OEF Loi binomiale
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 8 exercices sur l'utilisation
de la loi binomiale. Ces exercices ont été conçus dans un contexte de BTS industriel,
mais la plupart d'entre eux peuvent être utilisés dans d'autres classes,
et en particulier en classe de première.
Un exercice sur l'intervalle de fluctuation a été rajouté dans cette optique.
Pour celui-ci, il est possible de choisir un seuil fixe de 95% ou un seuil aléatoire
entre 90 et 99% à l'aide du paramètre en bas de la page.
Approximation par une loi de Poisson
On considère une variable aléatoire
qui suit une loi binomiale de paramètres et . Les conditions sont remplies pour pouvoir approcher cette loi par une loi de Poisson.
Le paramètre de la loi de Poisson qui permet d'approcher la loi de
est
On peut approcher cette loi par une loi de Poisson de paramètre . Soit
une variable aléatoire suivant cette loi de Poisson. Calculer
.
Loi binomiale (ex complet)
. On appelle
la variable aléatoire qui, à tout échantillon de pièces prélevées avec remise, associe le nombre de dans cet échantillon.
-
suit la loi binomiale
(
;
).
- Calculer à
près :
=
.
- Pour obtenir la probabilité d'avoir parmi les pièces tirées, on doit calculer la probabilité de l'événement :
Cette probabilité est égale à
(valeur approchée à
près). - L'espérance de
est égale à
et son écart type est égal à
(valeur approchée à
près).
Loi binomiale (sans ecart type)
. On appelle
la variable aléatoire qui, à tout échantillon de pièces prélevées avec remise, associe le nombre de dans cet échantillon.
-
suit la loi binomiale
(
;
).
- Calculer à
près :
=
.
- Pour obtenir la probabilité d'avoir parmi les pièces tirées, on doit calculer la probabilité de l'événement :
Cette probabilité est égale à
(valeur approchée à
près) - L'espérance de
est égale à
.
Calculs avec inégalités
On considère une variable aléatoire
qui suit la loi binomiale
( ; ). Calculer à
près : =
.
Intervalle de fluctuation
On s'intéresse à un caractère dont la fréquence dans la population est
. On cherche à déterminer l'intervalle de fluctuation centré sur
, au seuil de
, de la fréquence de ce caractère dans les échantillons de taille
.
On note
la variable aléatoire égale au nombre d'individus ayant le caractère étudié dans un échantillon aléatoire de
individus.
Cette variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres
et
.
Pour trouver l'intervalle de fluctuation de la fréquence à
, on commence par déterminer les deux entiers
et
avec
tels que :
-
est le
entier tel que
-
est le
entier tel que
On obtient
et
.
L'intervalle de fluctuation, au seuil
, de la fréquence de ce caractère dans les échantillons de taille
est donc : - en fractions : [
;
]
- en pourcentages : [
% ;
% ]
Arrondir les bornes à 0.1 % près si besoin.
Utilisation de la formule
On considère une variable aléatoire
qui suit la loi binomiale
( ; ). Calculer à
près :
=
.
Paramètres d'une loi binomiale
. On appelle
la variable aléatoire qui, à tout échantillon de pièces prélevées avec remise, associe le nombre de dans cet échantillon.
suit la loi binomiale
(
;
).
Calcul d'une probabilité
. On appelle
la variable aléatoire qui, à tout échantillon de pièces prélevées avec remise, associe le nombre de dans cet échantillon. La variable aléatoire
suit donc la loi binomiale
( ; ).
Calculer à
près la probabilité d'avoir dans cet échantillon :
.
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