Extremums en plusieurs variables

Extremums en plusieurs variables


Vous vous promenez sur un chemin de montagne.
  • Vous êtes très sportif et vous désirez aller le plus haut possible dans la région dont vous avez la carte.
  • Vous êtes un peu moins sportif, vous vous contentez de suivre le chemin indiqué. A la fin de la journée, vous désirez savoir quel est le point le plus haut ou le plus bas où vous êtes passé.

L'altitude est une fonction f de deux variables, la position (x,y) sur la carte.
  • Dans le premier cas, vous cherchez à trouver le maximum de la fonction f.
  • Dans le deuxième cas, le chemin est représenté par une contrainte entre x et y donnée par une équation g(x,y)=0. La question est donc de trouver les points M 0 vérifiant g(M 0) tels que f soit extrémale en M 0 parmi les points vérifiant g(M)=0.

Voici les deux problèmes que nous allons étudier dans ce qui suit. Cela n'est pas un cours complet, mais donne quelques idées reliées à des exercices à faire.

I Problème d'extrema sans contraintes

II Problème d'extrema avec contraintes

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

IV Tous les exercices WIMS utilisés

I Problème d'extrema sans contraintes

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes

I-1 Rappel sur les fonctions d'une variable réelle

I-2 Topologie

I-3 Définitions

I-4 Existence

I-5 Condition nécessaire et points critiques

I-6 Étude locale d'un point critique

I-7 Représentation graphique d'un extremum

I-8 Méthode

I-1 Rappel sur les fonctions d'une variable réelle

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes → I-1 Rappel sur les fonctions d'une variable réelle
Dans le cas d'une fonction d'une variable sur un segment, que fait-on pour trouver les maximums d'une fonction ?
Voici un petit échantillon de fonctions pour lesquelles les extrema sont obtenus de manière différente :

Sur un segment [ a,b],
  • On sait que si la fonction est continue, elle admet un extremum. Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné I = [ a, b ] est bornée. Elle admet un maximum et un minimum atteint en un point de I.
    La question est ensuite de savoir le trouver.
  • On cherche les points où la dérivée de la fonction existe et est nulle.
    Aide
    Si la fonction f est dérivable et a un extremum dans ]a,b[, il est atteint en un réel c où la dérivée de f s'annule.

    On calcule sa valeur en ces points.
  • On regarde la valeur de la fonction sur les bords c'est-à-dire en a et b et on compare avec les valeurs aux points où la dérivée s'annule.
  • Et on n'oublie pas de regarder aux points où la fonction f n'est pas dérivable ou pas continue.

Sur un segment ]a,b[,
  • On ne sait pas si la fonction admet un extremum ou est bornée.
  • Si la fonction est dérivable, si l'extremum existe et est atteint en c, la dérivée de f s'annule en c.

I-2 Topologie

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes → I-2 Topologie
Soit D un sous-ensemble de ℝ n.

Définition

On appelle intérieur de D l'ensemble des points A de D tels qu'il existe une boule centrée en A et de rayon strictement positif contenue dans D.

.

Définition

On appelle bord de D l'ensemble des points A de ℝ 2 tels que toute boule centrée en A et de rayon strictement positif rencontre à la fois D et son complémentaire.

Le bord de D est aussi le bord de son complémentaire.

.

Définition

On dit que D est ouvert s'il est égal à son intérieur.

Définition

On dit que D est fermé s'il contient son bord, autrement dit que son complémentaire est ouvert.

I-3 Définitions

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes → I-3 Définitions
Soit f une fonction d'un sous-ensemble D de ℝ n dans ℝ et A un point de D.

Définition

On dit que f admet un maximum en A si
f(M)≤f(A)
pour tout point M∈D.

Définition

On dit que f admet un minimum en A si
f(A)≤f(M)
pour tout point M∈D.

Soit f une fonction d'un sous-ensemble D de ℝ n dans ℝ et A un point de D qui est à l'intérieur de D.

Définition

On dit que f admet un maximum (local) en A si il existe un réel positif r>0 tel que
f(M)≤f(A)
pour tout point M de la boule de centre A et de rayon r.

Définition

On dit que f admet un minimum (local) en A si il existe un réel positif r>0 tel que
f(A)≤f(M)
pour tout point M de la boule de centre A et de rayon r.

