Cours/TD d'algèbre linéaire

Algèbre linéaire

Ce document rassemble mes notes de Cours/TD dans le cadre de la préparation au concours externe du capes de mathématiques.

Les notes ici rassemblées concernent les
paragraphes 2.III. (1, 2, 3, 4, 6) du
programme du capes 2002 .

Réalisé sous WIMS dans le cadre du CAMPUS ESCALES, avec le soutien de l'UFR Sciences de Nice et de l'IUFM de Nice

Quelques rappels sur les espaces vectoriels

Séance 1 - durée 1h30
Séance 2 - durée 1h30

Espaces vectoriels de dimension finie

Séance 3 - durée 1h30
Séance 4 - durée 1h30

Formes linéaire - dualité

Séance 5 - durée 1h30
Séance 6 - durée 1h30

Matrice d'une application linéaire

Séance 7 - durée 1h30
Séance 8 - durée 1h30

Applications multilinéaires - Déterminants

Séance 9 - durée 1h30
Séance 10 - durée 1h30

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Séance 11 - durée 1h30
Séance 12 - durée 1h30
Séance 13 - durée 1h30
Séance 14- durée 1h30
Séance 15 - durée 1h30

Des Exos Inter-Actifs avec WIMS

Exercice sur les notions "Espaces/Sous-espaces vectoriels"

Exercice sur les matrices de trace nulle

Modules d'exercices	Exercices sur les endomorphismes d'espaces vectoriels
Modules d'exercices	Exercices sur la réduction des endomorphismes d'espaces vectoriels

Conformément au programme,
le corps de base $K$ est un sous-corps de $ℂ$

Session 1

Séance 1 - duré 1h30

Séance 2 - duré 1h30

Feuille de Travail 1

Exercice 1 Soient

V

K

- espace vectoriel ,

X

un ensemble non vide. On note

V^{X}

l'ensemble des applications de

X

dans

V

. Munir

V^{X}

d'une structure de

K

- espace vectoriel .

Petite séance d'entraînement avec WIMS

Exercice 2 Soit

E = K [X]_{n}

K

- espace vectoriel des polynômes à une variable, à coefficients dans

K

, de degré au plus

n

(

n \geq 1

$V = {P \in E ∣ \exists x \in K, P (x) = 0}$ est-il un sous-espace vectoriel de $E$ ?
Soient $W_{0} = {P \in E ∣ P (0) = 0}$ et $W_{1} = {P \in E ∣ P (1) = 0}$ .

a)

Vérifier que $W_{i} (i = 0, 1)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

$W_{0} + W_{1} = ?$

A i d e ? Oui

b)

Pour $n \geq 2$ , donner une base de $W_{0} \cap W_{1}$ .

c)

On suppose $n \geq 2$ . Soit $F_{0}$ (resp. $F_{1}$ ) un supplémentaire de $W_{0}$ (resp. $W_{1}$ ) dans $E$ . $F_{0} + F_{1}$ est-il un supplémentaire de $W_{0} \cap W_{1}$ ? Donner une base d'un supplémentaire de $W_{0} \cap W_{1}$ .

Pour continuer le travail, vous pouvez

prendre cette séance WIMS

Exercice 3 Soit

q : K^{3} ⟶ K

la forme quadratique définie par

q (x, y, z) = 2 x^{2} + \frac{5}{4} y^{2} + 10 z^{2} + xy + yz - 8 xz .

On considère . est-il un sous-espace vectoriel de

³? Même question pour .

Passer à la Feuille de Travail 2

ou retourner au Sommaire

Feuille de Travail 2

Définitions 4 Soient E et F deux K- espaces vectoriels .

L'ensemble des applications linéaires de E dans F est un K- espace vectoriel . Lorsque E=F on parle d'endomorphismes de E.
L'espace des endomorphismes de E, End_K(E) muni de la loi de composition des applications est une K-algèbre.
Faites en la vérification après avoir rappelé la définition d'une K-algèbre.

A i d e ? Oui
Soit f:E F une application linéaire bijective. Alors est linéaire . On dit alors que les deux K- espaces vectoriels E et F sont isomorphes. Lorsque E=F, on parle d'automorphisme de E.
L'ensemble des automorphismes de E ( Aut(E)) muni de la loi de composition des applications est un groupe.
Faites en la vérification après avoir rappelé la définition d'un groupe.

A i d e ? Oui

Exercice 5 Soient E₁,E₂ deux sous-espaces vectoriels d'un K- espace vectoriel E, f:E₁×E₂ longrightarrow

E, l'application linéaire définie par f(x₁,x₂)=x₁+x₂. Montrer que Ker(f) est isomorphe à E₁ cap

E₂.

