Trinôme du second degré
Introduction et sommaire
Nous étudions ici les trinômes du second degré à coefficients réels. Le fait que les coefficients et les racines considérées sont réels sera parfois sous-entendu.
Définition. Soient
non nul,
et
trois réels.
On appelle trinôme du second degré en
à coefficients réels l'expression
.
Quand elles existent, les solutions réelles de l'équation du second degré (E) :
sont appelées racines réelles du trinôme.
On pose
. Le but de cette étude est la factorisation de ce trinôme
et la résolution de l'équation (E).
On s'intéressera aussi au signe de
et à l'interprétation graphique des résultats.
Sommaire
-
Problème et cas particulier
-
Forme canonique d'un trinôme
- Résolution d'une équation du second degré à coefficients réels
-
Interprétation graphique
-
Signe d'un trinôme
-
Position d'un nombre par rapport aux racines
-
Inéquation du second degré
Problème et cas particulier
Problème. Soient
non nul,
et
trois réels.
Considérons le trinôme du second degré en
à coefficients réels
et l'équation (E)
. Notre but est de résoudre l'équation (E) et de factoriser ce trinôme
.
Commençons par résoudre le problème posé dans le cas particulier où
est nul :
, c'est-à-dire
.
- Si
est strictement positif, le trinôme est factorisé et l'équation (E) n'admet aucune solution réelle.
- Si
est nul, le trinôme est factorisé et l'équation (E) admet la solution réelle
.
- Si
est strictement négatif, on factorise le trinôme en utilisant l'identité remarquable :
:
.
L'équation (E) admet deux solutions réelles
et
.
Pour s'exercer :
-
Résolution du cas particulier
-
Résolution simple
Proposition et définition. Soient
non nul,
et
trois réels. Pour tout réel
, on a l'égalité :
On dit que
est la forme canonique de
.
Avec les notations suivantes :
et
, la forme canonique s'écrit :
.
On constate que l'on a :
. L'interprétation géométrique du couple
est donnée à cette
page
.
Démonstration.
Comme
n'est pas nul, en s'inspirant de l'identité remarquable :
, on peut écrire :
.
Pour s'exercer :
-
Forme canonique
-
Forme canonique
Résolution d'une équation du second degré à coefficients réels
Ce théorème présente les résultats de résolution d'une équation du second degré à coefficients réels. Il s'appuie sur la
forme canonique
et sa factorisation.
Théorème
Soient
,
et
trois réels. On suppose
non nul. Considérons le trinôme du second degré en
à coefficients réels
et l'équation (E) :
.
On appelle discriminant de
ou de (E) le réel
.
Si
est strictement négatif, (E) n'a pas de solution réelle. La forme canonique de
est sa forme factorisée.
Si
est nul, posons :
.
Le trinôme
se factorise ainsi :
et
(E) admet
comme unique solution réelle.
Si
est strictement positif, posons :
et
.
Le trinôme
se factorise ainsi :
et (E) admet deux solutions réelles distinctes :
et
.
Remarque. Si
et
sont de signe contraires alors
est positif.
Démonstration.
Avec la notation du discriminant, la
forme canonique
s'écrit :
Trois cas se présentent :
- Si
est strictement négatif, l'expression
est strictement positive pour tout réel
donc
ne s'annule pas et
(E) n'a pas de solution. La forme canonique est la forme factorisée.
- Si
est nul, posons
.
La forme canonique est la forme factorisée :
et (E) admet
comme une unique solution.
- Si
est strictement positif, posons
et
.
En utilisant l'identité remarquable :
, on obtient :
. On en déduit :
.
Comme un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul,
et
sont les solutions de (E).
Exemples de résolution et exercices
Pour consulter le théorème
Soient
,
et
trois réels. On suppose
non nul. Considérons le trinôme du second degré en
à coefficients réels
et l'équation (E) :
.
On appelle discriminant de
ou de (E) le réel
.
Si
est strictement négatif, (E) n'a pas de solution réelle. La forme canonique de
est sa forme factorisée.
Si
est nul, posons :
.
Le trinôme
se factorise ainsi :
et
(E) admet
comme unique solution réelle.
Si
est strictement positif, posons :
et
.
Le trinôme
se factorise ainsi :
et (E) admet deux solutions réelles distinctes :
et
.
Exemple 1.
Résoudre l'équation
.
Le discriminant vaut
.