I-4 Existence

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes → I-4 Existence

Théorème

Soit f une fonction continue sur un ensemble fermé borné D de ℝ 2. Alors f admet un maximum et un minimum absolu dans D, c'est-à-dire qu'il existe M 0 et M 1 dans D tel que
f(M 0)≤f(M)≤f(M 1)
pour tout point M de D.

En particulier, une telle fonction est bornée sur D.
Le théorème précédent assure l'existence d'extrema sous certaines conditions. Il ne reste plus qu'à chercher comment les trouver.

I-5 Condition nécessaire et points critiques

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes → I-5 Condition nécessaire et points critiques

Théorème

Si A est intérieur à D, si f admet un extremum local en A, alors le gradient de f en A est nul : on dit que A est un point critique de f.

La condition nécessaire qui vient d'être donnée ne concerne que les points de D qui sont à l'intérieur de D.
Démonstration
Supposons par exemple que A est un maximum local. Alors pour H un vecteur de ℝ n et t dans un intervalle I centré en 0 suffisamment petit pour que les points A+tH appartiennent encore à D ( I dépend de H et son existence vient de ce que A est dans l'intérieur de D), la fonction
F:t↦f(A+tH)
admet un maximum local en A. Donc, F′(0)=0.
Or F′(0)=gradf(A)H˙. Donc pour tout vecteur H, gradf(A)=0.

.


Exercice

Points critiques

Exercice

Points critiques

I-6 Étude locale d'un point critique

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes → I-6 Étude locale d'un point critique
Pour déterminer si un point critique est un extremum, on doit faire une étude plus précise de la fonction :
Dans le cas d'une fonction d'une variable réelle, l'outil de démonstration est la formule de Taylor Aide
Soit f une fonction C 1 d'un intervalle I dans ℝ. Si f a un extremum en x 0, x 0 est un point critique, c'est-à-dire que f′(x 0)=0. Réciproquement,
  • si f″(x 0)>0, f admet un minimum en x 0 ;
  • si f″(x 0)<0, f admet un maximum en x 0.

C'est la même chose ici :

Théorème

Soit M 0 un point critique de f. Considérons le trinôme
Q M 0(X)=∂ 2f∂x 2(M 0)X 2+2∂ 2f∂x∂y(M 0)X+∂ 2f∂y 2(M 0))
  1. si Q M 0(X) est strictement positif pour tout X, f a un minimum local en M 0 ;
  2. si Q M 0(X) est strictement négatif pour tout X, f a un maximum local en M 0 ;
  3. si Q M 0(X) a deux racines réelles distinctes, on dit que f a un point col en M 0 ;
  4. si Q M 0(X) a deux racines réelles confondues, on dit que le point critique M 0 de f est dégénéré. Autrement dit, on ne sait rien dire.

Démonstration

  • [ On écrit la formule de Taylor ]
    On pose H=(h,k) :
    f(M 0+H)=f(M 0)+0+12(∂ 2f∂x 2(M 0)h 2+2∂ 2f∂x∂y(M 0)hk+∂ 2f∂y 2(M 0)k 2)+∥H∥ε(H)
    =f(M 0)+12Q M 0(h/k)k 2+∥H∥ε(H)
    avec varepsilon tendant vers 0 lorsque H tend vers 0.
  • [ On étudie le signe du polynôme quadratique ]
    Soit Δ=4(s 2−rt). Lorsque Δ<0, le trinôme rX 2+2sX+t prend des valeurs
    strictement positives pour tout réel X ; lorsque Δ<0 et r>0
    strictement négatives pour tout réel X non nul lorsque Δ<0 et r<0.
    Les courbes de niveau de la fonction de deux variables Q(x,y)=rx 2+2sxy+ty 2 sont des ellipses. L'équation Q(x,y)=0 a comme unique solution le point (x 0,y 0).

    .


    Lorsque Δ>0, le trinôme rX 2+2sX+t a deux racines réelles. Les courbes de niveaux de la fonction de deux variables Q(x,y)=rx 2+2sxy+ty 2 sont des hyperboles. L'équation rX 2+2sXY+tY 2=(aX−bY)(cX−dY)=0 a comme représentation graphique deux droites et sépare le plan en quatre quadrants.

    .


    Lorsque Δ=0, le trinôme rX 2+2sX+t est un carré ou l'opposé d'un carré. Les courbes de niveaux de la fonction de deux variables Q(x,y)=rx 2+2sxy+ty 2 sont des droites.

    .

