OEF limieten
--- Introductie ---
Deze module bevat op dit moment 7 oefeningen over het berekenen van limieten van logaritmische en exponentiele functies
De vereiste en te testen vaardigheden:
-
Limieten van polynomen en hyperbolische functies
-
Limieten van exponentiele en logaritmische functies
-
Limieten van sommen, producten en quotienten van samengestelde functies en tussenvormen
-
Groeieigenschappen van polynomen, exponentiele en logaritmische functies
De oefeningen zijn opgebouwd uit diverse stappen.
Ook al is er een foutief antwoord gegeven op een tussenstap, gaat de oefening gewoon verder.
[de goede antwoorden van de tussenstappen worden na elke stap getoond.]
De limiet van u(x)*exp(kx)
We nemen de functie
gedefinieerd in .
De bedoeling van deze oefening is om stap voor stap de limieten van
in en in te berekenen.
- Laat
de functie
zijn, gedefinieerd in .
Bepaal de limieten van
in en in : (
)
=
en
=
- De limieten van
in en in zijn:
en
- Nu gaan we de limieten van
in en in bepalen : (
)
=
en
=
- De limieten van de exponentiële functie in en in zijn:
en
- Uit de voorafgaande berekeningen kunnen we de limiet van
in afleiden door
te gebruiken:
=
- Uit de voorafgaande berekeningen en kunnen we herleiden dat:
- Uit de voorafgaande berekeningen kunnen we - met
- de limiet van
in herleiden :
=
De limiet van u(x)*ln(kx)
We nemen de functie
gedefinieerd op .
De bedoeling van deze oefening is om stap voor stap de limieten van
in en in te berekenen.
- Laat
de functie
zijn, gedefinieerd in .
Bepaal de limieten van
in en in : (
)
=
en
=
- De limieten van
in en in zijn:
en
- Nu gaan we de limieten van
op en in bepalen : (
)
=
en
=
- De limieten van de logaritmische functie in en in zijn:
en
- Uit de voorafgaande berekeningen kunnen we de limiet van
in afleiden door
te gebruiken:
=
- Uit de voorafgaande berekeningen en kunnen we herleiden dat:
- Uit de voorafgaande berekeningen kunnen we - met
- de limiet van
in herleiden :
=
De limiet van k*ln(ax+b) of k/ln(ax+b)
Laat de functie
op
gedefinieerd zijn door:
De bedoeling van deze serie oefeningen is het stap voor stap bepalen van de limiet van
in
,
.
- De functie
is van het type
met:
=
en
=
- De functie
is van het type
met
en
.
- Bepaal de limiet van
in : (
)
=
- De limiet van
in is:
- Bepaal de limiet van
in
)
=
- Door de eigenschappen van een logaritmische functie, weten we dat:
- Door substitutie van
en samenstelling van de limieten, volgt dat: (
)
=
- Door samenstelling volgt dat de limit van
in is::
.
- En door toepassing van de rekenregels voor limieten volgt dat:(
)
=
De limiet van k*exp(ax+b) of k/exp(ax+b)
Laat de functie
in
gedefinieerd zijn door:
.
De bedoeling van deze serie oefeningen is het stap voor stap bepalen van de limiet van
in
- De functie
is van het type
met:
=
en
=
- De functie
is van het type
met
en
.
- Bepaal de limiet van
in : (
)
=
- De limiet van
in is:
- Bepaal de limiet van
in
)
=
- Uit de eigenschappen van de exponentiele functie weten we dat:
- Door substitutie van
, en het gegeven dat
, wordt: (
)
=
- De limiet van
in is:
.
- En door toepassing van de rekenregels voor limieten, volgt dat: (
)
=
Stijgen en dalen : basis eigenschappen
Deze oefening behandeld de basis regels mbt de groeisnelheid van logaritmische dan wel exponentiële functies van een gegeven variabele en machten van deze variabele.
- De stelling:
« »
is:
- De stelling:
« » is .
Er geldt: « ».
- Formeel geldt:
=
Onbepaalde vorm met ln of exp
Laat de functie
in
gedefinieerd zijn door:
.
De we hebben
waarbij, voor elke reëele
in
geldt,
en
.
De bedoeling van deze oefening is het stap voor stap bepalen van de limiet van
in .
- Bepaal de limiet van
in :
=
- De limiet van
in is:
- Bepaal de limiet van
in :
=
- De limiet van
in is:
- Bepaal de limiet van
in
=
- Door substitutie van
, en het gegeven
, concluderen we:
=
- De limiet van
in is:
.
- Kunnen we nu de limiet van
in afleiden door gebruik te maken van de "limieten rekenregels" ?
-
De "limieten rekenregels" zijn van toepassing, omdat er geen onbepaalde vorm is.
De "limieten rekenregels" zijn niet van toepassing, vanwege de onbepaalde vorm: .
In plaats daarvan gebruiken we de "algemene groei" regels:
de exponentiele functie groeit harder dan een polynoom
elke polynoom groeit harder dan een logaritmische functie
. .
Hieruit volgt:
=
Limieten [basis]
Deze oefening test je kennis van de basale limieten van logaritmische en exponentiele functies.
Antwoord zo snel als je kunt !
Deze pagina heeft niet de standaard opmaak, omdat WIMS uw webbrowser niet herkent.
Bedenk goed dat WIMS pagina's interaktief worden gegenereerd; het zijn geen normale
HTML files. Ze moet dus ONLINE interaktief gebruikt worden. Het is verloren moeite
ze met een robot programma op te halen.
- Description: oefenen met limieten van logaritmische en exponentiële functies. This is the main site of WIMS (WWW Interactive Multipurpose Server): interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
- Keywords: wims, mathematics, mathematical, math, maths, interactive mathematics, interactive math, interactive maths, mathematic, online, calculator, graphing, exercise, exercice, puzzle, calculus, K-12, algebra, mathématique, interactive, interactive mathematics, interactive mathematical, interactive math, interactive maths, mathematical education, enseignement mathématique, mathematics teaching, teaching mathematics, algebra, geometry, calculus, function, curve, surface, graphing, virtual class, virtual classes, virtual classroom, virtual classrooms, interactive documents, interactive document, analysis, logaritme exponentiele limiet groei log exp lim limieten machtsfuncties