Paquet d'exercices pour le L1-MASS
--- Introduction ---
Ce module regroupe 24 exercices de mathématiques, développés à l'intention des étudiants
de première année du parcours MASS (Mathématiques Appliquées aux Sciences Sociales) de la faculté
des sciences de l'université de Nice.
Les exercices traitent de fonctions d'une ou deux variables réelles et évoquent quelques
termes utilisés en microéconomie, comme ceux de fonction d'utilité, de fonction de production,
d'élasticité ou de taux marginal de substitution (par exemple).
Ces exercices ont été conçus en collaboration avec Mme Smolders-Junca Martine,
coordonnatrice de la première année du parcours MASS. Ils ont été utilisés en 2007 et
2008 aussi bien en séance notée qu'en séance de tutorat.
Approximation - fonction de Cobb-Douglas
(Cet exercice comporte deux questions auquelles on répond étape par étape)
On considère la fonction
définie au voisinage de
par
.
Etape 1: Ecrire, au voisinage de
, en fonction de
et
, l'approximation affine de
.
Etape 2: Vous avez trouvé à l'étape 1 que l'approximation affine de
est
.
Utiliser ce résultat pour calculer l'approximation affine de
L'approximation affine de
au voisinage de
est
.
L'approximation affine de
est
.
Approximation linéaire - Exemple simple
Calculez la valeur approchée obtenue par une approximation linéaire de:
Votre réponse:
Approximation - fonction log
(Cet exercice comporte deux questions auquelles on répond étape par étape)
On considère la fonction
définie au voisinage de
par
.
Etape 1: Écrire, au voisinage de
, en fonction de
et
, l'approximation affine de
.
Etape 2: Vous avez trouvé à l'étape 1 que l'approximation affine de
est
.
Utiliser ce résultat pour calculer l'approximation affine de
L'approximation affine de
au voisinage de
est
L'approximation affine de
est
.
Approximation - fonction quadratique
(Cet exercice comporte deux questions auquelles on répond étape par étape)
On considère la fonction
définie au voisinage de
par
.
Etape 1: Écrire, au voisinage de
, en fonction de
et
, l'approximation affine de
.
Etape 2: Vous avez trouvé à l'étape 1 que l'approximation affine de
est
.
Utiliser ce résultat pour calculer l'approximation affine de
.
L'approximation affine de
au voisinage de
est
L'approximation affine de
est
.
Utilité - Un bien pour un autre
(En trois étapes: on calcule un certain nombre d'unités que l'on est prêt à céder, ensuite on calcule un TMS)
Ma fonction d'utilité pour les
biens 1 et
2 est:
.
,
représentent les quantités respectives des biens 1 et 2.
Je consomme unités de
bien 1 et unités de
bien 2. À combien d'unités de
bien 1 suis-je prêt(e) à renoncer pour obtenir une unité supplémentaire de
bien 2 (sans changer le niveau d'utilité)?
Rappel: Quand je consommais unités de bien 1 et unités de bien 2, j'étais prêt(e) à renoncer à unités de bien 1 pour obtenir une unité supplémentaire de bien 2 (sans changer le niveau d'utilité).
Maintenant je consomme unités de
bien 1 et unités de
bien 2. Je suis prêt à céder une unité du
bien 1, à condition de garder mon niveau d'utilité. Combien d'unités du
bien 2 faut-il alors me proposer?
En utilisant les formules du cours, calculer le TMS (taux marginal de substitution du
bien 2 au
bien 1) en les points
et
.
Je suis prêt(e) à renoncer à
unités de bien 1 .
Il faut me proposer
unités de bien 2 pour que je garde mon niveau d'utilité .
Le TMS au point
est
Le TMS au point
est
Domaine ln, racine: f(x,y)
On considère la fonction de deux variables
donnée par la formule
.
Dans la liste des zones coloriées ci-dessous, indiquez celle correspondant au domaine de définition de
.
Domaine et dérivées partielles: f(x,y)
(En deux étapes: dans la première étape on calcule le domaine de définition et dans la seconde on calcule des dérivées partielles)
On considère la fonction de deux variables
donnée par la formule
.