Exercice 6 Soit E un K- espace vectoriel . On dit que p

End_K(E) est un projecteur si p²=p ( ). Montrer que si p

End_K(E) est un projecteur, alors on a . La réciproque est-elle vraie?

Définition 7 (Famille libre)

Soient E un K- espace vectoriel , une famille finie d'éléments de E. On dit que la famille est libre (ou linéairement indépendante) si

la relation ( _i K)
entraîne .

S'il existe non tous nuls tels que , la famille est dite liée.
Une famille quelconque d'éléments de E est dite libre si toute sous-famille finie de est libre.
Si est une famille génératrice et libre, on dit que est une base de E.

Exercice 8 Pour (p,q)

², calculer . En déduire que la famille est libre dans le

-espace des fonctions rélles de classe sur

Passer à la Feuille de Travail 3

ou retourner au Sommaire

Session 2

Séance 3 - duréee 1h30

Séance 4 - duréee 1h30

Feuille de Travail 3

Collection de définitions et résultats fondamentaux sur les espaces vectoriels de dimension finie. - A SAVOIR -

Définition 2.1 Un K- espace vectoriel E est dit de dimension finie s'il admet un système fini de générateurs .

Théorème 2.2 Soient E un K-espace de dimension finie, une partie finie de E. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes

est une base de E
est une partie génératrice minimale (pour la relation d'inclusion)
est une partie libre maximale.

Théorème 2.3 Soient E un K-espace de dimension finie, une partie libre de E, une partie génératrice de E.
Alors on a n

Théorème 2.4 (Existence de base en dimension finie)
Soient E un K-espace de dimension finie, une partie génératrice finie de E et une partie libre .
Alors il existe base de E telle que

Théorème 2.5 (Théorème de la base incomplète)
Soient E un K-espace de dimension finie, une partie libre finie, une partie génératrice finie de E.
Alors il existe tel que est une base de E.

Théorème 2.6 (dimension)
E étant un K- espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases de E ont même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé dimension de E.

Travail 2.7
Tout K- espace vectoriel E de dimension finie n est isomorphe à Kⁿ.

Définition 2.8 (Rang d'une famille de vecteurs)
Soient E un K- espace vectoriel , une famille de vecteurs de E. On appelle rang de , noté , la dimension (supposée finie) du sous-espace vectoriel de E engendré par .

Passer à la Feuille de Travail 4

ou retourner au Sommaire

Feuille de Travail 4

Définition 2.9 (Rang d'une application linéaire )
Soient E, F deux K- espaces vectoriels , f: E F une application linéaire . On suppose que E est de dimension finie.
On appelle rang de f, noté rg(f), la dimension du sous-espace vectoriel Im(f) F de F.

Théorème 2.10 Soit où E est de dimension finie n. Alors on a

rg(f)=dim_K(E) - dim_K(Ker(f))

Travail 2.11 Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n, f End_K(E) un endomorphisme de E. Montrer que Im(f)=Im(f²) entraîne . La réciproque est-elle vraie?

Travail 2.12 Soient E et F deux K- espaces vectoriels de dimensions finies, f,g: E F deux applications linéaires .

Comparer rg(f+g) et (rg(f)+rg(g)).
Montrer que .

Travail 2.13 Soit V un K- espace vectoriel . Un endomorphisme non nul u End_K(V) est dit nilpotent s'il existe un entier p>1 tel que u^p=0. Le plus petit entier naturel non nul r vérifiant u^r=0 est appelé indice de nilpotence de u.

Montrer que si V est de dimension finie d et u End_K(V) est un endomorphisme nilpotent, alors on a u^d=0.
Donner des exemples d'endomorphismes nilpotents (avec différents indices de nilpotence) d'un K- espace vectoriel V de dimension 4.
Soit u un endomorphisme nilpotent d'un K- espace vectoriel V de dimension d>0. r étant l'indice de nilpotence de u, on considère e(u) le sous-espace vectoriel de End_K(V) engendré par . Donner une base de e(u).
On note Id_V l'endomorphisme identité de V. Montrer que si u est nilpotent, alors pour tout entier naturel s, (Id_V-u)^s est un automorphisme de V.
Soit u un endomorphisme nilpotent d'un K- espace vectoriel V de dimension d>0. r étant l'indice de nilpotence de u, on considère x V vérifiant . Montrer que la famille

Donner un exemple pour dim_K(V)=4.

