Calcul numérique des zéros d'une fonction --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 6 exercices sur les différentes méthodes de calcul numérique des zéros ou des points fixes d'une fonction.

Méthode de la bissection

Peut-on appliquer la méthode de la bissection pour le calcul numérique des zéros de la fonction définie par

dans l'intervalle et dont le graphe est le suivant:

xrange -1, +1 yrange -3, +3 vline 0,0,black hline 0,0,black vline pi,0,red vline -pi/2,0,red parallel -0.1,0,0.1,0,0,1,20,black parallel -0.1,0,0.1,0,0,-1,20,black parallel 0,-0.1,0,0.1,1,0,20,black parallel 0,-0.1,0,0.1,-1,0,20,black text black,-1.75,-0.1,small,- copy -pi/2,-0.1,-1,-1,-1,-1,mathfonts/109/pi.gif text black,-1.3,-0.1,small,/2 copy pi,-0.1,-1,-1,-1,-1,mathfonts/109/pi.gif plot blue,

Méthode de Lagrange

On considère la fonction définie par . On veut approcher la racine positive de par la méthode de Lagrange. On note la suite itérée correspondante ayant comme premiers termes
et .

  1. Donner la relation de récurrence en exprimant en fonction de et où , et .
  2. Calculer = et = .
  3. Donner l'indice = du terme de la suite qui approche à près.
  4. Donner une approximation de la racine de à près : .

Méthode de Newton

Pour calculer la solution de dans [0, 10] par la méthode de Newton, on définit une suite . Donner l'expression de que l'on utilise :

Point fixe douteux

On considère la fonction définie par dont le graphe est:

Le point fixe O de est .

Méthode de point fixe

  1. Cochez les fonctions qui admettent un point fixe :
  2. La fonction définie par
    admet zéro(s) dans [0,1].
  3. Cochez la fonction qu'on peut utiliser pour calculer par la méthode du point fixe le(s) zéro(s) de
  6. On utilise la méthode de bissection sur [0, 1] pour calculer les zéros de (f). Cocher le nombre d'itérations necessaires pour calculer le(s) zéro(s) de avec une tolérance .

Type d'un point fixe

On considère la fonction dont le graphe est représenté ici :

Remplir les cases suivantes:
  1. La fonction admet point(s) fixe(s).
  2. Le point fixe O de est .
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