pour application réciproque.
L'application de $ℝ_{+}$ dans $ℝ_{+}$ qui à $x$ associe $x^{2}$ est bijective et admet pour réciproque l'application de $ℝ_{+}$ dans $ℝ_{+}$ qui à $x$ associe $\sqrt{x}$ .
Dans un plan, la symétrie orthogonale $s_{D}$ par rapport à une droite $D$ est bijective et admet elle-même pour application réciproque : $s_{D}^{- 1} = s_{D}$ .
Reprenons l'exemple 2 de cette page : $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .
L’antécédent (unique) de tout réel $y$ différent de 2 est $x = \frac{y + 1}{y - 2}$ . L'application réciproque est donc l'application :
$f^{- 1}$ : $ℝ ∖ {2} \to ℝ ∖ {1}$ , définie pour tout $y \neq 2$ par : $f^{- 1} (y) = \frac{y + 1}{y - 2}$ . Ou si l'on préfère : $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ , la variable d'une fonction étant une lettre muette à laquelle toute autre est substituable.
Montrer que $f$ est une bijection de $] 1; 3 [$ sur son image $X$ (que l'on déterminera), et trouver son application réciproque.
- $X$ est l'intervalle ouvert $] - 2, - \frac{8}{13} [$
- $f^{- 1} (x) = \frac{2 x - 5}{5 x + 1}$

Exercices.

Chercher l'application réciproque
Dans cet exercice , des questions sur une "fonction quadratique" (= fonction polynôme du second degré) $f : [a; b] \to [c; d]$ sont posées : définition, injectivité, surjectivité. On peut s'aider d'un calculateur graphique.
Calcul de valeurs pour $f^{-1}$

Fonctions paires

Définitions.

On dit qu'une fonction $f$ de $ℝ$ dans $ℝ$ est paire, si
- $\forall x \in D_{f}$ , $- x \in D_{f}$
- $f$ vérifie la propriété : $\forall x \in D_{f}$ , $f (- x) = f (x)$ .
On munit le plan d'un repère orthonormé $(O, \overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{j})$ . La courbe représentative d'une application $f$ de $ℝ$ dans $ℝ$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = a$ , si $f$ vérifie :

$\forall x \in ℝ$ , $f (a + x) = f (a - x)$ ou de façon équivalente $\forall x \in ℝ, f (x) = f (2 a - x)$

Rappel : Définition et propriétés d'une symétrie axiale

Propriété.

Dans un repère orthonormé, la représentation graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (symétrie axiale).

Exemple d'une fonction paire. La fonction

f

ℝ

dans

ℝ

définie par

f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 3

Propriété. Dans un repère orthonormé, la représentation graphique d'une parabole, d'équation

y = {ax}^{2} + bx + c

a \neq 0

est symétrique par rapport à la droite (verticale) d'équation

x = - \frac{b}{2 a}

passant par son sommet.

Exemple. La parabole d'équation

y = 2 x^{2} - 3 x - 1

symétrique par rapport à la droite d'équation

x = \frac{3}{4}

passant par le sommet de la parabole.

Exercices.

Les fonctions suivantes de $ℝ$ dans $ℝ$ sont-elles paires ?
$f_{1} (x) = x^{4} - x^{2} + 1$ , $f_{2} (x) = 2 x^{4} - x + 1$ , $f_{3} (x) = \frac{\sin x}{x^{3} - 2 x}$ , $f_{4} (x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 2}$ ,
$f_{5} (x) = \cos (\frac{2 x}{x^{2} + 1})$ , $f_{6} (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ , $f_{7} (x) = \frac{\sin x}{x^{3}}$ , $f_{8} (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Fonctions impaires

Définitions.

On dit qu'une fonction $f$ de $ℝ$ dans $ℝ$ est impaire, si
- $\forall x \in D_{f}$ , $- x \in D_{f}$
- $\forall x \in D_{f}$ , $f (- x) = - f (x)$
La courbe représentative d'une application $f$ de $ℝ$ dans $ℝ$ admet le point $Ω$ de coordonnées $(a, b)$ pour centre de symétrie, si $f$ vérifie :

$\forall x \in ℝ$ , $f (a + x) + f (a - x) = 2 b$ ou de façon équivalente $\forall x \in ℝ, f (x) = 2 b - f (2 a - x)$

Propriété. La représentation graphique d'une fonction impaire est, dans un repère, symétrique par rapport à l'origine du repère (symétrie centrale).

