Comment construire des sous-espaces vectoriels

Objectifs

Soit

E

K

-espace vectoriel. Est-ce que

E

possède "peu" ou "beaucoup" de sous-espaces vectoriels ? Y a-t-il toujours un sev contenant un certain nombre de vecteurs donnés ? A-t-on dans

E

l'équivalent des droites et plans de

ℝ^{3}

? A partir de deux (ou plus) sev de

E

peut-on en construire d'autres, par des opérations usuelles sur les ensembles, comme la réunion et l'intersection ?

Guide

Sous-espaces vectoriels engendrés
Droites
Plans
Espaces affines
Exemples de la droite et du plan
Equations paramétriques et équations cartésiennes
Passage des équations cartésiennes aux équations paramétriques
Equations cartésiennes des plans et droites affines
Hyperplans de Kⁿ
Intersection, réunion et somme de sev
Equations de l'intersection et de la somme
Exemple : Intersection d'hyperplans affines
Exercices

Sous-espaces vectoriels engendrés

Proposition et définition : Soient

E

K

-espace vectoriel,

p \in ℕ^{*}

u_{1}, . . ., u_{p}

des vecteurs de

E

L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs $u_{1}, . . ., u_{p}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , noté $Vect (u_{1}, . . ., u_{p})$ et appelé le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par la suite de vecteurs $(u_{1}, . . ., u_{p})$ .
$Vect (u_{1}, . . ., u_{p})$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant l'ensemble des vecteurs $u_{1}, . . ., u_{p}$ .

Exercice :

Combinaison linéaire
Combinaison linéaire 2

Droites

Soit

u_{1} \in E

. Si

u_{1} = 0_{E}

Vect (u_{1}) = {0_{E}}

. Sinon :

Définition : Soit

E

K

-espace vectoriel. Une droite de

E

est un sous-espace vectoriel de

E

engendré par un vecteur non nul. Si

D

est une droite de

E

, il existe

u_{1} \in E, u_{1} \neq 0

, tel que

D = Vect (u_{1}) = {t u_{1}, t \in K} : = K u_{1}

Exercice : Si

D

est une droite d'un K-espace vectoriel

E

, alors tout vecteur non nul de

D

engendre

D

Plans

Soient

u_{1}

u_{2}

dans

E

. Si

u_{1} = u_{2} = 0_{E}

alors

Vect (u_{1}, u_{2}) = {0_{E}}

. Si

u_{2} = α u_{1}

u_{1} = β u_{2}

, où

α, β \in K

, alors

Vect (u_{1}, u_{2})

est une droite. Sinon :

Définition : Soit

E

K

-espace vectoriel.

Deux vecteurs $u_{1}$ et $u_{2}$ de $E$ sont dits colinéaires s'il existe $α \in K$ tel que $u_{2} = α u_{1}$ ou s'il existe $β \in K$ tel que $u_{1} = β u_{2}$ .
Un plan de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ engendré par deux vecteurs non colinéaires.

Exercice :

Les vecteurs $u = (a, c)$ et $v = (b, d)$ de $ℝ^{2}$ sont colinéaires si et seulement si $ad - bc = 0$ (on rappelle que $ad - bc$ est l'aire algébrique du parallélogramme défini par les vecteurs $u$ et $v$ ).
Montrer que si $u$ et $v$ sont deux vecteurs non colinéaires de $ℝ^{2}$ , alors $(u, v)$ est une suite génératrice de $ℝ^{2}$ . En déduire que les seuls sous-espaces vectoriels de $ℝ^{2}$ sont ${0}$ , $ℝ^{2}$ et les droites vectorielles.

