Paquet d'exercices pour le L1-MASS --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 24 exercices de mathématiques, développés à l'intention des étudiants du L1-MASS de la faculté des sciences de l'université de Nice.
Ces exercices sont utilisés aussi bien en séance notée qu'en séance de tutorat.

Vos commentaires et suggestions sont les bienvenus.

Approximation - fonction de Cobb-Douglas

(Cet exercice comporte deux questions auquelles on répond étape par étape)

On considère la fonction f définie au voisinage de (x0,y0)=(,) par

Etape 1: Ecrire, au voisinage de (,), en fonction de h et k, l'approximation affine de f(+h,+k).
Etape 2: Vous avez trouvé à l'étape 1 que l'approximation affine de f(+h,+k) est .
Utiliser ce résultat pour calculer l'approximation affine de f(,)
L'approximation affine de f au voisinage de (,) est . L'approximation affine de f(,) est .

Approximation linéaire - Exemple simple

Calculez la valeur approchée obtenue par une approximation linéaire de:
Votre réponse:

Approximation - fonction log


(Cet exercice comporte deux questions auquelles on répond étape par étape)

On considère la fonction f définie au voisinage de (x0,y0)=(,) par

Etape 1: Ecrire, au voisinage de (,), en fonction de h et k, l'approximation affine de f(+h,+k).
Etape 2: Vous avez trouvé à l'étape 1 que l'approximation affine de f(+h,+k) est .
Utiliser ce résultat pour calculer l'approximation affine de f(,)
L'approximation affine de f au voisinage de (,) est . L'approximation affine de f(,) est .

Approximation - fonction quadratique


(Cet exercice comporte deux questions auquelles on répond étape par étape)

On considère la fonction f définie au voisinage de (x0,y0)=(,) par

Etape 1: Ecrire, au voisinage de (,), en fonction de h et k, l'approximation affine de f(+h,+k).
Etape 2: Vous avez trouvé à l'étape 1 que l'approximation affine de f(+h,+k) est .
Utiliser ce résultat pour calculer l'approximation affine de f(,)
L'approximation affine de f au voisinage de (,) est . L'approximation affine de f(,) est .

Utilité - Un bien pour un autre


(En trois étapes: on calcule un certain nombre d'unités que l'on est prêt à céder, ensuite on calcule un TMS)

Ma fonction d'utilité pour les biens 1 et 2 est:

où x1, x2 représentent les quantités respectives des biens 1 et 2.

Je consomme unités de bien 1 et unités de bien 2. A combien d'unités de bien 1 suis-je prêt(e) à renoncer pour obtenir une unité supplémentaire de bien 2 (sans changer le niveau d'utilité)?
Rappel: Quand je consommais unités de bien 1 et unités de bien 2, j'étais prêt(e) à renoncer à unités de bien 1 pour obtenir une unité supplémentaire de bien 2 (sans changer le niveau d'utilité).
Maintenant je consomme unités de bien 1 et unités de bien 2. Je suis prêt à céder une unité du bien 1, à condition de garder mon niveau d'utilité. Combien d'unités du bien 2 faut-il alors me proposer? En utilisant les formules du cours, calculer le TMS (taux marginal de substitution du bien 2 au bien 1) en les points (,) et (,).

Je suis prêt(e) à renoncer à   unités de bien 1. Il faut me proposer   unités de bien 2 pour que je garde mon niveau d'utilité.
Le TMS au point (,) est Le TMS au point (,) est

Domaine ln, racine: f(x,y)

On considère la fonction de deux variables f donnée par la formule

.
Dans la liste des zones coloriées ci-dessous, indiquez celle correspondant au domaine de définition de f.


           
           

Domaine et dérivées partielles: f(x,y)


(En deux étapes: dans la première étape on calcule le domaine de définition et dans la seconde on calcule les dérivées partielles)

On considère la fonction de deux variables f donnée par la formule

.
Dans la liste des zones coloriées ci-dessous, indiquez celle correspondant au domaine de définition de f.


           
           

La fonction de deux variables f donnée par la formule

.
a pour domaine de définition la zone coloriée ci-dessous.