  • [ Conclusion ]
    Lorsque Δ<0 , le signe de f(M 0+H)−f(M 0) au voisinage de M 0 est constant et est égal au signe du polynôme quadratique Q M 0(H).
    Lorsque Δ>0, sur chacun des quadrants, Q M 0(H) est de signe constant et f(M 0+H)−f(M 0) est du signe de hk 2kQ M 0 au voisinage de Delta dans chacun des quadrants.
    Lorsque Δ=0, on ne peut pas savoir sans renseignements supplémentaires le signe de f(M) sur la droite où Q M 0(H) s'annule.

I-7 Représentation graphique d'un extremum

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes → I-7 Représentation graphique d'un extremum

Exercice

Reconnaitre un extremum sur un dessin

I-8 Méthode

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes → I-8 Méthode
Pour trouver les points critiques, on a donc trouvé une condition analytique. Attention, le théorème n'assure pas que l'on a un extremum. Il s'agit d'une condition nécessaire.
On cherche donc les extrema parmi
  1. les points critiques ;
  2. les points où f n'est pas pas de classe C 1 ;
  3. sur les points de D qui sont sur le bord.

Le troisième cas n'arrive pas dans le cas où D est ouvert. Mais dans ce cas l'existence d'un extremum n'est pas assurée.
Exemple de toutes sortes.

Exercice

Un problème de gouttière

Exercice

La méthode des moindres carrés, La méthode des moindres carrés

Exercice

Maximum sur un domaine fermé

II Problème d'extrema avec contraintes

Extremums en plusieurs variables → II Problème d'extrema avec contraintes

II-1 Définition

II-2 Condition nécessaire et points critiques

II-3 Condition nécessaire dans le cas de deux conditions

II-4 Méthode

II-5 Exercices

II-1 Définition

Extremums en plusieurs variables → II Problème d'extrema avec contraintes → II-1 Définition

Définition

Soient f et g deux fonctions d'un domaine D de ℝ n dans ℝ . On dit que f soumis à la contrainte g=0 a un maximum en A dans D si
f(M)≤f(A)
pour tout M∈D vérifiant g(M)=0.

La représentation graphique de la contrainte peut être une courbe dans le cas de ℝ 2 ou une surface dans le cas de ℝ 3. Il peut aussi y avoir plusieurs contraintes : deux contraintes dans ℝ 3 signifient en général que les points sont sur une courbe.

II-2 Condition nécessaire et points critiques

Extremums en plusieurs variables → II Problème d'extrema avec contraintes → II-2 Condition nécessaire et points critiques
Soit g une fonction C 1 définie sur un ouvert de ℝ n et f une fonction C 1 définie sur un ouvert U. On suppose que l'ensemble des points de U tels que g(M)=0 est non vide.

Théorème

Soit M 0 un extremum de f sous la condition g(x,y)=0. Alors, les vecteurs gradf(M 0) et gradg(M 0) sont colinéaires.

Autrement dit, dans le cas de ℝ 2, la courbe C définie par g(x,y)=0 est tangente en M 0 à la courbe de niveau de f qui passe par le point M 0.
Démonstration

(dans le cas n=2). Si gradf(M 0) est nul, la conclusion du théorème est vraie.
Supposons gradf(M 0) non nul :
  • si ∂f∂x(M 0)≠0, on peut démontrer qu'il existe une fonction h sur un intervalle I telle que (x,y)∈C et x∈I si et seulement si y=h(x), x∈I et que M 0=(x 0,h(x 0)). La fonction R(x)=f(x,h(x)) doit avoir un extremum en x 0. Donc R′(x 0)=0. Donc, en dérivant R :
    ∂f∂x(x 0,h(x 0))+h′(x 0)∂f∂y(x 0,h(x 0))=0

    D'autre part, comme g(x,h(x))=0 en dérivant, on obtient
    ∂g∂x(x 0,h(x 0))+h′(x 0)∂g∂y(x 0,h(x 0))=0

    Autrement dit, on doit avoir
    gradf(M 0)+h′(x 0)gradg(M 0)=0
    ce qui implique que les deux vecteurs gradf(M 0) et gradg(M 0) sont liés.
  • Si ∂f∂x(M 0)=0, nécessairement, ∂f∂y(M 0)≠0 et on peut faire un raisonnement analogue en échangeant les rôles de x et de y.

