Isométries de l'espace

Sommaire

Ce document présente les isométries de l'espace affine euclidien orienté de dimension 3, noté E. L'espace vectoriel euclidien associé est noté E.

Vous pouvez consulter ce document page à page ou à partir du tableau des isométries.

Il a pour base la partie VI du polycopié "Géométrie euclidenne" rédigé par Marie-Claude DAVID, Daniel PERRIN, Frédéric HAGLUND et utilisé à la préparation au CAPES de mathématiques à Orsay (Université Paris-Sud).

Les isométries vectorielles

Sommaire de la partie des isométries vectorielles.
  1. Orientation d'un plan vectoriel de l'espace par un vecteur normal
  2. Droites propres et plans stables par une isométrie vectorielle
  3. Les symétries orthogonales de l'espace vectoriel de dimension 3 (isométries vectorielles admettant trois valeurs propres réelles)
  4. Les isométries vectorielles admettant une seule valeur réelle
  5. Liste des isométries vectorielles (définitions)
  6. Forme de la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base orthonormée bien choisie
  7. Nature d'une isométrie vectorielle donnée par sa matrice dans une base othonormée directe

Orientation d'un plan vectoriel de l'espace par un vecteur normal

Soit P un plan vectoriel de E et soit e 1 un vecteur unitaire orthogonal à P. Par définition, l'orientation de P définie par e 1 est la suivante : si =(e 2,e 3) est une base orthonormée de P, on dit que est directe si la base (e 1,e 2,e 3) est directe.

Remarque : Attention, si l'on change e 1 en e 1, l'orientation de P est renversée.

Droites propres et plans stables par une isométrie vectorielle

Comme E est de dimension 3, tout endomorphisme de E admet une ou trois valeurs propres réelles (comptées avec leur multiplicité)
Le polynôme caractéristique de l'endomorphisme est de degré 3 donc s'annule au moins une fois sur RR.

Proposition : Soit f une isométrie vectorielle admettant la valeur propre réelle λ, soit D une droite propre associée à λ et soit P=D le plan orthogonal à D. Alors, on a λ=±1 et le plan P est stable par f.

Démonstration : Les valeurs propres d'une isométrie sont ±1
En effet, si u est un vecteur propre non nul associé à la valeur propre λ, on a
u=f(u)=λ.u
. La stabilité du plan orthogonal vient de la conservation de l'orthogonalité et de la stabilité de D.

Corollaire : Une droite vectorielle est stable par une application linéaire si et seulement si c'est une direction propre pour cette application linéaire. Un plan est stable par une isométrie vectorielle si et seulement s'il est orthogonal à une direction propre.

Les symétries orthogonales de l'espace vectoriel de dimension 3

La proposition suivante permet d'affirmer qu'une isométrie vectorielle qui admet trois valeurs propres réelles (comptées avec leur ordre de multiplicité) est diagonalisable, et plus précisément une symétrie orthogonale (bien sûr).
Proposition : Soit f une isométrie vectorielle admettant 3 valeurs propres réelles. Alors f est une symétrie orthogonale.

Démonstration : Soit D une droite propre de f pour la valeur propre lambda = pm 1 . Comme le plan P=D est stable par f, la restriction f P est une isométrie de P qui admet deux valeurs propres réelles. Vue la classification des isométries en dimension 2, f P est donc l'identité, la symétrie centrale ou une symétrie axiale. Dans tous les cas, f P est diagonalisable et donc f aussi. Comme les valeurs propres de f sont pm 1, il en résulte que f est une symétrie.

Liste des symétries orthogonales

Définition. Soit f la symétrie orthogonale par rapport au sous-espace Vde E. Il y a quatre cas :

Les isométries vectorielles admettant une seule valeur réelle

Proposition : Soit f une isométrie vectorielle admettant une unique valeur propre réelle λ, soit D la droite propre associée à λ et P le plan orthogonal à D.
  1. La restriction de f à P est une rotation de P.
  2. Si on a λ=1 (resp. λ=1) l'isométrie f est positive (resp. négative).
  3. Si e 1 est un vecteur unitaire de D, il existe un unique réel θ modulo 2π tel que la matrice de f dans toute base orthonormée directe de premier vecteur e 1 soit

A=(λ 0 0 0 cosθ sinθ 0 sinθ cosθ )


Démonstration : Comme f P n'a pas de valeur propre réelle, la classification des isométries planes montre que c'est une rotation. Cela prouve les points 1 et 2.

On considère l'orientation de P définie par e 1. Si =(e 1,e 2,e 3) est une base directe de E, (e 2,e 3) est alors une base directe de P et si θ est l'angle de la rotation f P dans P muni de cette orientation , on a bien la matrice annoncée dans .

Liste des isométries vectorielles

Les symétries orthogonales

Définition. Soit f la symétrie orthogonale par rapport au sous-espace Vde E. Il y a quatre cas :

Les rotations

Définition. Soit f une isométrie vectorielle admettant une matrice du type

A=(1 0 0 0 cosθ sinθ 0 sinθ cosθ )

dans une base orthonormée directe (e 1,e 2,e 3).

