OEF 定积分 --- 介绍 ---

这个模块目前包含 18 个关于单变量定积分的理论与计算的练习.

还有其它关于定积分应用的模块: OEF 几何积分 以及 OEF 物理积分.

改变积分限 I

设 是一个函数满足

计算函数

.

改变积分限 Ib

设 是一个函数满足 . 计算函数

.

改变积分限 II

设 是一个函数满足 计算函数

.

换元 I

设 是连续函数. 为了对定积分作如下的变量替换, 和 应该取什么值?

换元 II

设 是连续函数. 为了对定积分作如下的变量替换, 和 应该取什么值?

函数与导数 I

有可微函数 , 满足 与 . 值 是什么 ?

你的回答的精度至少是 1/10000.

函数与导数 II

有可微函数 , 满足

与 . 值 是什么 ?

你的回答的精度至少是 1/10000.

函数与导数 III

设有可微函数 满足 , 其中 是常数. 已知

与 ,

的值是什么 ?

你的回答的精度至少是 1/10000.

数值积分

计算积分

达到精度 0.01 %.

逆多项式

函数 在区间 上是连续且严格单调的 (验证), 其中 , . 于是有定义在区间 上的逆函数 . 计算积分

提示. 对于连续双射函数 , 有

.

用定积分算极限 I

利用定积分计算以下极限:

用定积分算极限 II

利用定积分计算以下极限:

用定积分算极限 III

利用定积分计算以下极限:

函数平均值

计算函数 在区间 [,] 上的平均值.

正负性 II

假设有两个定义在区间 [0,1] 上的连续函数 和 , 使得 . 在以下有关函数 和 的性质中, 确定你认为的性质.

正负性

假设有定义在区间 [0,1] 上的连续函数 , 使得 . 在以下有关函数 的性质中, 确定你认为的性质.

定积分与面积 1

计算

.

已知 = . 下面是函数 的图形 :

xrange -2, yrange , hline 0,0,black vline 0,0,black line 0,,1,,yellow trange 0, plot black,t, trange -2, line 1,,1,,black dline 1,,1,,black line 0,,0,,black text black,-0.2,-0.2,medium,0 text black,0.6,-0.2,medium,1 gridfill ,*4/5,5,5, gridfill /2,*4/5,5,5, transparent yellow

完成以下结论 :

标出区域的面积代表当 趋于 时 的

标出区域的面积代表当 趋于 时 的

计算当 to +infty 与当 to 0 时 的极限.

约定 : 输入时用 inf 代表 +infty, 用 -inf 代表 - infty ; 如果极限不存在, 则回答 "no".

定积分与面积 2

Soit . 计算 .

已知 . 由 定义的函数 的图像如下 :

xrange -0.2,4*pi yrange -*5/4,*5/4 hline 0,0,black vline 0,0,black plot black, gridfill pi/2,*4/5,10,10,blue gridfill 3*pi/2,*4/5,10,10,blue gridfill 5*pi/2,*4/5,10,10,blue gridfill 7*pi/2,*4/5,10,10,blue

计算 .

约定 : 如果极限不存在, 回答 no; 如果极限是无穷大, 回答 inf.

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