Parabole --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 39 exercices sur les paraboles. Certains exercices (fuseerep, fusee0, canoniq et canon8) proposent plusieurs méthodes pour trouver l'altitude de la fusée ou mettre un trinôme sous forme canonique.

Le canon contre le château

Les ennemis se sont regroupés dans une place fortifiée protégée par des murs de 10 mètres de haut espacés de 40 mètres.

Le canon envoie des boulets dont l'altitude en mètres, en fonction de la distance en mètres par rapport au canon, est donnée par l'équation :

Combien de fois le boulet dépassera-t-il la hauteur de 10 mètres ?
Quelle est la distance minimale du canon au premier mur pour que le boulet passe au dessus du mur ?
Et quelle est la distance maximale du canon au premier mur pour que le boulet passe au dessus du mur ?

Utilisation de la forme canonique d'un trinôme 2

On considère le trinôme défini sur .
Déterminer les variations de .
est : . Déterminez les coordonnées du sommet de la parabole qui représente .
L'abscisse du sommet est .
L'ordonnée du sommet est .

Construire le tableau des variations de en déposant les éléments nécessaires dans la ligne et dans la ligne du tableau ci-dessous.


Trouver la formule canonique

Déterminer la fonction trinôme dont le est et est obtenu pour et dont la courbe soit superposable avec la parabole d'équation .

Différentes formes d'un trinôme

On considère le trinôme .

Déterminer la forme factorisée de .

La forme factorisée de est : .

La forme factorisée sera donnée sous la forme ou .

La forme factorisée de est .

La forme développée de est alors .


Forme canonique du trinôme factorisation partielle

On considère le trinôme .

On cherche à obtenir sa forme canonique par une factorisation partielle.

Compléter l'égalité :

= .
s'écrit x^2.

.

Compléter l'égalité pour obtenir un carré :

+ = .
Et en multipliant par le premier membre et en développant :
+
=

Or .

Et en multipliant par :

.

Donc


Utilisation de la forme canonique d'un trinôme

On considère le trinôme . Déterminez les variations de .
est : .
Déterminez les coordonnées du sommet de la parabole qui représente .

Utilisation de la forme canonique d'un trinôme 3

On considère le trinôme défini sur .
La fonction admet un .
Déterminez les coordonnées du sommet de la parabole qui représente . Construire le tableau des variations de en déposant les éléments nécessaires dans la ligne et dans la ligne du tableau ci-dessous.

Forme canonique d'un trinôme par identification

On considère le trinôme .

On cherche à obtenir sa forme canonique par identification.

Développer :

= + +

Pour que pour tout réel de , il faut et il suffit que :

Pour que pour tout réel de , il faut et il suffit que :

Ce qui équivaut à
Finalement :

La forme canonique de est :


Forme canonique avec choix de la méthode

On veut déterminer la forme canonique de .

Voir ci-dessous l'aide pour la méthode "" choisie.

La forme canonique est :

Pour que pour tout réel de , il faut et il suffit que :

En déduire les valeurs de , et .

Puis la forme canonique de .

Choisir ensuite soit une autre aide soit de répondre aux questions.

La forme canonique de est

Forme canonique avec choix de la méthode et réponses

On veut déterminer la forme canonique de .

Voir ci-dessous l'aide pour la méthode "" choisie.

La forme canonique est :

Pour que pour tout réel de , il faut et il suffit que :

En déduire les valeurs de , et .

Puis la forme canonique de .

= = =
La forme canonique de est

Fonction carré

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on veut tracer la parabole d'équation .
Le point d'abscisse 0 qui est le sommet de la parabole est déjà placé.

Clique sur le point d'abscisse 1
Clique sur le point d'abscisse
Clique sur le point d'abscisse 2
Clique sur le point d'abscisse
Clique sur le point d'abscisse 3
Clique sur le point d'abscisse

Fonction a x carré positive

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on veut tracer la parabole d'équation .

Le point d'abscisse 0 qui est le sommet de la parabole est déjà placé.

Clique sur le point d'abscisse 1:
Clique sur le point d'abscisse :
Clique sur le point d'abscisse 2:
Clique sur le point d'abscisse :

Choix d'une fonction associée à x^2

Dans le plan muni d'un repère orthogonal , on a tracé la courbe représentative de la fonction carré (en bleu) et d'une fonction en rouge.
Par lecture graphique déterminer l'expression de .

Le cinéma

Étape 1

Détermine le nombre de spectateurs en fonction du prix de la place . .

Étape 2


Identités remarquables variables

Compléter l'identité remarquable (6 égalités successives).



= .



= .

= .

= .

= .

= .


Identités remarquables simples

Compléter l'identité remarquable (6 égalités successives).

= .

= .

= .

= .

= .

= .


Jet d'eau

Une fontaine produit un jet d'eau parabolique qui sort du mur à dm du sol, dirigé vers le haut et vers l'Est.

La hauteur maximale du jet est dm, et est obtenue à 1 dm du mur.

Pour écrire taper sqrt( ).

La discothèque

Le plan ci-dessous représente une salle de danse d'une discothèque avec un rectangle de m sur 2 m pour le bar.

Le problème est de déterminer pour que l'espace réservé aux danseurs ait une aire de m².

Étape 1

Donnez l'expression développée et ordonnée de l'aire réservée aux danseurs en fonction de .
Réponse :

Étape 2

Étape 3

Étape 4


Parabole selon la forme canonique

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on veut tracer la parabole d'équation .


Le pavé aux grandes faces

Étape 1

Étape 2

On note cette expression .

Étape 3


Les poules en plein air

Étape 1

Étape 2

L'aire hors enclos est bien .

Et la longueur du grillage est .

Exprimer en fonction de à l'aide de la 2ème formule :

=

Substituer l'expression trouvée à L dans pour obtenir une expression qui dépend seulement de .

= .

On note cette expression .

Étape 3

La longueur du grillage est donc .

Et l'aire hors enclos est .

Déterminer pour que soit maximale.

Réponse : = .
Puis en déduire la valeur de .
= .

Résolution générale d'une équation du 2nd degré

On considère le trinôme avec . Sa forme canonique est .

On cherche les formules de résolution de .

Exprimer en fonction de , et

  • = /
  • Or donc équivaut à

    Compléter en fonction de , et = / .

    On pose .

    Si alors les solutions de sont :

    Si alors la solution de est :


    Résolution générale d'une équation du 2nd degré et factorisation

    On considère le trinôme avec . Sa forme canonique est .

    On cherche les formules de résolution de .

    Exprimer en fonction de , et

  • = /
  • et
    Or donc équivaut à

    Compléter en fonction de , et = / .

    On pose .
    équivaut à et à

    équivaut à .

    Si alors les solutions de sont :

    Si alors la solution de est :

    Si alors les solutions de sont :

    et

    Si alors la solution de est :

    .
    = = [ ] = [ ]

    Si alors = [ ] =
    Donc = en fonction de et

    Si alors =


    Résolution de 5 équations aléatoires de degré 2

    On veut résoudre l'équation N° 1 : On veut résoudre l'équation N° 2 : On veut résoudre l'équation N° 3: . On veut résoudre l'équation N° 4 : . On veut résoudre l'équation N° 5 : .

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