L'équation a deux solutions :
et
. La forme factorisée du trinôme
est
.
Consultez les exemples à solution cachée :
Remarque. Si le trinôme est donné sous forme factorisée
, ses racines sont évidemment
et
.
Exercices.
-
Trinôme factorisé
-
Résolution sans \(\Delta\)
-
Résolution d'une équation du second degré
Exemple 2
Pour consulter le théorème
Soient
,
et
trois réels. On suppose
non nul. Considérons le trinôme du second degré en
à coefficients réels
et l'équation (E) :
.
On appelle discriminant de
ou de (E) le réel
.
Si
est strictement négatif, (E) n'a pas de solution réelle. La forme canonique de
est sa forme factorisée.
Si
est nul, posons :
.
Le trinôme
se factorise ainsi :
et
(E) admet
comme unique solution réelle.
Si
est strictement positif, posons :
et
.
Le trinôme
se factorise ainsi :
et (E) admet deux solutions réelles distinctes :
et
.
Résoudre l'équation
.
Solution
Exemple 3
Pour consulter le théorème
Soient
,
et
trois réels. On suppose
non nul. Considérons le trinôme du second degré en
à coefficients réels
et l'équation (E) :
.
On appelle discriminant de
ou de (E) le réel
.
Si
est strictement négatif, (E) n'a pas de solution réelle. La forme canonique de
est sa forme factorisée.
Si
est nul, posons :
.
Le trinôme
se factorise ainsi :
et
(E) admet
comme unique solution réelle.
Si
est strictement positif, posons :
et
.
Le trinôme
se factorise ainsi :
et (E) admet deux solutions réelles distinctes :
et
.
Résoudre l'équation
.
Solution
Exemples de factorisation d'un trinôme
On rappelle le résultat de factorisation du
théorème
. La factorisation s'obtient aussi directement depuis la forme canonique.
Si
et
sont les racines distinctes ou égales du trinôme
, celui se factorise ainsi :
.
Si le trinôme n'a pas de racine, il ne se factorise pas.
Exemple générique.
Pour factoriser le trinôme
, on calcule ses racines.
Le discriminant vaut
.
L'équation a une seule solution :
.
On obtient la factorisation suivante :
.
Exemples simples. Parfois la factorisation est immédiate sans calcul du discriminant :
-
-
-
est factorisé au maximum.
Pour s'exercer :
-
Factorisation simple
-
Factorisation
Somme et produit des racines
Cette page n'est pas au programme des terminales mais bien utile pourtant.
Proposition. Soit
un trinôme du second degré en
admettant
et
comme racines distinctes ou égales.
Alors on a les égalités suivantes :
et
.
Les réels
et
sont solutions de
avec
et
.
Démonstration. En développant le second membre de l'égalité :
, on obtient
]. Par identification, on en déduit les égalités demandées.
Techniques de vérification.
- Pour vérifier que
est solution de
,
on peut calculer
et constater qu'on obtient
.
- Pour vérifier que
et
sont les deux racines de
,
on calcule la somme
et on vérifie qu'on obtient
.
Si c'est le cas, on calcule
et on vérifie qu'on obtient
.
- On remarque que les deux racines sont de même signe si et seulement si
est positif.
Exemple 1.
Résoudre l'équation
.
Le discriminant vaut
.
L'équation a deux solutions :
et
.
On a bien :
et
.
Exemple 2. Un champ rectangulaire a un périmètre de
et une superficie de
. Quelles sont ses dimensions ?
Ses dimensions
et
vérifient les égalités suivantes :
et
. Elles sont donc solution de l'équation :
dont les solutions sont
et
.
Pour s'exercer :
-
Calculer la somme et le produit des racines
sans les calculer.
-
Calculer la somme et le produit des racines
sans les calculer.
-
Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit
-
Calculer la valeur de résistances
Interprétation graphique
Nous allons donner une interprétation graphique de la
forme canonique
et du
théorème
.
En considérant le trinôme sous sa forme canonique
,
on voit que la valeur minimale (si
est positif) ou maximale (si
est négatif) de
est obtenue en
.
Soit une parabole d'équation
. Posons
.
Le sommet de la parabole a pour coordonnées
.
Les racines du trinôme sont les abscisses des points d'intersection (s'ils existent) de la parabole et de l'axe des abscisses.
