Arithmétique modulaire
Guide
La première partie de ce document est une introduction de l'anneau
à partir des congruences.
La deuxième partie met l'accent sur quelques résolutions de problèmes
où l'utilisation des congruences est fondamentale ou simplement pratique.
Ce document n'a aucune prétention à être complet ni même achevé. On espère qu'il
peut être utile ainsi.
Définition et opérations algébriques
Définition
Définition
Une
classe de congruence modulo
est un sous-ensemble de
de la forme
avec
un entier.
L'ensemble des classes de congruences modulo
est noté
. On note aussi
.
Un entier
est appelé un
représentant de la
classe
si
et
sont congrus modulo
.
Exemple
-
Les classes
et
sont égales.
-
Les classes
et
sont différentes.
-
L'entier
est un représentant de la classe
.
On choisit en général les représentants entre 0 et
,
ce qui est toujours
possible.
Le reste de la division euclidienne de
par
est
bien un représentant de
mod
qui est compris entre 0 et
.
Mais il est quelquefois commode de prendre les représentants entre
et
et même de les prendre quelconques.
Exercice
Classes
Exemple pour plus tard
Il est quand même
plus facile de calculer la puissance
-ième de la classe
en utilisant
le représentant de cette classe qu'est -1. Ainsi :
.
Opérations
Définition.
On définit les
opérations algébriques d'addition,
soustraction, multiplication par
Mais nous écrirons souvent
mod
, par exemple
,
et même
,
.
Théorème.
est un anneau commutatif.
Exercices
-
Opérations
,
-
Carrés
-
Somme et produit
Table d'addition
Voici la table d'addition dans
:
+ | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|
1 | 1 | 2 | 3 | 0 |
---|
2 | 2 | 3 | 0 | 1 |
---|
3 | 3 | 0 | 1 | 2 |
---|
Table de multiplication
Voici la table de multiplication dans
:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
---|
1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|
2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |
---|
3 | 0 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 4 |
---|
4 | 0 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3 |
---|
5 | 0 | 5 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 |
---|
6 | 0 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
---|
Les zéros ont été mis en rouge. Pouvez-vous comparer le nombre de zéros avec
le nombre de facteurs premiers de
?
Inverses et diviseurs de zéro
Existence d'un inverse pour la multiplication
Théorème.
Soit un entier
premier à
.
Alors
est inversible dans
, c'est-à-dire qu'il existe
tel que
.
En fait, il s'agit d'une
équivalence :
Théorème.
Soit un entier
. Alors
est inversible dans
si et seulement si
est premier à
.
La démonstration donne aussi un moyen de
calcul de cet inverse.
L'entier
est premier avec
si et seulement s'il existe
et
dans
tels que
Donc,
- si
est premier avec
, il existe un entier
tel que
et
est inversible dans
.
- Si
est inversible dans
, il existe un entier
tel que
.
Par définition de la congruence, cela signifie qu'il existe un entier
tel que
et on a
, donc
et
sont premiers entre eux.
Exemple
Exercices
-
Inverse :
1
2
3
- Division :
I
II
III
Exemples
Exemple
Prenons
:
a=0 |
|
a=1 |
|
a=2 |
|
a=3 |
|
a=4 |
|
a=5 |
|
a=6 |
|
Lorsque
n'a pas d'inverse, on voit qu'il est alors
diviseur de zéro,
c'est-à-dire que
pour un entier
.
Exemple
Pour
a=0 |
| a=6 |
|
a=1 |
|
a=7 |
|
a=2 |
| a=8 |
|
a=3 |
| a=9 |
|
a=4 |
| a=10 |
|
a=5 |
|
a=11 |
|
Cas où n est premier
Théorème.
Si
est un nombre premier, tout nombre non nul dans
a un inverse.
Démonstration.
Comme
est premier, il est premier avec tout nombre qu'il ne divise pas,
c'est-à-dire avec tout nombre dont la classe de congruence modulo
n'est pas nul.
On applique alors le
théorème:
Théorème.
Soit un entier
. Alors
est inversible dans
si et seulement si
est premier à
.
