OEF Systèmes linéaires et modélisation
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 25 exercices sur la modélisation
de problèmes divers par l'algèbre linéaire.
Il est possible d'utiliser ces exercices dès l'introduction
de l'algèbre linéaire.
A - Questions de régime
Charlotte consomme chaque jour trois sortes d'aliments A, B et C. Le tableau des quantités en grammes fournis pour 100 g d'aliments se trouve dans le tableau suivant
Quantités fournies pour 100 g d'aliments
Quantités quotidiennes requises
Nutriments
A
B
C
Protéines
Lipides
Hydrates de carbone
Donner le vecteur représentant la quantité de nutriments par unité d'aliment A : en respectant l'ordre du tableau.
Donner le vecteur représentant la quantité de nutriments par unité d'aliment B : en respectant l'ordre du tableau.
Donner le vecteur représentant la quantité de nutriments par unité d'aliment C : en respectant l'ordre du tableau.
Un régime alimentaire demande les quantités de protéines, lipides et hydrates de carbone par jour indiquées dans le tableau (les nombres sont fantaisistes ou presque). On désire calculer les quantités d'aliments A, B et C à consommer par jour pour respecter les quantités conseillés de nutriments e nombre de jours de production de chaque site (on les note
,
, et
).
Ecrire l'équation vectorielle à résoudre :
=
L'équation vectorielle à résoudre est
*
+
*
+
*
=
Résoudre cette équation :
Est-il possible de consommer avec ces aliments la quantité requise ?
Carrefour I
On a en effet
.
Le traffic sur les entrées et les sorties est donné dans le tableau suivant :
u
u
Le traffic minimal correspondant à ce flux d'entrées et de sorties est donné par
Déterminer les matrices
et
telle que
et
.
*
Le traffic sur les entrées et les sorties est donné dans le tableau suivant à compléter
u
u
Trouver la solution de traffic minimale correspondant à ce flux d'entrées et de sorties :
Sur quels tronçons du carrefour
, le flux est-il nul ?
( donner les numéros
)
En fait, le flux sur le tronçon de
vers
est égal à . Donner toutes les valeurs du traffic sur le rond-point.
Carrefour II
Les flux d'entrée et sortie (les
et
) s'expriment linéairement en fonction des flux de circulation sur le carrefour (les
et
) : soit
la matrice correspondante. Vous avez dû constater un certain nombre de faits. Mettez-les en correspondance avec leur interprétation en algèbre linéaire :
A - Centrale thermique
Une centrale thermique brûle deux types de combustibles A et B. Lorsqu'elle brûle 1 tonne de A, elle produit milliards de joules, g de dioxyde de soufre et g de matières polluantes. Lorsqu'elle brûle 1 tonne de B, elle produit milliards de joules, g de dioxyde de soufre et g d'autres matières polluantes.
On met dans un vecteur les quantités de chaleur, de dioxyde de soufre et de matières polluantes dégagés par la centrale.
Écrire ce vecteur comme une combinaison linéaire de deux vecteurs lorsque la centrale consomme
tonnes de A et
tonnes de B.
+
.
Le vecteur des quantités de chaleur, de dioxyde de soufre et de matières polluantes dégagés par la centrale est égal
+
*
lorsque la centrale consomme
tonnes de A et
tonnes de B.
On suppose que sur une certaine période de temps, la centrale a produit milliards de joules, g de dioxyde de soufre.
Déterminez la quantité de chaque type de combustible qu'elle a consommé.
B - Couleur
Dans le système RGB, une couleur est représentée par trois nombres entiers entre 0 et 255 représentant l'intensité respective du rouge, du vert et du bleu.
Dans le petit damier à droite, l'intensité des couleurs
vert et bleu
rouge et bleu
rouge et vert
est la même pour tous les carrés. Par contre celle du varie. Ainsi, les couleurs sont de la forme (
[N,]
[, N]
[, N, ]
).
L'intensité du des petits carrés du bord est indiquée. Calculer l'intensité de des carrés du milieu de manière à ce que chacune soit la moyenne de l'intensité des carrés dont le centre est le plus proche.
Approchez le résultat par des entiers.
Circuits électriques linéaires: calculs
Le dessin représente un circuit électrique formé de "boîtes" représentant un type de circuit avec une entrée et une sortie. La tension et l'intensité sont enregistrés à l'entrée dans le vecteur
et à la sortie dans le vecteur
. Le circuit est linéaire : il existe une matrice
appelée matrice de transfert telle que
= A
.
Circuits électriques linéaires
Le dessin représente un circuit électrique formé de "boîtes" représentant un type de circuit avec une entrée et une sortie. La tension et l'intensité sont enregistrés à l'entrée dans le vecteur
et à la sortie dans le vecteur
. Le circuit est linéaire : il existe une matrice
appelée matrice de transfert telle que
= A
.
Exprimer la matrice de transfert totale en fonction des matrices de transfert de chacun des boîtes :
Circuits électriques linéaires à trouver
Le dessin représente un circuit électrique formé de "boîtes" représentant un type de circuit avec une entrée et une sortie. La tension et l'intensité sont enregistrés à l'entrée dans le vecteur
et à la sortie dans le vecteur
. Le circuit est linéaire : il existe une matrice
appelée matrice de transfert telle que
= A
. On désire construire un circuit en échelle de matrice de transfert
.
Donner les valeurs des résistances qui conviennent
Interpolation de Lagrange I (3 points)
On désire interpoler ces points par une fonction continue, c'est-à-dire trouver une fonction
donnant la masse volumique en fonction de la température.
Interpolation par des segments de droite.
On commence par relier les points par des segments.