On dit que f est la rotation vectorielle d'axe orienté (D,e 1) et d'angle θ/2π et on la note ρ(D,e 1,θ).

Une rotation est une isométrie positive.

Remarques
  1. On notera que toutes les isométries vectorielles positives sont des rotations. Les demi-tours sont des rotations d'angle π. En particulier elles admettent 1 comme valeur propre.
  2. Attention, si on change l'orientation de D, l'angle de la rotation est changé en son opposé:
    ρ(D,e 1,θ)=ρ(D,e 1,θ).
    Cependant, l'angle de l'identité qui est nul et celui des demi-tours qui vaut π ne changent pas si l'on change l'orientation de l'axe.

Les antirotations

Définition. Soit f une isométrie vectorielle admettant une matrice du type

A=(1 0 0 0 cosθ sinθ 0 sinθ cosθ )

dans une base orthonormée directe (e 1,e 2,e 3) avec θ0,π (mod 2π).

On dit que f est l'antirotation vectorielle d'axe (D,e 1) et d'angle θ.

Une antirotation est une isométrie négative.

Cette appellation nous semble commode, mais elle n'est pas standard. La plupart des auteurs ne donnent pas de nom spécifique à cette transformation.

Forme de la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base orthonormée bien choisie

Toutes les isométries vectorielles admettent une matrice de la forme

(λ 0 0 0 cosθ sinθ 0 sinθ cosθ )

dans une base orthonormée bien choisie (e 1,e 2,e 3).

En effet, on retrouve

et bien sûr Remarques :
  1. On notera que, sauf dans le cas des symétries orthogonales, la droite engendrée par e 1 est bien déterminée : c'est la droite propre relative à λ.
  2. La matrice d'une symétrie orthogonale est symétrique dans toute base orthonormée.
    En effet, si A est la matrice d'une symétrie orthogonale dans une base orthonormée, elle vérifie A 1=A et comme elle est orthogonale, elle vérifie aussi A 1= tA, dans A est symétrique.
  3. Dans la pratique, il n'est pas nécessaire de trouver la base où la matrice de f est de cette forme pour déterminer sa nature (Voir la suite) .

Nature d'une isométrie vectorielle donnée par sa matrice dans une base othonormée directe

Soit B une base orthonormée directe de E et f une isométrie de E de matrice A dans B. Exercice 1: Déterminer une matrice orthogonale. Exercice 2 : Reconnaître un demi-tour, une réflexion, une rotation, une antirotation sur sa matrice.
Exercice 3 : Etude d'une rotation donnée par sa matrice.
Exercice 4 : Déterminer les éléments caractéristiques d'une rotation ou d'une antirotation.

Les isométries affines

Pour commencer, consultez des Résultats importants de géométrie affine .
Dans l'espace affine :

Résultats importants de géométrie affine

Valeur propre 1 et points fixes

Proposition : Soit f une application affine d'un espace affine E de dimension finie dans lui-même et soit f l'application linéaire associée à f. Alors, l'application f admet un unique point fixe si et seulement si 1 n'est pas valeur propre de f.

Commutation avec une translation

Proposition : Soient g une application affine d'un espace affine E de dimension finie dans lui-même et v un vecteur de E. Les applications g et t v commutent si et seulement si v appartient au sous-espace propre Ker(g Id E)

Décomposition des applications affines

Théorème : Si une application affine f de E dans E vérifie :

E= Ker(fId E)Im(f Id E)

alors f s'écrit de manière unique t vg
  1. g est une application affine admettant un point fixe,
  2. le vecteur v appartient à Ker(fId E)
  3. g et t v commutent.

D'après la proposition précédente, les affirmations (2) et (3) du théorème sont équivalentes.


Cas particulier des isométries affines

Corollaire : Une isométrie affine vérifie les hypothèses du théorème de décomposition des applications affines.

Les déplacements de l'espace

Théorème : Les déplacements de E sont :

Démonstration : Soit f un déplacement et f l'application linéaire associée. En vertu de la liste des isométries vectorielles , f est une rotation vectorielle d'angle θ/2π. Si θ est nul, f est l'identité, donc f est une translation ou l'identité. Sinon, comme f admet la valeur propre 1, il y a deux cas :
  1. L'application f a un point fixe : dans ce cas elle a toute une droite de points fixes et c'est une rotation ,
  2. L'application f n'a pas de point fixe : dans ce cas, elle s'écrit comme composée d'une rotation et d'une translation de vecteur non nul (appartenant à la direction de l'axe de la rotation) qui commutent d'après le théorème de décomposition . C'est alors un vissage .

Définition d'une rotation affine

Définition.