Dans la liste des zones coloriées ci-dessous, indiquez celle correspondant au domaine de définition de
.
La fonction de deux variables
donnée par la formule
a pour domaine de définition la zone coloriée ci-dessous.
Calculer les dérivées partielles de
(
)
Concavité - ln + quadra
On considère la fonction de deux variables
définie au voisinage du point
par .
Calculer
, la matrice hessienne de
au point
et étudier la concavité de
en ce point.
On a
La matrice hessienne de
en
La concavité de
en
Concavité - fonction quadratique
On considère la fonction de deux variables f définie par .
Calculer la matrice hessienne de
et étudier la concavité de
sur
La matrice hessienne de
La concavité de
:
TMS au point d'équilibre
(En deux étapes: on calcule une contrainte budgétaire, ensuite on calcule un TMS)
Un consommateur dispose d'un budget de euros qu'il épuise dans l'achat de deux biens: X et Y. Les préférences du consommateur sont représentées par la fonction d'utilité
.
où
,
représentent les quantités respectives des biens X et Y.
Les prix unitaires respectifs en euros des biens X et Y sont
et
.
Etape 1: Déterminer la contrainte budgétaire du consommateur.
Etape 2: Calculer le point d'équilibre (point d'utilité maximale pour ce budget) du consommateur et calculer le TMS (taux marginal de substitution du bien Y au bien X) en ce point d'équilibre.
(Rappel: la contrainte budgétaire équivaut à
)
La contrainte budgétaire du consommateur est:
Le point d'équilibre
du consommateur est:
=(
,
)
Le TMS pour ce point d'équilibre est:
Elasticité relative -fonction demande-
(Cet exercice comporte trois questions auquelles on répond étape par étape)
Soit
la fonction de demande donnée par la formule:
où
est le prix et
le revenu.
Etape 1: Pour un revenu fixe
, lorsque le prix passe de
à
, la demande passe de
à
.
Calculer
lorsque
.
Etape 2:
À l'étape 1, on a vu que pour un revenu fixe
, lorsque le prix passe de
à
, où
, la demande passe de
à
, avec
.
Maintenant, pour un prix fixe
, lorsque le revenu passe de
à
, la demande passe de
à
. Calculer
lorsque
.
Etape 3:
On a vu que pour un revenu fixe
, lorsque le prix passe de
à
, la demande passe de
à
. De même, pour un prix fixe
, lorsque le revenu passe de
à
, la demande passe de
à
.
Pour
et
, calculer:
- l'élasticité
de la demande par rapport au prix
- l'élasticité
de la demande par rapport au revenu
À revenu fixe, pour
on a
=
.
À prix fixe, pour
on a
=
.
- élasticité de
par rapport à
- élasticité de
par rapport à
Elasticité d'une demande affine
(Cet exercice comporte deux questions indépendantes auquelles on répond l'une après l'autre)
Soit
la fonction de demande donnée par la formule:
.
Etape 1: Lorsque le prix passe de
à
, la demande passe de
à
.
Calculer
lorsque
.
Etape 2: Calculer l'élasticité de la demande lorsque
.
Pour
on a
=
.
L'élasticité de la fonction
en est
=
.
Domaine de définition -f(x,y)-
On considère la fonction de deux variables
donnée par la formule
.
Dans la liste des zones coloriées ci-dessous, indiquez celle contenue dans le domaine de définition de
.
Elasticité - Exemple 1
L'élasticité de la demande par rapport au prix d'un produit est égale à
.
Le prix d'une unité de ce produit est de euros. À, ce prix, il y a unités vendues par jour.
La consommation passe à unités par jour suite à une augmentation de prix.
Quelle est en pourcentage la dimunition d'unités vendues par jour?
La vente a diminué de
%
Donner l'augmentation du prix et le nouveau prix:
Le prix a augmenté de
% et le nouveau prix est de
€.