Rappel : Définition et propriétés d'une symétrie centrale

Exemple de représentation graphique d'une fonction impaire. La fonction

f

ℝ

dans

ℝ

définie par :

f (x) = x^{2} \sin x

Exercices. Les fonctions suivantes de

ℝ

dans

ℝ

sont-elles impaires ?

$f_{1} (x) = \sin 2 x$ , $f_{2} (x) = \sin (2 x + 1)$ , $f_{3} (x) = \frac{\sin^{2} x}{x^{3} - 2 x}$ , $f_{4} (x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 2}$ ,
$f_{5} (x) = \sin (\frac{2 x}{x^{2} + 1})$ , $f_{6} (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ , $f_{7} (x) = \frac{3 x^{2} + 1}{x^{3}}$ , $f_{8} (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$
Montrer que la fonction de $ℝ$ dans $ℝ$ définie par $x \to \frac{2 x + 3}{x - 1}$ , définie pour $x \neq 1$ admet un centre de symétrie que l'on déterminera.

On écrit, pour la fonction donnée, l'égalité $f (a + x) + f (a - x) = 2 b$ . On simplifie l'écriture jusqu'à arriver à un trinôme du second degré nul (dont les coefficients doivent donc être nuls, à cause de l'unicité de l'écriture d'un polynôme). Le résultat est le point $Ω = (1, 2)$ .

Fonctions périodiques

Définition. Soit

T

un réel non nul. On dit qu'une fonction

f

ℝ

dans

ℝ

dont le domaine de définition est

D_{f}

, est périodique de période

T

T

-périodique si :

$\forall x \in D_{f}, x + T \in D_{f}$
$\forall x \in D_{f}, f (x + T) = f (x)$

Remarque. Lorsqu'une fonction admet

T \in ℝ

pour période, elle admet aussi (vérifiez-le)

2 T, 3 T

... pour périodes. On convient en général de réserver le terme de période d'une fonction périodique au plus petit réel

T

positif et non nul vérifiant la définition.

Propriété. La représentation graphique d'une fonction périodique de période

T

s'obtient, à partir de la représentation graphique

C_{T}

de la fonction sur un intervalle de longueur

T

, par des translations successives de vecteur

k T \overset{⇀}{i} (k \in ℤ)

Rappel : Définition et propriétés d'une translation

Exemples.

La fonction $sinus$ est périodique de période $2 π$
Les fonctions "créneau" que l'on trouve en physique, comme celle-ci, de période 1.
La fonction définie par : $f (x) = \sin (3 x) - \cos (2 x)$ . Quelle semble en être la période ?

Exercice 1.

Quelle est la plus petite période des fonctions suivantes, définies de $ℝ$ dans $ℝ$ ?

$f (x) = \sin (2 x)$ , $f (x) = \tan x = \frac{\sin x}{cosx}$ , $f (x) = \sin (\frac{2 x}{3})$ .

Définition. On appelle partie entière du nombre réel

x

l'entier

n \in ℤ

, noté

E (x)

⌊ x ⌋

, ainsi défini :
Pour tout

x

réel, il existe un entier

n \in ℤ

tel que

n \leq x < n + 1

. Par définition, on pose

E (x) = n

.
La partie entière d'un réel

x

est donc le plus grand entier inférieur ou égal à

x

Exercice 2. Montrer que la fonction

f

ℝ

dans

ℝ

définie par

f (x) = x - E (x)

est périodique de période 1.

Translations

Rappel : Définition et propriétés d'une translation

Définitions.

