Ce module regroupe pour l'instant 8 exercices sur les champs de vecteurs et
la formule de Green (dimension 2).
Centre géométrique
On considère la plaque convexe
dont le bord est formé par un segment de
à
, un quart de cercle de
à
centré en 0 puis un arc de parabole de
vers
d'équation
. En utilisant le théorème de Green, calculer
l'aire de
les coordonnées du centre géométrique
de
.
xrange , yrange -0.5, linewidth 3 segment ,, green arc 0, 0,2*,2*,0,90,green trange 0, plot green, , t filltoborder 0,/2,green,grey linewidth 1 arrow 0,0, 0,\My,10,black arrow 0,0, \Mx,0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black text black, 0,0, medium, A text black, ,0, medium, B text black, 0,, medium, C
Champ, rotationnel
Soit
,
et
trois fonctions non nulles
de
dans
et soit
le champ sur
défini par
.
Le rotationnel de
est nul si
est
.
Supposons maintenant que
est et supposons qu'on a le tableau de valeurs suivant :
Calculer la circulation de
le long d'une courbe
allant du point
au point
.
Connexité, convexité, simple connexité
Le domaine
défini par les équations
et
est
.
Donner la réponse la plus précise.
En effet, le domaine
défini par les équations
et
est .
Est-il aussi simplement connexe ?
Donner le centre et le rayon d'un cercle contenu dans
qui entoure un domaine non entièrement contenu dans
et qui prouve donc que
n'est pas simplement connexe.
Donner deux points de
extrémités d'un segment non entièrement contenu dans
puis un point du segment qui n'est pas dans
(ce qui prouvera que
n'est pas convexe).
On donnera la liste des coordonnées séparées par des virgules.
Courbes et théorème de Green
On considère la courbe suivante tracée en vert :
xrange -3.5,4.5 yrange -3.5,4.5 trange 0,2*pi linewidth 3 plot green, plot green, fill -1,0, fill 0,0, text black,,,large, A disk ,,4, navy text black,,,large, B disk ,,4, navy
Le domaine qu'elle entoure est le domaine
.
Les courbes sont d'équation
pour
[
] et
pour
[0,
]. Calculer pour chacun des morceaux de la courbe le vecteur unitaire tangent à la courbe au point de paramètre
donnant l'orientation demandée par le théorème de Green.
Théorème de Green
Soit
et
le champ vectoriel défini par
. Considérons le raisonnement suivant :
On peut calculer l'intégrale curviligne du champ
le long de la courbe
à l'aide du théorème de Green et remplacer ainsi cette intégrale par une intégrale double.
Ce raisonnement est-il juste ?
On a donc la formule
Le raisonnement est en effet faux. Pourquoi ? On prendra en priorité les raisons concernant la courbe et le domaine.
n'est pas fermée et on ne peut donc pas définir de domaine
bordé par la courbe orientée
.
soit fermée et bien orientée, le champ F n'est pas défini sur le domaine bordé par
.
est non nul.
intérieur de
n'est pas simplement connexe (c'est-à-dire "a un trou").
est mal orientée.
Intégrales curvilignes (Green-parabole)
En utilisant le théorème de Green, calculer l'intégrale curviligne
le long de la courbe
orientée dans le sens positif et qui est le bord de la région
enfermée entre la parabole d'équation
et la droite d'équation
.
On a
.
.
xrange , yrange , linewidth 3 segment -(),, ,, green trange -(), plot green , t, fill 0,,grey linewidth 1 arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1,0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black hline 0,, black
Intégrales curvilignes (Green-rectangle)
En utilisant le théorème de Green, calculer l'intégrale curviligne
le long de la courbe
orientée dans le sens positif et formée du rectangle de sommets
,
,
et
Après le sommet
,
.
Si
est l'intérieur du rectangle, on a
.
.
xrange , yrange , fpoly grey, 0,0,,0, ,,0,, 0,0 linewidth 3 polygon green, 0,0,,0, ,,0,, 0,0 linewidth 1 arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1,0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black text black, 0,0,medium, O text black, ,0,medium, A text black, 0, ,medium, B text black, ,,medium, C
Intégrales curvilignes (Green-triangle)
En utilisant le théorème de Green, calculer l'intégrale curviligne
le long de la courbe
orientée dans le sens positif où
est le triangle de sommets
,
et
est
.
Si
est l'intérieur du triangle, on a
.
.
xrange , yrange , arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1,0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black fpoly grey, 0,0,,0, ,, 0,0 linewidth 3 polygon green, 0,0,,0, ,, 0,0 text black, 0,0,medium, O text black, ,0,medium, A text black, , ,medium, B
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