Offre quadratique - élasticité
(Cet exercice comporte deux questions auquelles on répond étape par étape)
Soit
la fonction d'offre donnée par la formule:
.
Etape 1: Lorsque le prix passe de
à
, l'offre passe de
à
.
Calculer
lorsque
et
.
Etape 2:
À l'étape 1 on a vu que lorsque le prix passe de
à
, l'offre passe de
à
.
Calculer l'élasticité-prix de l'offre lorsque
.
Pour
et
, on a
=
.
L'élasticité de la fonction
en est
=
.
Solution:
En utilisant la formule
donnant l'élasticité on trouve que l''élasticité de la fonction
en
est
.
Panier optimal - Utilité en ln -
On suppose que les préférences de pour deux biens (bien 1, bien 2) sont modélisées par la fonction d'utilité
définie par:
.
où
,
représentent les quantités respectives des biens 1 et 2.
On suppose que dispose d'un budget de € à dépenser en totalité. Le prix unitaire du bien 1 est de € et celui du bien 2 de €.
Avec ce budget de €, comment doit- répartir ses achats pour une utilité maximale?
- nombre d'unités du bien 1: x=
- nombre d'unités du bien 2: y=
Panier optimal - Utilité monomiale -
On suppose que les préférences de pour deux biens (bien 1, bien 2) sont modélisées par la fonction d'utilité
définie par:
où
,
représentent les quantités respectives des biens 1 et 2.
On suppose que dispose d'un budget de € à dépenser en totalité. Le prix unitaire du bien 1 est de € et celui du bien 2 de €.
Avec ce budget de €, comment doit- répartir ses achats pour une utilité maximale?
- nombre d'unités du bien 1:
- nombre d'unités du bien 2:
Production - élasticité
(Cet exercice comporte quatre questions auquelles on répond étape par étape)
On suppose que la fonction de production d'une entreprise dépend du facteur travail
et du facteur capital
et est donnée par la formule:
.
Etape 1: Calculer la production lorsque
et
.
Etape 2: Les facteurs travail et capital augmentent de %. Comment varie la production?
Etape 3: Tout en conservant la production correspondant à
et
(pour mémoire, cette production est de unités), l'entrepreneur décide une augmentation relative du capital investi de ( pour 1000).
Soit
la courbe isoquante correspondant à
et
. En approximant
par sa tangente en
, dire quelle est la conséquence de cette augmentation de capital sur le travail.
Etape 4: À l'étape 3 on a vu qu'en conservant la production correspondant à
et
et en augmentant le capital investi de ( pour 1000), le travail diminuait de /1000.
Plus généralement, quelle est l'élasticité du facteur travail par rapport au facteur capital?
Lorsque
et
la production est de
unités.
Lorsque les facteurs travail et capital augmentent de %, la production
de
%.
Dans ces conditions le facteur travail
de
/1000.
Pour la fonction de production considérée ici, l'élasticité-capital du facteur travail est égale à
.
Revenu minimum à utilité affine fixée
(Deux questions successives: on calcule une contrainte utilitaire et on cherche un budget minimal permettant de l'atteindre)
Deux biens, bien 1 et bien 2 ont pour prix unitaires respectifs € et €.
On suppose que les préférences d'un consommateur pour ces deux biens sont modélisées par la fonction d'utilité
définie par:
où
,
représentent les quantités respectives des biens 1 et 2.
À supposer que le niveau d'utilité à atteindre soit fixé à
.
Donner l'équation exprimant la contrainte utilitaire du consommateur.
Votre réponse: .
L'équation exprimant la contrainte utilitaire du consommateur est donnée par:
.
La droite utilitaire est tracée en sur le dessin ci-dessous.
Le niveau d'utilité à atteindre étant fixé à
, quel est le budget minimal dont doit disposer le consommateur pour atteindre ce niveau?
Votre réponse: €.
Pour atteindre le niveau d'utilité
, le consommateur doit disposer au minimum de €. La droite du budget est tracée en rouge sur le dessin ci-dessous.