Espaces affines

Les droites et plans que nous venons de définir sont des sous-espaces vectoriels de

E

, donc contiennent

0_{E}

, ou, en langage géométrique, passent par l'origine. Parfois on le précise en disant qu'ils sont des droites et plans vectoriels. Nous appellerons droite affine ou plan affine le translaté par un vecteur fixe d'une droite ou plan vectoriels. Plus généralement :

Définition : Soit

E

K

-espace vectoriel. Si

u_{0} \in E

, la translation par le vecteur

u_{0}

est l'application de

E

dans

E

u \mapsto u_{0} + u

. Si

V

est un sous-espace vectoriel de

E

, on dit que

u_{0} + V : = {u_{0} + u, u \in V}

est un sous-espace affine de

E

, dont la direction est

V

Exemples de la droite et du plan

Exemple : Si

u_{1}

est non nul, les équations paramétriques

(𝒫_{D})

de la droite

D = K u_{1}

sont :

(E_{D}) {\begin{matrix} x_{1} = t a_{11} \\ x_{2} = t a_{21} \\ ⋮ \\ x_{n} = t a_{n 1} \end{matrix} t \in K

Exemple : Si

u_{1}

est non nul et si

u_{1}

u_{2}

ne sont pas colinéaires, les équations paramétriques

(E_{P})

du plan

P = Vect (u_{1}, u_{2})

K^{n}

sont

(E_{P}) {\begin{matrix} x_{1} = t a_{11} + s a_{12} \\ x_{2} = t a_{21} + s a_{22} \\ ⋮ \\ x_{n} = t a_{n 1} + s a_{n 2} \end{matrix} t, s \in K

Equations paramétriques et équations cartésiennes

Nous connaissons maintenant deux façons d'obtenir un sev de

K^{n}

L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène

(S)

p

équations,

n

inconnues et à coefficients dans

K

est un sev

F

K^{n}

. On dit alors que

(S)

est un système d'équations cartésiennes de

F

Considérons

p

vecteurs de

K^{n}

u_{1} = (a_{11}, . . ., a_{n 1}), u_{2} = (a_{12}, . . ., a_{n 2}), . . ., u_{p} = (a_{1 p}, . . ., a_{np})

Alors

F = Vect (u_{1}, u_{2}, . . ., u_{p})

est un sous-espace de

K^{n}

, et les coordonnées d'un vecteur quelconque

u = (x_{1}, . . ., x_{n})

F

vérifient les équations suivantes

(E) {\begin{matrix} x_{1} = t_{1} a_{11} + t_{2} a_{12} + . . . + t_{p} a_{1 p} \\ x_{2} = t_{1} a_{21} + t_{2} a_{22} + . . . + t_{p} a_{2 p} \\ ⋮ \\ x_{n} = t_{1} a_{n 1} + t_{2} a_{n 2} + . . . + t_{p} a_{np} \end{matrix}

où

t_{1}, t_{2}, . . . t_{p}

sont des scalaires dans

K

.
On dit alors que

(𝒫)

est un système d'équations paramétriques du sous-espace

F

Passage des équations cartésiennes aux équations paramétriques

Pour passer d'un système

(S)

d'équations cartésiennes d'un sev

F

K^{n}

à un système d'équations paramétriques de

F

on résout le système linéaire

(S)

, qui a

p

équations et

n

inconnues ; si

(S)

est de rang

r

, la solution générale s'écrit en fonction de

n - r

paramètres arbitraires (les inconnues secondaires) et on obtient un système d'équations paramétriques de

F

comportant

n - r

paramètres.

Pour passer d'un système

(E)

d'équations paramétriques d'un sev

F

K^{n}

à un système d'équations cartésiennes de

F

le système d'équations paramétriques de

F

fournit une suite génératrice

(u_{1}, . . ., u_{p})

F

; soit

A \in M_{np} (K)

la matrice dont les vecteurs colonnes sont

u_{1}, . . ., u_{p}

; soient

T = (t_{j})_{1 \leq j \leq p} \in M_{1, p} (K)

X = (x_{i})_{1 \leq i \leq n} \in M_{n, 1} (K)

, on considère le système linéaire

AT = X

; on échelonne le tableau complet de ce système, si on a

r

inconnues principales, on a

n - r

conditions de compatibilité du système

AT = X

; ces

n - r

équations linéaires scalaires (où les inconnues sont les coordonnées

x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}

du vecteur second membre

X

) constituent un système d'équations cartésiennes de

F

Equations cartésiennes des plans et droites affines

Proposition : Si

a

b

c

sont des scalaires dans

K

non tous nuls, alors pour tout

d

dans K l'équation linéaire :

ax + by + cz = d

représente un plan affine

P

K^{3}

;