Donner les expressions de la fonction d'interpolation dans les deux intervalles
Interpolation de Lagrange.
On préférerait avoir une courbe plus lisse, c'est-à-dire par exemple dérivable. Pour cela, on interpole les points à l'aide d'une fonction polynôme
sur l'intervalle [0,].
.
Écrire le système linéaire que vérifient les coefficients de
.
= 0
= 0
= 0
La matrice du système est en effet
.
Interpolation de Lagrange II (3 points)
Donner la valeur de la masse volumique en
.
Interpolation de Lagrange I (4 points)
Temps
Vitesse
Interpolation par des segments de droite :
On commence par relier les points par des segments.
Donner les expressions de la fonction d'interpolation dans les trois intervalles
Interpolation de Lagrange :
On préférerait avoir une courbe plus lisse, c'est-à-dire par exemple dérivable. Pour cela, on interpole les points à l'aide d'une fonction polynôme
sur l'intervalle [0,].
.
Écrire le système linéaire que vérifient les coefficients de
.
= 0
= 0
= 0
= 0
La matrice du système est en effet
.
Interpolation de Lagrange II (4 points)
Temps
Vitesse
Donner la valeur de la vitesse en
Économie 1
L'économie d'un pays est divisée en plusieurs secteurs. On s'intéresse aux flux de sortie de chaque secteur ainsi que les flux d'échanges entre secteurs. Chaque entrée ou sortie se compte en une unité monétaire. On cherche s'il existe un prix d'équilibre à attribuer à chaque sortie totale de chaque secteur de manière à ce que la recette de chaque secteur compense exactement ses dépenses.
Le pays choisi est très simple car il a une économie à 3 secteurs A, B et C. Le secteur A vend % de sa production au secteur B, % au secteur C et utilise le reste. Le secteur B vend % de sa production au secteur A, % au secteur C et utilise le reste. Le secteur C vend % de sa production au secteur A, % au secteur B et utilise le reste.
Construire le tableau des échanges entre les trois secteurs.
Distribution des sorties de
Vers
A
B
C
A
B
C
Écrire la matrice du système linéaire qui a comme solution les prix tels que les recettes de chaque secteur compensent les dépenses.
On fixe le prix de la sortie du secteur à unités. Donner les prix des sorties d'équilibre des secteurs et .
Lettres : trouver la matrice
Séparer les éléments d'une ligne par des virgules.
Lettres : trouver l'image
Séparer les éléments d'une ligne par des virgules.
La matrice des vecteurs colonnes représentant les points permettant de dessiner la lettre suivante est
On applique à la lettre l'application linéaire de matrice
.
Lettres modifiées et matrices
On a appliqué au dessin de la lettre trois applications linéaires.
Vous devez mettre en correspondance les matrices et le résultat
Des matrices aux vecteurs
On désire écrire l'équation matricielle suivante
sous forme symbolique comme équation vectorielle :
avec
.
Le nombre de vecteurs est
On a
=
+
j
Consigne : on écrira les vecteurs
dans l'ordre où ils se présentent.
A - Problèmes de production
Donner le vecteur représentant la production du site 1 en respectant l'ordre de l'énoncé.
Donner le vecteur représentant la production du site 2 en respectant l'ordre de l'énoncé.
jours
On désire calculer le nombre de jours de production de chaque site (notés
et
) pour produire exactement tonnes de produit A et tonnes de produit B.
Écrire l'équation vectorielle
dont la solution est le nombre de jours de production nécessaires pour le site 1 et pour le site 2 pour cette demande.
Résoudre l'équation vectorielle :
revient à calculer le nombre de jours de production nécessaires pour le site 1 et pour le site 2 pour pouvoir satisfaire la demande.
Interpolation par spline cubique (I)
Temps
Vitesse
0
Écrire les coefficients du système linéaire que vérifient les coefficients
des deux polynômes cubiques
,
.
La matrice du système est en effet
Résoudre le système et donner les polynômes solution :
Interpolation par spline cubique (II)
Temps
Vitesse
Écrire les coefficients du système linéaire que vérifient les coefficients
des trois polynômes cubiques
,
,
.
La matrice du système est en effet
Résoudre le système et donner les polynômes solution :
sur
sur
sur
Interpolation par des splines cubiques
Vous devez appliquer la méthode d'interpolation des splines cubiques à points. Combien d'indéterminées avez-vous et combien de conditions devez-vous écrire ?
conditions à rajouter pour avoir un système linéaire ayant autant d'équations que d'inconnues.
Interpolation : Comparaison (I)
Temps
Vitesse
0
Donner la vitesse en
si l'on utilise une
Pour l'interpolation par des splines, on imposera la dérivée seconde nulle aux extrémités.
Interpolation : Comparaison (II)
Temps
Vitesse
Donner la vitesse en
si l'on utilise une
Pour l'interpolation par des splines, on imposera la dérivée seconde nulle aux extrémités.
Des vecteurs aux matrices
Écrire l'équation vectorielle :
=
+
sous forme d'une équation matricielle
Consigne : on écrira les vecteurs dans l'ordre où ils se présentent.
B - Températures
On considère le problème de transfert thermique suivant : les conditions de température aux bords d'une plaque mince sont fixées et on désire déterminer la température d'équilibre. A l'équilibre, la température en un point
est la moyenne des températures sur un cercle de centre
contenu dans la plaque.
Pour simplifier, on a discrétisé le problème en introduisant un maillage comme sur le dessin et on ne regarde la température qu'aux noeuds. On admet alors qu'en état d'équilibre thermique, la température en un noeud est (à peu près) la moyenne des températures aux quatre noeuds les plus proches.
Calculer le vecteur des températures
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, le flux est-il nul ?
( donner les numéros
)