Calculer les dérivées partielles de f:
(   )

Concavité - ln + quadra

On considère la fonction de deux variables f définie au voisinage du point (,) par

Calculer f(,), la matrice hessienne de f au point (,) et étudier la concavité de f en ce point.
On a f(,)=
La matrice hessienne de f:
La concavité de f  :

Concavité - fonction quadratique

On considère la fonction de deux variables f définie par

Calculer la matrice hessienne de f et étudier la concavité de f sur R2.
La matrice hessienne de f:
La concavité de f  :

TMS au point d'équilibre


(En deux étapes: on calcule une contrainte budgétaire, ensuite on calcule un TMS en utilisant la formule du cours)

Un consommateur dispose d'un budget de euros qu'il épuise dans l'achat de deux biens: X et Y. Les préférences du consommateur sont représentées par la fonction d'utilité U(x,y)=x(y+) où x, y représentent les quantités respectives des biens X et Y. Les prix unitaires respectifs en euros des biens X et Y sont PX= et PY=.

Etape 1: Déterminer la contrainte budgétaire du consommateur.
Etape 2: Calculer le point d'équilibre (point d'utilité maximale pour ce budget) du consommateur et calculer le TMS (taux marginal de substitution du bien Y au bien X) en ce point d'équilibre. (Rappel: la contrainte budgétaire équivaut à y=)

La contrainte budgétaire du consommateur est:
Le point d'équilibre (x0,y0) du consommateur est: (x0,y0)=( , ) Le TMS pour ce point d'équilibre est:

Elasticité relative -fonction demande-


(Cet exercice comporte trois questions auquelles on répond étape par étape)

Soit Q la fonction de demande donnée par la formule:

où P est le prix et R le revenu.

Etape 1: Pour un revenu fixe R0=, lorsque le prix passe de P à (P+ΔP), la demande passe de Q à (Q+ΔQ). Calculer ΔQ lorsque ΔP= .
Etape 2:

A l'étape 1, on a vu que pour un revenu fixe R0=, lorsque le prix passe de P à (P+ΔP), où ΔP= , la demande passe de Q à (Q+ΔQ), avec ΔQ=.

Maintenant, pour un prix fixe P0=, lorsque le revenu passe de R à (R+ΔR), la demande passe de Q à (Q+ΔQ). Calculer ΔQ lorsque ΔR= .
Etape 3:

On a vu que pour un revenu fixe R0=, lorsque le prix passe de P à (P+()), la demande passe de Q à (Q+()). De même, pour un prix fixe P0=, lorsque le revenu passe de R à (R+()), la demande passe de Q à (Q+()).

Pour P= et R=, calculer:
  • l'élasticité e(Q,P) de la demande par rapport au prix
  • l'élasticité e(Q,R) de la demande par rapport au revenu

A revenu fixe, pour ΔP= on a ΔQ= . A prix fixe, pour ΔR= on a ΔQ= .
  • élasticité de Q par rapport à P:
  • élasticité de Q par rapport à R:

Elasticité d'une demande affine


(Cet exercice comporte deux questions indépendantes auquelles on répond l'une après l'autre)

Soit Q la fonction de demande donnée par la formule:

Etape 1: Lorsque le prix passe de P à (P+ΔP), la demande passe de Q à (Q+ΔQ). Calculer ΔQ lorsque ΔP= .
Etape 2: Calculer l'élasticité de la demande lorsque P=.

Pour ΔP= on a ΔQ= . L'élasticité de la fonction Q en est eQ()= .

Domaine de définition -f(x,y)-

On considère la fonction de deux variables f donnée par la formule

.
Dans la liste des zones coloriées ci-dessous, indiquez celle contenue dans le domaine de définition de f.


     
     

Elasticité - Exemple 1

L'élasticité de la demande par rapport au prix d'un produit est égale à e= .
Le prix d'une unité de ce produit est de euros. A ce prix, il y a unités vendues par jour.
La consommation passe à unités par jour suite à une augmentation de prix.
Quelle est en pourcentage la dimunition d'unités vendues par jour?
La vente a diminué de %
Donner l'augmentation du prix et le nouveau prix:
Le prix a augmenté de % et le nouveau prix est de €.