Équation de la contrainte utilitaire:
Budget minimal dont le consommateur doit disposer:
€
Utilité fixée - Budget minimal -
On suppose que les préférences de pour deux biens (bien 1, bien 2) sont modélisées par la fonction d'utilité
définie par:
où
,
représentent les quantités respectives des biens 1 et 2.
On suppose que le prix unitaire du bien 1 est de € et celui du bien 2 de €.
Le niveau d'utilité à atteindre étant fixé à
, quel est le budget minimal dont doit disposer pour atteindre ce niveau d'utilité?
Le budget minimal pour atteindre l'utilité :
€ (au centime près).
Utilité affine
(Trois questions successives: on calcule un niveau d'utilité, une droite de budget et une utilité maximale)
On suppose que les préférences d'un consommateur pour deux biens (bien 1, bien 2) sont modélisées par la fonction d'utilité
définie par:
où
,
représentent les quantités respectives des biens 1 et 2.
À quel niveau d'utilité correspond la droite d'indifférence (droite ) ci-dessous?
Votre réponse: .
Cette droite d'indifférence correspond à un niveau d'utilité égale à:
On suppose que le consommateur dispose d'un budget de
€. Sachant que le prix unitaire du bien 1 est de
€ et celui du bien 2 de
€ donner l'équation exprimant la contrainte budgétaire du consommateur.
Votre réponse: .
Avec un budget de
€, les prix unitaires des bien 1 et bien 2 étant respectivement de
€ et
€, l'équation exprimant la contrainte budgétaire du consommateur est donnée par:
. La droite du budget est tracée en rouge sur le dessin ci-dessus.
Dans ces conditions, quelle utilité maximale le consommateur peut-il atteindre?
Votre réponse: .
L'utilité maximale atteinte par le consommateur, pour un budget de
€ est égale à
.
Cette droite d'indifférence correspond à un niveau d'utilité égale à:
.
Équation de la contrainte budgétaire:
Utilité maximale atteinte par le consommateur, pour un budget de
€:
Utilité de type x^a y^b -Max-
(Deux questions successives: on calcule une contrainte budgétaire puis une utilité maximale)
On suppose que les préférences d'un consommateur pour deux biens (bien 1, bien 2) sont modélisées par la fonction d'utilité
définie par:
où
,
représentent les quantités respectives des biens 1 et 2.
On suppose que le consommateur dispose d'un budget de
€ à dépenser en totalité.
Le prix unitaire du bien 1 est de
€ et celui du bien 2 de
€.
En utilisant la contrainte budgétaire, exprimer
en fonction de
.
Votre réponse:
.
Solution: de l'égalité
on déduit que
.
Dans ces conditions, quelle utilité maximale le consommateur peut-il atteindre?
Votre réponse:
. Solution: en remplaçant
par
dans l'expression de la fonction d'utilité
, on se ramène à chercher le maximum de la fonction
définie par
.
On trouve que l'utilité maximale atteinte par le consommateur, pour un budget de
€ est égale à
.
Expression de
en fonction de
.
Utilité maximale atteinte par le consommateur, pour un budget de
€:
Vacances optimales - aln(x)+y -
dispose d'un budget de vacances de
€ qu' répartit intégralement pour couvrir ses frais de séjour (
) et ses frais de déplacements (
). Sa fonction d'utilité
est définie par:
où
désigne la durée du séjour en jours et
la distance parcourue en
.
évalue à
€ le prix d'une journée et à
€ le prix du
.
Avec ce budget de
€, comment doit- organiser ses vacances pour maximiser sa satisfaction?
nombre de journées:
nombre de
Vacances optimales - bln(y)+x -
dispose d'un budget de vacances de
€ qu' répartit intégralement pour couvrir ses frais de séjour (
) et ses frais de déplacements (
). Sa fonction d'utilité
est définie par:
où
désigne la durée du séjour en jours et
la distance parcourue en
.
évalue à
€ le prix d'une journée et à
€ le prix du
.
Avec ce budget de
€, comment doit- organiser ses vacances pour maximiser sa satisfaction?
nombre de journées:
nombre de
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