Exercices
-
Puissance
-
Calcul de puissances :
I
II
Diviseurs de 0
Lorsque
n'a pas d'inverse, on voit qu'il est alors
diviseur de zéro, c'est-à-dire que
pour un entier
.
Proposition.
Dans
,
est un diviseur de zéro si et seulement si
n'est pas premier avec
.
Démonstration.
-
Si
est diviseur de zéro, il n'est pas inversible donc d'après le
théorème
Théorème.
Soit un entier
. Alors
est inversible dans
si et seulement si
est premier à
.
,
il n'est pas premier avec
.
-
Si
n'est pas premier avec
, soit
le pgcd de
et de
.
Soit
le quotient de
par
; on a
,
et
.
Donc
mod
. La classe de
modulo
est non nulle, car
est un diviseur strict de
.
Exemple
Pour
|
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|
| |
Exercices
Diviseurs de zéro
1
2
3
Résolution de quelques problèmes
Résolution de l'équation linéaire
La question est de trouver tous les entiers
vérifiant l'équation
.
On peut adopter plusieurs points de vue selon qu'on est à l'aise
ou non dans l'anneau
.
Première étape :
L'équation
a une solution
si et seulement si le pgcd
de
et de
divise
.
Dans ce cas, on divise l'équation par
(y compris
)
et on est ramené au cas où
et
sont premiers entre eux.
Deuxième étape :
-
Première méthode : travailler dans
il s'agit de trouver les entiers
tels qu'il existe
un entier
vérifiant
ou encore
On s'est donc ramené à résoudre une équation de Bezout. Elle a une solution
car on a supposé que
et
sont premiers entre eux.
-
Deuxième méthode : travailler dans
Comme
et
sont premiers entre eux, il existe
et
tel que
. En particulier, il existe un entier
tel que
. On multiplie l'équation
par
,
ce qui donne
et donc comme
et on a résolu le problème.
En fait il s'agit de la démonstration de ce que
est inversible dans
et que si
,
est l'inverse de
dans
.
L'avantage sur la première méthode : on n'a pas besoin de demander
l'existence de
tel que ... Il est caché dans
le
: on se souvient que
signifie en fait
.
Exercice rapide
Équation linéaire modulaire
Exercice
Équation linéaire
Petit théorème de Fermat
Théorème.
Soit
un nombre premier impair. Alors pour tout entier
,
.
On en déduit le
théorème de Fermat :
Théorème.
Soit
un nombre premier impair. Alors pour tout entier
premier à
,
.
Théorème.
Soit
un nombre premier impair. Soit
un entier premier à
. Alors,
-
il existe un plus petit entier
tel que
,
cet entier est un diviseur de
;
- les entiers
vérifiant
sont exactement les multiples de
.
Par le petit théorème de Fermat, l'ensemble des entiers
strictement positifs vérifiant
est non vide
car il contient
. Il admet donc un plus petit élément. Notons-le
.
Faisons la division euclidienne de
par
:
avec
entier positif
. On a
d'où
Donc, par minimalité de
,
est soit plus grand que
, soit nul.
Donc
est nul, et
divise
.
Résolution d'équations du type
Il faut quand même préciser qui est l'inconnue ! Cela peut être
ou
.
On prend
un nombre premier.
-
Les équations du type
peuvent être traitées en utilisant
le
Théorème de Fermat
Théorème.
Soit
un nombre premier impair. Alors pour tout entier
premier à
,
.
et ses conséquences :
Les solutions de cette équation sont les multiples d'un diviseur de
à trouver.
On prend donc tous les diviseurs de
et on les essaye !
(on peut quand même réfléchir au moyen de ne pas faire trop de calculs :
si
n'est pas congru à 1 modulo
, pas la peine d'essayer
ou
).
-
Les équations du type
avec
premier
à
et
premier à
: on va utiliser là encore le fait que
. Pour cela, comme
et
sont premiers entre eux, on calcule l'identité de Bezout associée :
On a
et on a résolu l'équation.