Offre quadratique - élasticité


(Cet exercice comporte deux questions auquelles on répond étape par étape)

Soit Q la fonction d'offre donnée par la formule:

Etape 1: Lorsque le prix passe de P à (P+ΔP), l'offre passe de Q à (Q+ΔQ). Calculer ΔQ lorsque P= et ΔP= .
Etape 2:

A l'étape 1 on a vu que lorsque le prix passe de P à (P+()), l'offre passe de Q à (Q+()).

En utilisant les formules du cours, calculer l'élasticité de l'offre lorsque P=.

Pour P= et ΔP= , on a ΔQ= . L'élasticité de la fonction Q en est eQ()= .
Solution: En utilisant la formule du cours donnant l'élasticité,
On trouve que l''élasticité de la fonction Q en P0= est .

Panier optimal - Utilité en ln -

On suppose que les préférences de pour deux biens (bien 1, bien 2) sont modélisées par la fonction d'utilité U définie par:

où x, y représentent les quantités respectives des biens 1 et 2.

On suppose que dispose d'un budget de € à dépenser en totalité. Le prix unitaire du bien 1 est de € et celui du bien 2 de €.

Avec ce budget de €, comment doit- répartir ses achats pour une utilité maximale?
  • nombre d'unités du bien 1:   x=
  • nombre d'unités du bien 2:   y=

Panier optimal - Utilité monomiale -

On suppose que les préférences de pour deux biens (bien 1, bien 2) sont modélisées par la fonction d'utilité U définie par:

où x, y représentent les quantités respectives des biens 1 et 2.

On suppose que dispose d'un budget de € à dépenser en totalité. Le prix unitaire du bien 1 est de € et celui du bien 2 de €.

Avec ce budget de €, comment doit- répartir ses achats pour une utilité maximale?
  • nombre d'unités du bien 1:   x=
  • nombre d'unités du bien 2:   y=

Production - élasticité


(Cet exercice comporte quatre questions auquelles on répond étape par étape)

On suppose que la fonction de production d'une entreprise dépend du facteur travail L et du facteur capital K et est donnée par la formule:

LK

Etape 1: Calculer la production lorsque L= et K=.
Etape 2: Les facteurs travail et capital augmentent de %. Comment varie la production?
Etape 3: Tout en conservant la production correspondant à L= et K= (pour mémoire, cette production est de unités), l'entrepreneur décide une augmentation relative du capital investi de ( pour 1000).
Soit C la courbe isoquante correspondant à L= et K=. En approximant C par sa tangente en (,), dire quelle est la conséquence de cette augmentation de capital sur le travail.
Etape 4:
A l'étape 3 on a vu qu'en conservant la production correspondant à L= et K= et en augmentant le capital investi de ( pour 1000), le capital travail diminuait de /1000.
Plus généralement, quelle est l'élasticité du facteur travail par rapport au facteur capital?

Lorsque L= et K= la production est de unités.
Lorsque les facteurs travail et capital augmentent de %,
la production de %.
Dans ces conditions le facteur travail de /1000.
Pour la fonction de production considérée ici,
l'élasticité-capital du facteur travail est égale à .

Revenu minimum à utilité affine fixée


(Deux questions successives: on calcule une contrainte utilitaire et on cherche un budget minimal permettant de l'atteindre)

Deux biens, bien 1 et bien 2 ont pour prix unitaires respectifs € et €.
On suppose que les préférences d'un consommateur pour ces deux biens sont modélisées par la fonction d'utilité U définie par:

où x, y représentent les quantités respectives des biens 1 et 2.

A supposer que le niveau d'utilité à atteindre soit fixé à .
Donner l'équation exprimant la contrainte utilitaire du consommateur.
Votre réponse: .
L'équation exprimant la contrainte utilitaire du consommateur est donnée par:
. La droite utilitaire est tracée en sur le dessin ci-dessous.
Le niveau d'utilité à atteindre étant fixé à , quel est le budget minimal dont doit disposer le consommateur pour atteindre ce niveau?