Le graphique présente la parabole d'équation
. Dans cet exemple, le coefficient
est positif et
est égal à
.
Comme le discriminant est négatif, le sommet (point vert) de la parabole, de coordonnées
, est au-dessus de l'axe des
donc la parabole n'a aucun point d'abscisse nulle. L'équation
n'a pas de solution.
Le cas
négatif est symétrique par rapport à l'axe des
. Dans ce cas, la parabole est orientée vers le bas.
Ce cas est traité dans les figures illustrant l'
étude du signe du trinôme
.
Pour s'exercer :
-
Orientation d'une parabole
-
Allure d'une parabole
-
Correspondance Parabole - Trinôme
-
Sommet d'une parabole
-
Nombre de points d'intersection avec l'axe des \(x\)
-
Reconnaître l'équation d'une parabole
Signe d'un trinôme
La forme factorisée du trinôme nous permet d'en étudier le signe. Nous présentons dans un tableau le signe de
selon la valeur
de
.
- Si le trinôme
n'a pas de racine ou une racine double,
on a vu dans la
démonstration
du théorème de résolution
qu'il a même signe que le coefficient
de
. Dans le cas où le discriminant est nul, on note
la racine double
.
-
Si le trinôme
a deux racines distinctes, son signe dépend du signe de
et de celui de chacun
de ses facteurs, donc de la position de
par rapport aux racines.
Dans ce cas, on appelle
la plus petite des racines et
l'autre racine. Les facteurs
et
sont de signes contraires si et seulement si
appartient à
.
Le trinôme est du signe de
à l'extérieur des racines, du signe de
entre les racines.
|
|
|
|
signe de
|
|
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|
|
|
|
signe de
|
0 |
signe de
|
|
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|
signe de
|
0 |
signe de
|
0 |
signe de
|
Figure.
Voir le signe du trinôme sur un graphique
Pour s'exercer :
-
Signe d'un trinôme avec un tableau
-
Tableau de signe à construire
-
Résolution d'inéquation à l'aide d'un tableau à construire
Illustration graphique pour l'étude du signe du trinôme
Voici un graphique pour illustrer l'étude du signe du trinôme.
Les racines du trinôme sont les abscisses des points d'intersection (rouges s'ils existent) de la parabole et de l'axe des abscisses.
L'ensemble des
pour lesquels le trinôme est positif (sur la représentation graphique) est dessiné en vert.
Ce graphique présente la parabole d'équation
. Dans cet exemple,
est positif et
est égal à
.
Comme le discriminant est nul, l'unique solution est
et le trinôme est positif pour tous les
différents de
.
Position d'un nombre par rapport aux racines
Cette page n'est pas au programme des terminales. C'est une application presque directe des page précédentes.
Problème. Soient
,
et
trois réels. On suppose
non nul. Considérons le trinôme du second degré en
à coefficients réels
admettant deux racines
et
. On suppose
.
Soit un réel
. Nous cherchons à déterminer la position de
par rapport à
et
sans les calculer.
Etude. D'après l'
étude du signe du trinôme
, on peut affirmer que
est entre
et
si et seulement si la quantité
est négative.
Quand
est positive, il reste à préciser de quel côté des racines se trouve
.
Notons
la somme des racines comme
ici
.
Le nombre
est le milieu de l'intervalle
. Si la quantité
est positive, alors
est inférieur aux racines,
sinon
est supérieur aux racines.
Pour s'exercer :
En utilisant les résultats ci-dessus, on peut répondre aux questions de l'exercice
Racines contenues dans un intervalle
sans calculer les racines du trinôme.
Inéquation du second degré
Problème : Soit
et
deux trinômes du second degré. On veut résoudre l'inéquation
. On note
son ensemble de solutions.
Méthode : On pose
. L'inéquation
est équivalente à l'inéquation
.
L'ensemble
est donc l'ensemble des
pour lesquels
est strictement positif.
Pour déterminer
, il suffit donc d'étudier son signe
.
Exemple : Résolvons l'inéquation
.
- Cette inéquation est équivalente à
.
- Le trinôme
admet
et
comme racines et le coefficient de
est positif.
- Le trinôme est positif à l'extérieur des racines (voir
Signe d'un trinôme
)
- L'ensemble des solutions de
est
.
Pour s'exercer :
-
Résolution d'inéquations
-
Résolution d'inéquation 1
-
Résolution d'inéquation 2