Le planimètre

Présentation

Le planimètre polaire est un appareil qui permet de mesurer des surfaces planes pouvant être irrégulières en dessinant le contour du bord. La justification se fait en utilisant la formule de Green-Riemann. Il a été inventé en 1854 par un mathématicien suisse Jacob Amsler. Il peut être adapté pour calculer des coefficients de Fourier ou des moments d'inertie. La justification mathématique s'appuie sur le théorème de Green qui date de 1846.

La justification mathématique

Interprétation du nombre de tours
Théorème de Green

Un site sur le planimètre

Description du planimètre

Le planimètre polaire est un appareil qui permet de mesurer des surfaces planes.
Un planimètre est formé de deux barres

T

S

de même longueur liés par une articulation

A

(en bleu sur le dessin). L'extrémité noire

O

T

est fixe tandis que la deuxième extrémité rouge

M

S

(la pointe du planimètre) est libre de se déplacer. On met d'autre part sur le bras

S

une roue d'axe

S

rouge sur le dessin.
Si maintenant on fait parcourir à la pointe

M

du planimètre une courbe fermée

C

sans points doubles, on a la propriété suivante :

Théorème.

Lorsqu'on fait parcourir à la pointe du planimètre une courbe fermée

C

sans points doubles, le nombre de tours que fait la roue est proportionnel à l'aire du domaine délimité par

C

Il suffit donc d'étalonner d'abord le planimètre en prenant comme courbe un carré de côté 1 pour pouvoir mesurer l'aire d'une surface plane sur une carte.

Dessin animé

Voici un exemple de courbe parcourue par un planimètre. Vous pouvez en changer en cliquant sur l'étoile.

Interprétation du nombre de tours

D'abord, pour un point

M

atteignable par le planimètre, il n'y a une seule position possible pour que l'extrémité mobile soit en

M

à condition d'imposer que l'angle entre les deux bras

T

S

soit inférieur à

π

Par le calcul : Si

M = (x, y)

, le point

A

de l'articulation est de coordonnées

{\begin{matrix} a & = & \frac{x}{2} + \frac{y}{2} \sqrt{\frac{4 r^{2} - (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}} \\ b & = & \frac{y}{2} - \frac{x}{2} \sqrt{\frac{4 r^{2} - (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}} \end{matrix}

avec

r

la longueur des deux bras.

On introduit le champ de vecteurs

F

qui associe en chaque point

M

du plan atteint par l'extrémité

M

du planimètre le vecteur unitaire perpendiculaire au bras

S

et tel que

(\overset{⇀}{AM}, F (M))

est direct.

Théorème

L'intégrale curviligne du champ

F

le long d'une courbe

C

est proportionnelle au nombre de tours que fait la roue lorsque la pointe se déplace le long de la courbe.

Lorsque

M

se déplace dans la direction du bras

S

, comme l'axe de la roue est

S

, la roue ne tourne pas. Par contre lorsque

M

se déplace perpendiculairement au bras

S

, le nombre de tours de la roue est proportionnel à la longueur qu'elle parcourt. En général, le nombre de tours dans un déplacement

\overset{⇀}{d M}

est proportionnel au produit scalaire du déplacement

\overset{⇀}{d M}

avec

F (M)

, qui est aussi la longueur algébrique de la projection de

\overset{⇀}{d M}

sur

F (M)

. Si la pointe

M

décrit une courbe

C

, le nombre de tours est donc proportionnel à l'intégrale curviligne de

F

le long de la courbe

C

Ainsi, on désire relier une intégrale curviligne et une aire. Le théorème de Green est fait pour ça.

Théorème de Green

Théorème.

Soit

C

une courbe fermée sans points doubles, bord d'un domaine

D

, bien orientée. Alors

{\begin{array}{c} \int \end{array} \begin{array}{c} \int \end{array}}_{D} rot (F) d x d y = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C} \overset{⇀}{F (M)} \cdot \overset{⇀}{d M}

Pour appliquer ce théorème nous allons montrer que

Théorème.

Le rotationnel du champ

F

est constant et égal à

\frac{1}{r}

Démonstration

Soit

(x, y)

les coordonnées du point

M

(a (x, y), b (x, y))

les coordonnées du point

B

. Le champ

F

a comme composantes

(P (x, y), Q (x, y)) = (- \frac{1}{r} (y - b (x, y)), x - \frac{1}{r} a (x, y))

avec

r = \sqrt{{(x - a (x, y))}^{2} + {(y - b (x, y))}^{2}}

la longueur constante des deux bras. On doit donc calculer

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{r} (1 - \frac{\partial a}{\partial x}) + \frac{1}{r} (1 - \frac{\partial b}{\partial y})

\frac{1}{r} (2 - \frac{\partial a}{\partial x} - \frac{\partial b}{\partial y})

Écrivons que les deux bras sont de longueur

r

a^{2} + b^{2} = r^{2}

(x - a (x, y))^{2} + (y - b (x, y))^{2} = r^{2}

Donc en différentiant

{\begin{matrix} a \frac{\partial a}{\partial x} + b \frac{\partial b}{\partial x} & = & 0 \\ (x - a) (1 - \frac{\partial a}{\partial x}) - (y - b) \frac{\partial b}{\partial x} & = & 0 \end{matrix}

c'est-à-dire

{\begin{matrix} a & \frac{\partial a}{\partial x} & + & b & \frac{\partial b}{\partial x} & = & 0 \\ (x - a) & \frac{\partial a}{\partial x} & + & (y - b) & \frac{\partial b}{\partial x} & = & x - a \end{matrix}

En voyant ces équations comme un système linéaire en

\frac{\partial a}{\partial x}

\frac{\partial b}{\partial x}

, on trouve

\frac{\partial a}{\partial x} = - \frac{b (x - a)}{ay - bx}

De même,

\frac{\partial b}{\partial y} = - \frac{a (y - b)}{bx - ay}

Enfin,

\frac{\partial a}{\partial x} + \frac{\partial b}{\partial y} = 1

Donc,

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C} \overset{⇀}{F (M)} \cdot \overset{⇀}{d M}

qui est proportionnel au nombre de tours qu'a fait la roue lorsque la pointe du planimètre a parcouru toute la courbe est aussi proportionnel à l'aire de la surface délimitée par

C

fonctionnement du planimètre et formule de Green.
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