P

est un plan vectoriel si et seulement si

d = 0

Proposition : Si les vecteurs

(a, b, c)

(a', b', c')

K^{3}

ne sont pas colinéaires, alors pour tous

d

d'

dans K, l'ensemble des solutions du système linéaire :

{\begin{matrix} ax + by + cz = d \\ a' x + b' y + c' z = d' \end{matrix}

est une droite affine

D

K^{3}

;

D

est une droite vectorielle si et seulement si

d = d' = 0

Hyperplans de Kⁿ

Définition : Soient

a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}, b \in K

(a_{1}, . . ., a_{n}) \neq (0, . . ., 0)

, considérons l'équation linéaire scalaire :

a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} = b (1)

L'ensemble

H

des solutions de (2) est un sous-espace affine

H

K^{n}

appelé hyperplan affine , dont (1) est une équation cartésienne et

H

est un hyperplan vectoriel si et seulement si

b = 0

(il admet alors une suite génératrice composée de

n - 1

vecteurs).

Un hyperplan de

K^{2}

est une droite, un hyperplan de

K^{3}

est un plan.

Intersection, réunion et somme de sev

Proposition : Soient

F

G

deux sous-espaces vectoriels du K-espace vectoriel

E

$F \cap G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .
$F \cup G$ n'est pas en général un sous-espace vectoriel de $E$ ; $F \cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $F \subset G$ ou $G \subset F$ .
Le complémentaire $E \ F$ de $F$ dans $E$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$ .

Proposition et définition : Soient

F

G

deux sous-espaces vectoriels du

K

-espace vectoriel

E

. On note :

F + G = {u + v, u \in F et v \in G} = {w \in E ∣ \exists u \in F, \exists v \in G, w = u + v}

Alors

F + G

est un sous-espace vectoriel de

E

, appelé le sous-espace somme de

F

G

. C'est le plus petit sous-espace de

E

contenant

F \cup G

Equations de l'intersection et de la somme

Soient

F

G

deux sev de

K^{n}

. Comment déterminer des systèmes d'équations cartésiennes ou paramétriques de

F \cap G

et de

F + G

Il est immédiat d'écrire un système d'équations cartésiennes de $F \cap G$ , si l'on a des systèmes d'équations cartésiennes $(S_{1})$ de $F$ et $(S_{2})$ de $G$ : la juxtaposition des équations de $(S_{1})$ et de $(S_{2})$ fournit un système d'équations cartésiennes de $F \cap G$ .
Il est immédiat d'écrire un système d'équations paramétriques de $F + G$ , si l'on a des systèmes d'équations paramétriques (ou des suites génératrices) de $F$ et de $G$ : si $(u_{1}, . . ., u_{p})$ engendre $F$ et $(v_{1}, . . ., v_{q})$ engendre $G$ , alors $(u_{1}, . . ., u_{p}, v_{1}, . . ., v_{q})$ engendre $F + G$ .
Dans d'autres cas, soit on se ramène aux deux cas précédents, soit on résout par Gauss un système linéaire adapté au problème.

Exemple : Intersection d'hyperplans affines

L'intersection d'hyperplans affines de

K^{n}

est

soit vide,
soit un sous-espace affine.

L'interprétation géométrique de la résolution d'un système linéaire le montre : les lignes

L_{1}, . . ., L_{p}

d'un système linéaire

(S)

p

équations,

n

inconnues et à coefficients dans

K

, représentent des hyperplans affines

P_{1}, . . ., P_{p}

K^{n}

. L'ensemble des solutions représente donc l'intersection

P_{1} \cap . . . P_{p}

de ces hyperplans affines. Si

(S)

est incompatible, l'intersection est vide, si

(S)

est compatible, l'intersection est un sous-espace affine de

K^{n}

Exercices

Attention : les exercices suivants concernent surtout pour l'instant des espaces affines.

Exercices : Voici quelques exercices de changement de types d'équations :

Droites
Droites
Plan
Plan
Hyperplan
Hyperplan

document : exemples des droites, plans, hyperplans.
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Equations de l'intersection et de la somme

Exemple : Intersection d'hyperplans affines

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