Votre réponse: €.
Pour atteindre le niveau d'utilité , le consommateur doit disposer au minimum de €. La droite du budget est tracée en rouge sur le dessin ci-dessous.

Equation de la contrainte utilitaire:  
Budget minimal dont le consommateur doit disposer:   €

Utilité fixée - Budget minimal -

On suppose que les préférences de pour deux biens (bien 1, bien 2) sont modélisées par la fonction d'utilité U définie par:

où x, y représentent les quantités respectives des biens 1 et 2.

On suppose que le prix unitaire du bien 1 est de € et celui du bien 2 de €.

Le niveau d'utilité à atteindre étant fixé à , quel est le budget minimal dont doit disposer pour atteindre ce niveau d'utilité?
Le budget minimal pour atteindre l'utilité : € (au centime près)

Utilité affine


(Trois questions successives: on calcule un niveau d'utilité, une droite de budget et une utilité maximale)

On suppose que les préférences d'un consommateur pour deux biens (bien 1, bien 2) sont modélisées par la fonction d'utilité U définie par:

où x, y représentent les quantités respectives des biens 1 et 2.

A quel niveau d'utilité correspond la droite d'indifférence (droite ) ci-dessous?

Votre réponse: .  
Cette droite d'indifférence correspond à un niveau d'utilité égale à:
On suppose que le consommateur dispose d'un budget de €. Sachant que le prix unitaire du bien 1 est de € et celui du bien 2 de € donner l'équation exprimant la contrainte budgétaire du consommateur.

Votre réponse: .  
Avec un budget de €, les prix unitaires des bien 1 et bien 2 étant respectivement de € et €, l'équation exprimant la contrainte budgétaire du consommateur est donnée par: . La droite du budget est tracée en rouge sur le dessin ci-dessus.

Dans ces conditions, quelle utilité maximale le consommateur peut-il atteindre?
Votre réponse: .
L'utilité maximale atteinte par le consommateur, pour un budget de € est égale à
Cette droite d'indifférence correspond à un niveau d'utilité égale à: .
Equation de la contrainte budgétaire:  
Utilité maximale atteinte par le consommateur, pour un budget de €:  

Utilité de type xayb
(Deux questions successives: on calcule une contrainte budgétaire puis une utilité maximale)

On suppose que les préférences d'un consommateur pour deux biens (bien 1, bien 2) sont modélisées par la fonction d'utilité U définie par:

où x, y représentent les quantités respectives des biens 1 et 2.

On suppose que le consommateur dispose d'un budget de € à dépenser en totalité. Le prix unitaire du bien 1 est de € et celui du bien 2 de €.

En utilisant la contrainte budgétaire, exprimer y en fonction de x.
Votre réponse: y=.

Solution: de l'égalité on déduit que
.

Dans ces conditions, quelle utilité maximale le consommateur peut-il atteindre?

Votre réponse: .  

Solution: en remplaçant y par dans l'expression de la fonction d'utilité U(x,y), on se ramène à chercher le maximum de la fonction f définie par
.
On trouve que l'utilité maximale atteinte par le consommateur, pour un budget de € est égale à

Expression de y en fonction de x:   y= .
Utilité maximale atteinte par le consommateur, pour un budget de €:  

Vacances optimales - aln(x)+y -

dispose d'un budget de vacances de € qu' répartit intégralement pour couvrir ses frais de séjour (x) et ses frais de déplacements (y). Sa fonction d'utilité U est définie par:

où x désigne la durée du séjour en jours et y la distance parcourue en km.

évalue à € le prix d'une journée et à € le prix du km.

Avec ce budget de €, comment doit- organiser ses vacances pour maximiser sa satisfaction?
nombre de journées: x=
nombre de km: y=

Vacances optimales - bln(y)+x -

dispose d'un budget de vacances de € qu' répartit intégralement pour couvrir ses frais de séjour (x) et ses frais de déplacements (y). Sa fonction d'utilité U est définie par:

où x désigne la durée du séjour en jours et y la distance parcourue en km.

évalue à € le prix d'une journée et à € le prix du km.

Avec ce budget de €, comment doit- organiser ses vacances pour maximiser sa satisfaction?
nombre de journées: x=
nombre de km: y=
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