Soit $a$ un réel quelconque, dans un repère orthonormé $(O, \overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{j})$ , l'image de la courbe $C_{f}$ d'une fonction $f$ par une translation de vecteur $a \overset{⇀}{i}$ , est la courbe $C_{f_{1}}$ de la fonction $f_{1}$ définie par :

$\forall x \in ℝ$ , $f_{1} (x) = f (x - a)$
Soit $b$ un réel quelconque, l'image de la courbe $C_{f}$ d'une fonction $f$ par une translation de vecteur $b \overset{⇀}{j}$ , est la courbe $C_{f_{2}}$ de la fonction $f_{2}$ , définie par :
$\forall x \in ℝ$ , $f_{2} (x) = f (x) + b$

Translation horizontale : Changement de $x$ en $x - a$

Soit $a$ un réel, $f$ une fonction et $g$ la fonction définie par $g (x) = f (x - a)$ . Alors la courbe représentative de $g$ s'obtient à partir de celle de $f$ en lui faisant subir une translation de vecteur $a \overset{⇀}{i}$ .

La courbe bleue est la représentation de la fonction définie par

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x

, on a tracé en rouge la représentation graphique de la fonction définie par

g (x) = f (x + 3)

c'est-à-dire pour

a = - 3

Translation verticale

Soit $b$ un réel, $f$ une fonction et $g$ la fonction définie par $g (x) = f (x) + b$ . Alors la courbe représentative de $g$ s'obtient à partir de celle de $f$ en lui faisant subir une translation de vecteur $b \overset{⇀}{j}$ .

Par exemple, en gardant la même fonction

f

que ci dessus, on a tracé en rouge la représentation graphique de la fonction définie par

g (x) = f (x) + 4

Transformations opérant sur une représentation graphique

On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O, \overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{j})$ .

Changement de $x$ en $- x$

Le changement de $x$ en $- x$ dans l'écriture d'une fonction symétrise la représentation graphique de la fonction par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple. La courbe bleue est la représentation de la fonction définie par

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x

, la courbe rouge est la représentation de la fonction définie par

g (x) = - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x

Changement de $f (x)$ en $g (x) = α f (x)$ puis en $h (x) = f (β x)$

On considère la fonction définie par $f (x) = 2 x^{3} - x^{4}$ . Elle est tracée en rouge. En bleu, on a tracé la courbe de la fonction $g$ avec $α = \frac{5}{2}$ . En orange, la courbe de $h$ , avec $β = \frac{1}{2, 4}$ Ces transformations s'appellent des affinités. Elles correspondent à des "dilatations", à partir de la courbe de $f$ , verticalement pour $g$ et horizontalement pour $h$ .

Exercice. Fonctions graphiques
Dans cet exercice, il s'agit , à partir de la représentation graphique d'une fonction définie par

x \to f (x)

, d'identifier les représentations graphiques des fonctions définies par :

$x \to f (- x)$
$x \to - f (x)$
$x \to - f (- x)$

en identifiant les transformations mises en œuvre.

Bibliographie

Livres

F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG, Algèbre 1ère Année (Dunod), chapitre 1
Annick Auzimour et Frédérique Petit, Travaux dirigés d'algèbre (Vuibert).
Anne Denmat et Francis Héaulme, Algèbre générale (Dunod).

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Fonctions, Applications

Sommaire

Fonction (définitions)

Tableau, Diagramme sagittal

Diagramme sagittal

Tableau

Représentation graphique

Fonction définie par des formules

Fonction numérique de variable réelle

À partir de la représentation graphique d'une fonction, on peut retrouver les formules la définissant.

Applications

Restriction d'une fonction.

Image d'une fonction

Image réciproque d'un ensemble par une fonction

Composée de fonctions

Exemples graphiques de composition

Injection

Injection, exemples, exercices

Surjection

Bijection

Exemples graphiques de bijection

Théorèmes sur la bijection

Bijection, bijection réciproque

Fonctions paires

Fonctions impaires

Fonctions périodiques

Translations

Translation horizontale : Changement de x en x−a

Translation verticale

Transformations opérant sur une représentation graphique

Changement de x en −x

Changement de f(x) en g(x)=αf(x) puis en h(x)=f(βx)

Bibliographie

Livres

Cours WIMS

Translation horizontale : Changement de $x$ en $x - a$

Changement de $x$ en $- x$

Changement de $f (x)$ en $g (x) = α f (x)$ puis en $h (x) = f (β x)$