Soit D une droite, orientée par le choix d'un vecteur e non nul de D, et soit θ/2π.
On appelle rotation d'axe orienté (D,e) et d'angle theta l'application affine notée ρ(D,e,θ) définie par :

  1. ρ(D,e,θ)(a)=a pour tout point a de D,
  2. ρ(D,e,θ) est la rotation vectorielle ρ d'axe (D,e) et d'angle θ.
Remarques.

Définition d'un vissage

Définition.

Soit D une droite, orientée par le choix d'un vecteur e non nul de D, soit θ/2π et soit vD.
On appelle vissage d'axe orienté (D,e), d'angle theta et de vecteur v l'application affine ρ(D,e,θ)t v=t vρ(D,e,θ).

Les antidéplacements de l'espace

Théorème : Les isométries négatives de E sont

Démonstration : Les antirotations vectorielles n'ayant pas la valeur propre 1, les applications affines associées ont un unique point fixe et sont donc des antirotations affines .

En revanche, les réflexions ont la valeur propre 1 d'où les deux cas ci-dessus (voir Résultats importants de géométrie affine ).

Définition d'une antirotation affine

Définition.

Soit D une droite de E que nous orienterons en choisissant un vecteur e non nul de D, soit a un point de D et soit θ/2π, θ0,π.
On appelle antirotation de centre a, d'axe (D,e) et d'angle θ l'application affine ϕ=ϕ(a,D,e,θ) définie par :

  1. ϕ(a)=a
  2. ϕ est l' antirotation vectorielle d'axe (D,e) et d'angle θ.

Une antirotation est la composée commutative d'une réflexion et d'une rotation.

Droites et plans stables par une isométrie affine

Voici une méthode de recherche des sous-espaces stables par une isométrie affine.

Soit G un sous-espace affine de direction stable par f. S'il existe un point m de G tel que f(m) appartienne à G, alors G est stable par f, s'il existe un point m de G tel que f(m) n'appartienne pas à G, alors G n'est pas stable par f.

Lorsque que vous avez déterminé les droites et les plans stables par chaque type d'isométrie, vous pouvez tester vos connaissances sur le sujet à l'aide de l' exercice de récapitulation .

Exercices

  1. QCM sur les isométries affines.
  2. Points fixes, droites et plans stables d'une isométrie affine.
  3. Caractériser une isométrie par sa trace.

Tableau des isométries de l'espace

Soit f une isométrie affine dont l'application linéaire associée est f. On note A la matrice de f dans une base orthonormée directe donnée de l'espace orienté. (Dans la pratique, il n'est pas nécessaire de calculer les valeurs propres de A pour connaître la nature de f. Pourquoi ? )


  ISOMETRIES POSITIVES ISOMETRIES NEGATIVES
f 1 est valeur propre simple.
D= Ker(f Id)
Le choix d'un vecteur directeur e de D oriente le plan P=D .
D et P sont stables par f.
1 est valeur propre triple 1 est valeur propre double. 1 n'est pas valeur propre.
f a une valeur propre réelle.
A n'est pas symétrique
f a 3 valeurs propres réelles : 1,-1,-1
A est symétrique
f= Id E P= Ker(f Id)
f a 3 val. propres réelles : 1,1,-1

A est symétrique
-1 est valeur propre triple -1 est valeur propre simple.
D= Ker(f+ Id)
Le choix d'un vecteur directeur e de D oriente le plan P=D .
D et P sont stables par f
f P est une rotation d'angle θ distinct de 0 et π
f P est une rotation d'angle θ distinct de 0 et π f P = Id P
f=ρ(D,e,θ), rotation vectorielle d'axe D orienté par e et d'angle θ distinct de 0 et π f est le demi-tour d'axe D ou symétrie par rapport à D f est la réflexion vectorielle par rapport à P f= Id E f=φ(D,e,θ), l' antirotation vectorielle d'axe D orienté par e et d'angle θ distinct de 0 et π
f a au moins un point fixe Les points fixes de f forment une droite D de direction D. Les plans perpendiculaires à D sont stables par f. Tous les points sont fixes.
f est l'identité.
f a un plan P de points fixes de direction P. f a un unique point fixe c.
f est la rotation affine d'axe D orienté par e et d'angle θ distinct de 0 et de π f est le demi-tour (ou la symétrie) d'axe D. f est la réflexion par rapport à P f est la symétrie centrale de centre c. f est l' antirotation affine de centre c, d'axe c+D orienté par e et d'angle θ distinct de 0 et π
f=s Pρ(D,e,θ)P est le plan passant par c orthogonal à D.
f n'a aucun point fixe f est un vissage .
Sa décomposition canonique est :
f=ρ(D,e,θ)t u =t uρ(D,e,θ)
u est un vecteur non nul de D.
f est une translation de vecteur non nul. f est une réflexion glissée .
f=t us Pu est un vecteur non nul de P.

Comme f n'admet pas la valeur propre 1, f a un unique point fixe.

étude des isométries vectorielles et affines en dimension 3.
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