OEF Equations aux dérivées partielles --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 3 exercices sur quelques équations aux dérivées partielles.

EDP et série de Fourier

Soit . On considère l'équation aux dérivées partielles
où est une fonction de dans mapsto .

On développe la solution cherchée en série de Fourier par rapport à Quelle est l'équation différentielle vérifiée par les fonctions et ?

On l'écrira en utilisant pour la fonction, par exemple, .

Quelle est la solution générale de cette équation qui vaut 1 en 0 ?

Ainsi,

avec et des réels.

On suppose que la condition initiale est . Exprimer et comme des intégrales :

EDP : équation de la chaleur

On veut déterminer la distribution des températures d'une tige homogène de longueur (ainsi, l'abscisse d'un point de la tige est comprise entre 0 et ). Les conditions imposées aux extrémités sont pour
On admet que vérifie l'équation aux dérivées partielles
On prolonge la solution mapsto en une fonction sur l'intervalle [ , ] puis par périodicité. Enfin, on développe la solution cherchée en série de Fourier par rapport à Quelle est l'équation différentielle vérifiée par les fonctions (on l'écrira en utilisant pour la fonction, par exemple, ) ?

Quelle est la solution générale de cette équation qui vaut 1 en 0 ?

Ainsi, pour compris entre 0 et ,
avec des réels.

Soit la fonction définie par pour . On suppose qu'en , on a . Que peut-on dire de l'ordre des Calculer et .

EDP : équation des ondes

Soit mapsto la fonction décrivant le mouvement d'une corde vibrante de longueur fixée aux extrémités (ainsi, l'abscisse d'un point de la corde est comprise entre 0 et ) :
On suppose qu'au temps ,
où est la fonction définie par entre 0 et . On admet que vérifie l'équation aux dérivées partielles
En prolongeant la solution en une fonction impaire sur l'intervalle [- , ], puis par périodicité et en développant la solution cherchée en série de Fourier par rapport à , on obtient une expression de la forme
Quelle est l'équation différentielle vérifiée par les fonctions (on l'écrira en utilisant pour la fonction, par exemple, ) ?
Si
,
la fonction vérifie l'équation différentielle du second ordre :
Ainsi, pour compris entre 0 et ,

avec des réels. Si sont les coefficients de Fourier de dans le développement en sinus, on a
Calculer , et .
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