Une première approche de la fonction exponentielle

Introduction

De nombreux phénomènes physiques ou économiques simples peuvent être modélisés par une fonction f vérifiant, pour tout réel x d'un intervalle I, f(x)=k×f(x)k est un coefficient réel.

D'où l'importance pratique des équations du type f=kf avec k constante réelle, où l'inconnue f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Une telle équation est appelée équation différentielle.
Il est assez facile de montrer que si l'on sait résoudre l'équation différentielle f=kf avec k=1, alors on sait résoudre les équations f=kf avec k quelconque.
On va s'intéresser plus particulièrement à l'équation f=f et l'on va chercher toutes les fonctions vérifiant cette équation différentielle en imposant comme condition initiale f(0)=1.
Pour aller plus loin, DOC Fonction exponentielle

1. Définition de la fonction exponentielle

Théorème (admis) : il existe une unique fonction f dérivable sur telle que f=f et f(0)=1.
Définition :
  • On appelle fonction exponentielle, et on note exp l'unique fonction f dérivable sur telle que f=f et vérifiant la condition initiale f(0)=1.
  • On appelle nombre de Neper, et on note e l'image de 1 par la fonction exponentielle. On a donc : e=exp(1).

2. Propriétés algébriques

Théorème :
Pour tout réel x, on a exp(x)×exp(x)=1. Par suite la fonction xexp(x) ne s'annule pas sur .
Pour tous réels x et y, on a : exp(x+y)=exp(x)×exp(y).
Pour tout réel x et tout entier relatif n on a : exp(n×x)=exp(x) n.
Démonstration : Ces démonstrations peuvent être passées en première lecture.
  • Premier point: on pose h:xexp(x)×exp(x). On montre que h est dérivable sur et que h(x)=0 pour tout réel x. Donc, h est constante ; or pour x=0 on a h(0)=1.
  • Second point: pour un réel y quelconque fixé, on montre que la fonction h:xexp(x+y)exp(x)×exp(y) est dérivable sur et que h(x)=0 pour tout réel x ; on en déduit que la fonction h est constante ; or pour x=0 on a h(0)=1.
  • La troisième égalité est admise.

Notation puissance : La fonction exponentielle prolonge aux réels les règles usuelles des exposants entiers.
Pour tout entier relatif n on a en effet : exp(n)=exp(1×n)=exp(1) n=e n.

On étend la notation puissance à tout réel x : exp(x)=e x.

Pour tous réels x et y, on a donc les règles suivantes :


e 0=1 e 1=e e x+y=e x×e y e x=1e x (e x) y=e x×y e xy=e xe y

Exemples (cliquer sur l'icône pour changer les données) :
e 3=1e 3
e x+2=e x×e 2
e x3=e xe 3
(e x) 4=e 4x

Propriété : Soit n un entier naturel et a un réel, comme e na=(e a) n, la suite e na est une suite géométrique.
Propriété : Pour tout réel x on a : e x=e x2.
Démonstration : d'après les propriétés algébriques de la fonction exp on a :
(e x2) 2=e 2×x2=e x
Donc e x2 est un réel positif dont le carré est égal à e x ; c'est donc la racine carrée positive de e x.
Le nombre e est un irrationnel, comme 2 ou pi. Sa valeur exacte c'est e !

Dans un calcul exact, on exprimera donc le résultat en fonction de e.
Pour un calcul approché, on utilisera une approximation : e2,7182818...
Exercices :
Réécriture sous forme d'une seule exponentielle (1)
Réécriture sous forme d'une seule exponentielle (2)
Simplification d'écriture

3. Variations

Sens de variation
Par définition, la fonction exponentielle est dérivable sur et sa fonction dérivée est identique à elle-même.
Pour tout réel x, on a   exp(x)=exp(x)=e x
Théorème : La fonction exponentielle prend des valeurs strictement positives : pour tout réel x, on a e x>0.
Démonstration : Pour tout réel x on peut écrire exp(x)=exp(2×x2)=exp(x2) 2. Or le carré d'un réel est un nombre positif ou nul. Par ailleurs on sait que la fonction exponentielle ne s'annule pas sur . Donc, la fonction exponentielle est strictement positive sur .
Thérorème : La fonction exponentielle est une fonction strictement croissante sur .
Démonstration : conséquence immédiate des deux propriétés précédentes.
Courbe représentative sur [-3 , 4] de la fonction exp

4. Exponentielle d'une fonction affine

Théorème La fonction f définie sur par f(x)=e ax+b est dérivable sur et pour tout réel x, f(x)=ae ax+b.
Exemples
  • Si f est définie sur par f(x)=e x, alors pour tout réel x, on a f(x)=e x.
  • (cliquer sur l'icône pour changer les données) :
    Soit f la fonction définie sur par f(x)=e 6x+0.
    f est dérivable sur et, pour tout réel x on a : f(x)=6e 6x+0.
Fonctions e kx et e kx.
    Soit k un réel strictement positif.
  • La fonction xe kx est strictement croissante sur .
  • La fonction xe kx est strictement décroissante sur .
Courbes respectives sur [-3 , 4] des fonctions xe 3x et xe 5x (cliquer sur l'icône pour changer les données) :

introduction de la fonction exponentielle.
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