Exercice
Équation multiplicative
Exercice
Équation multiplicative II
Équation diophantienne linéaire à 3 inconnues
Soient
,
,
et
quatre entiers. On désire résoudre l'équation
en entiers. Les étapes de résolution peuvent être les suivantes :
-
Étape 1: se ramener au cas où
sont premiers entre eux :
Explication
On commence par calculer le pgcd
des entiers
.
L'équation a une solution si et seulement si
divise
.
Dans ce cas, on peut diviser tous les coefficients par cet entier,
ce qui nous ramène au cas où ce pgcd est 1.
-
Étape 2 :Lorsque
,
,
sont premiers entre eux, on se ramène
au cas où deux des coefficients sont premiers entre eux :
Explication
Soit
le pgcd de
et
. On pose
,
avec
et
premiers entre eux.
Si
est une solution de l'équation, on a
.
Comme
et
sont premiers entre eux, il existe un entier
tel que
et la congruence est équivalente à
Ainsi, si on choisit
un représentant de
, on a
et
avec
.
On pose
avec
.
L'équation devient
c'est-à-dire
avec maintenant
et
premiers entre eux.
-
Étape 3 :
Supposons
et
premiers entre eux. On cherche (et trouve) une solution
particulière avec
, ce qui revient à résoudre l'équation
:
Explication
Pour cela, on calcule des entiers
et
tels que
par l'algorithme d'Euclide.
Une solution particulière est alors donnée par
.
-
Étape 4 : Supposons
et
premiers entre eux.
On cherche les solutions de l'équation
.
Explication
L'équation est équivalente à
La discussion dans le cas de deux variables (en considérant
comme fixé)
implique que si
et
sont des entiers tels que
,
et
s'écrivent sous la forme
c'est-à-dire matriciellement
-
Étape 5 :Supposons
et
premiers entre eux et
. La solution générale de l'équation
est donnée
de manière matricielle par
avec
et
appartenant à
.
Une équation diophantienne non linéaire sans solution
On désire montrer que
l'équation
n'a pas de solutions entières.
- Soit
un
nombre premier impair. Montrer que si l'équation
a une solution, alors
est congru à
.
Solution
Ici,
est impair, donc
est divisible par 2.
Si -1
mod
, alors
.
La dernière congruence est le petit
théorème de Fermat.
Théorème.
Soit
un nombre premier impair. Alors pour tout entier
premier à
,
.
Donc
est pair,
ce qui signifie que
.
-
Supposons qu'il existe des entiers
et
tels
que
.
-
Montrer que
est impair.
Solution
Si
est pair,
, ce qui est impossible
car tout carré est pair ou congru à
.
-
Montrer que le produit d'entiers congrus à
est
congru à
.
Solution
Si les nombres
sont congrus à
, on a
.
-
Factoriser
sous la forme
. Montrer qu'il existe
un nombre premier
congru à
divisant
. En déduire qu'il
existe un nombre premier congru à
et divisant
.
Solution
On a
,
donc
. Comme
est impair,
,
,
donc
est congru à
. D'après la question précédente,
il existe un nombre premier
divisant
et congru à
. Comme il divise
, il divise aussi
.
- Conclure.
Solution
Soit des entiers
et
tels que
. On a trouvé un nombre premier
divisant
et congru à 3 mod 4. Pour ce nombre premier,
.
Donc
est un carré modulo
, ce qui est absurde, car
est congru à
.
Pour aller plus loin
Thèmes
- Exercices sur les systèmes linéaires modulaires
- Exercices sur les racines de l'unité dans
- Exercice sur la racine d'un polynôme :
Relèvement
- Exercices sur l'authentification :
Authentification
- Exercices sur l'identité de Bezout
- Exercices sur les critères de divisibilité
-
Algorithme d'exponentiation
-
Nombre de multiplications
-
Exercice sur l'exponentiation
- Exercices sur le logarithme discret
-
Log discret I
-
Log discret I
-
Factorisation par la méthode de Pollard
- Exercices sur les méthodes de cryptologie
-
RSA I
-
RSA analyse
-
RSA création
-
RSA décryptage
-
Diffie-Hellman I
-
Diffie-Hellman II