OEF 多变量函数 --- 介绍 ---

本模块目前包含 13 个关于多变量函数导数的练习.

线性近似

设 是 上的实函数, 定义为
.
求 在 . 如果不存在, 则回答 no .

线性近似 2

设 是 上的实函数, 定义为
.
求 在 的线性近似.

数量场 2D

的点 处的构成一个数量场, 设它由 确定. 计算点 (,) 处的 . 取常数 时的等值线方程是什么 ? 时

方向导数

设 是两个变量的 C1 实函数, 和 是 里的两个实向量, 定义为
.

如果你知道了 在 点的两个方向 和 上的方向导数 和 , 能否计算 在 的其它方向的方向导数 ? 设 是向量 w=(, ). 计算 沿方向 的导数, 如果已知
其中 .
你说得对, 这是不可能的, 因为向量 和 共线.
是否可能有 , 其中 ?

偏导数的复合 I

设 是 上的两个变量 与 的实函数, 是 上由下式定义的实函数
.
计算 关于 的偏导数.
(x,y)= ( , ) + ( , )

偏导数 1

计算定义为 的函数 的偏导数.

偏导数 2

计算定义为 的函数 的 .

偏导数的复合 II

设 是 上的两个变量 与 的实函数, 是 上由下式定义的实函数
.

计算 关于 的二阶导数.
(x,y)= ( , ) + ( )
+ ( ) + ( )
+ ( ) (x,y)= ( ) ( ) + ( , )
+ ( ) ( ) + ( ) ( )
+ ( ) (x,y)= ( ) + ( ) ( )
+ ( , ) + ( ) ( )
+ ( )

Taylor 公式 (1)

设 是 上的 实函数. 写出在点 的 1 阶 Taylor- 公式.

如有必要, 是一个适当的点使得 , , 是一个当 趋于 与 趋于 时也趋于 0 的函数.

点击阴影区域下方的符号或项就能将其写入回答栏, 右方的叉用于全部清除, 向左的箭头用于删除最近写入的符号. 在写回答时, 请按标准顺序写出各项, 不要别出心裁乱排 ! 事实上, 点 的 1 阶 Taylor- 公式可写成
其中 是一个当 趋于 与 趋于 时也趋于 0 的函数 其中 是一个适当的点使得 ,

假设

对所有满足 , 的 .

利用这些信息, 上述 Taylor 公式能否用来给出 的上界, 其中 , ? 如果可以, 请写出从已知数据能得到的最好上界. 否则, 回答 no.

Taylor 公式 (2)

设 是 上的 实函数. 写出在点 的 2 阶 Taylor- 公式. (如有必要, 是一个适当的点使得 , , 是一个当 趋于 与 趋于 时也趋于 0 的函数):
点击阴影区域下方的符号或项就能将其写入回答栏, 右方的叉用于全部清除, 向左的箭头用于删除最近写入的符号. 在写回答时, 请按标准顺序写出各项, 不要别出心裁乱排 ! 事实上, 点 的 2 阶 Taylor- 公式可写成

其中 是一个当 趋于 与 趋于 时也趋于 0 的函数 其中 是一个适当的点使得 ,

设 是如下定义的仿射函数

假设
对所有满足 , 的 .

利用这些信息, 上述 Taylor 公式能否用来给出 的上界, 其中 , ? 如果可以, 请写出从已知数据能得到的最好上界. 否则, 回答 no.

盒子的变化 I

一个盒子的宽度 , 长度 和高度 都随着时间而变化. 在某一给定时刻, 其度量为 cm, cm, cm, 并且宽度 按比值 cm/s , 长度 按比值 cm/s , 高度 按比值 cm/s .

求在此时刻的增长速度. (要写出单位)

盒子的变化 II

一个盒子的宽度 , 长度 和高度 都随着时间而变化. 在某一给定时刻, 其度量为 cm, cm, cm, 并且宽度 按比值 cm/s , 长度 按比值 cm/s , 高度 按比值 cm/s .

求在此时刻的增长速度. (要写出单位)

电阻变化 I

在一个电子电路里并联了 3 个电阻 , 与 . 这 3 个电阻随时间而变化. 在某一时刻 , 它们的阻值为 , 与 欧姆. 设 是反映它们的等价电阻随时间变化的函数.

给出 在 的导数公式 :

= + +

我们有
= + +

在 , 按比值 ohms/s , 按比值 ohms/s , 按比值 ohms/s . 计算在此时刻等价电阻的增长速度. (要写出单位)

此练习分成几步.

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