II-3 Condition nécessaire dans le cas de deux conditions

Extremums en plusieurs variables → II Problème d'extrema avec contraintes → II-3 Condition nécessaire dans le cas de deux conditions
Soient f, g 1 et g 2 trois fonctions C 1 de ℝ 3

Théorème

Soit M 0 un extremum de f soumis aux conditions g 1(x,y,z)=0, g 2(x,y,z)=0. Alors, les vecteurs grad f(M 0), grad g 1(M 0) et grad g 2(M 0) forment un système de vecteurs liés dans ℝ 3 .

Autrement dit, lorsque gradg 1(M 0) et gradg 2(M 0) engendrent un plan (ce qui se produit en général), le gradient de f en M 0 appartient à ce plan.
C'est ce qu'on appelle les conditions de Lagrange.
Le problème et le théorème ont des généralisations à des dimensions plus grandes, mais nous nous contenterons ici de ces cas-là.

II-4 Méthode

Extremums en plusieurs variables → II Problème d'extrema avec contraintes → II-4 Méthode
Les extrema d'une fonction f soumise à une ou plusieurs contraintes g 1(x,y)=0, g 2(x,y)=0, ... doivent être cherchés
  1. parmi les points M où les fonctions ne sont pas C 1, parmi les points où les grad g i(M) sont des vecteurs liés (par exemple nuls).
  2. parmi les points M où grad f(M) appartient à l'espace vectoriel engendré par grad g 1(M), grad g 2(M) ... (points critiques ou points vérifiant la condition de Lagrange)
  3. aux bords s'il y en a.

Dans le cas d'une seule contrainte g(M)=0, la deuxième condition dit que grad f(M) est colinéaire à grad g(M) en un tel point M.

II-5 Exercices

Extremums en plusieurs variables → II Problème d'extrema avec contraintes → II-5 Exercices

Exercice

Maximum d'un volume

Exercice

Maximum d'un volume avec conditions

Exercice

Distance à une conique

Exercice

Distance à une courbe

Exercice

Deux conditions

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

Extremums en plusieurs variables → III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

Soit f:ℝ n→ℝ une fonction et D un sous-ensemble de ℝ n défini par
D={M∈ℝ n∣g(M)≤c}
où g est une fonction de ℝ n dans ℝ.
Pour trouver le maximum et minimum absolu de f sur D :
  • Trouver tous les points critiques de f dans l'intérieur U={M∈ℝ n∣g(M)<c} de D, c'est-à-dire les points de U où le gradient de f est nul.
  • Trouver les points critiques de f restreint au bord ∂D={M∈ℝ n∣g(M)=c} de D : on peut par exemple utiliser la méthode des extrema liés, il s'agit alors de trouver les points M vérifiant g(M)=0 et tel que gradf(M) est colinéaire à gradg(M).
Si le bord peut se décrire de manière explicite (par exemple une coordonnée s'exprimant en fonction des autres), on peut aussi exprimer la restriction de f à ∂D comme une fonction de n−1 variables dont il faut trouver les extrema.

Exercice

Trouver les extrema de la fonction f définie par f(x,y)=2x 2−5y 2+2xy−3 sur le domaine défini par x 2+3y 2≤1.

Aide
Méthode
  • Chercher les points critiques à l'intérieur de l'ellipse : x 2+3y 2<1 en cherchant les points (a,b) vérifiant ∂f∂x(a,b)=0 , ∂f∂y(a,b)=0.
  • Chercher les extrema liés de f sous la contrainte g(x,y)=x 2+3y 2=1 en résolvant le système d'équations (en (a,b))
    a 2+3b 2=1
    ∣∂f∂x(a,b) ∂g∂x(a,b) ∂f∂y(a,b) ∂g∂y(a,b)∣=0

  • Comparer les valeurs de f aux points trouvés, faire une étude locale ...

IV Tous les exercices WIMS utilisés

Extremums en plusieurs variables → IV Tous les exercices WIMS utilisés
Les exercices suivants se trouvent aussi dans le corps du texte.
  • Points critiques
  • Points critiques
  • Reconnaitre un extremum sur un dessin
  • Un problème de gouttière
  • La méthode des moindres carrés
  • Maximum sur un domaine fermé
  • Maximum d'un volume
  • Maximum d'un volume avec conditions
  • Distance à une conique
  • Distance à une courbe
  • Deux conditions

document sur les extremums de fonctions de plusieurs variables.
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