Passer à la Feuille de Travail 5

ou retourner au Sommaire

Session 3

Séance 5 - dureée 1h30

Séance 6 - dureée 1h30

Feuille de Travail 5

Définition 3.1 (formes linéaires)
Soit E un K- espace vectoriel . On appelle forme linéaire sur E, toute application linéaire f: E K. L'ensemble des formes linéaires sur E a une structure de K- espace vectoriel appelé espace vectoriel dual de E et est noté . Le dual de est appelé bidual de E et est noté

Définition 3.2 (hyperplan)
Soit E un K- espace vectoriel . On appelle hyperplan de E tout supplémentaire d'une droite vectorielle de E. est un hyperplan de E si et seulement si droite vectorielle telle que .

Exercice 3.3

Soient E un K- espace vectoriel et une forme linéaire non nulle sur E. Montrer que Ker(f) est un hyperplan de E.
Montrer que tout hyperplan H d'un K- espace vectoriel E est le noyau d'une forme linéaire f: E K. L'équation f(x)=0 est alors appelée équation de l'hyperplan H.

Exercice 3.4 Soit E un K- espace vectoriel (de dimension quelconque). On considère l'application définie par

Montrer que e_v est linéaire injective.

Théorème 3.5 Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n et une base de E. Alors les formes linéaires définies par

^{en savoir plus Kronecker}

forment une base de appelée base duale de la base .

Exercice 3.6 Soit le - espace vectoriel des polynômes à une variable à coefficients dans . On prend pour base de E le système et on considère la famille définie par

f_j(Xⁱ)=

_i^j

Montrer que la famille est libre . Cette famille constitue-t-elle une base de ?

Exercice 3.7 Soit le - espace vectoriel des polynômes à une variable à coefficients dans et de degré au plus n. On considère la famille définie par

Vérifier que est une base de et déterminer la base de E dont elle est la duale.

Définition 3.8 (orthogonalité) Soient E un K- espace vectoriel et son dual.

On dit que x E est orthogonal à (ou que est orthogonal à x E) si f(x)=0.
On dit qu'une partie non vide est orthogonale à une partie non vide si pour tout x A et tout on a f(x)=0.

Passer à la Feuille de Travail 6

ou retourner au Sommaire

Feuille de Travail 6

Propriétés 3.9 Soient E un K- espace vectoriel et son dual .

Soit A une partie non vide de E. Alors l'ensemble des formes linéaires orthogonales à A est un sous-espace vectoriel de .
Soient A une partie non vide de E et Vect(A) le sous-espace vectoriel de E engendré par A. Alors on a .
Enoncés analogues pour une partie non vide B de .

Théorème 3.10 ( dimension du sous-espace orthogonal)
Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n.

Pour tout sous-espace vectoriel V de E, on a
Pour tout sous-espace vectoriel W de , on a

Preuve: Exercice.

Corollaire 3.11 (double orthogonal)
Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n, son dual.

Pour tout sous-espace vectoriel V de E, on a .
Pour tout sous-espace vectoriel W de , on a .

Exercice 3.12 Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n, V₁ et V₂ deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer les égalités suivantes:

Définition 3.13 (transposée d'une application linéaire )
Soient E et F deux K- espaces vectoriels et f: E F une application linéaire . Pour toute forme linéaire , on a . L'application définie par est linéaire et est appelée transposée de f. Pour tout x E, .

Exercice 3.14 Soient E, F, G des K- espaces vectoriels . Démontrer les propriétés suivantes:

L'application qui à f associe est linéaire .
Pour tout et tout , on a
Si est bijective, il en est de même de et on a
Si E et F sont des K- espaces vectoriels de dimensions finies, alors l'application qui à f associe est un isomorphisme et on a

Passer à la Feuille de Travail 7

ou retourner au Sommaire

Session 4

Séance 7 - durée 1h30

Séance 8 - durée 1h30

Feuille de Travail 7

Matrice d'une application linéaire

Tous les espaces vectoriels considérés dans ce paragraphe seront supposés de dimension finie. Le corps de base est toujours un sous-corps de .

Définition 4.1 Soient E, F deux K- espaces vectoriels de dimensions finies respectives n et p. On suppose E et F munis respectivement des bases et . Soit f: E F une application linéaire . Tout x E, s'écrit de manière unique

, x_j K.

On a donc

et l'application linéaire f est entièrement déterminée par la donnée des f(e_j), .
Comme est une base de F, pour tout , on a de manière unique

L'application linéaire f est donc entièrement déterminée par la donnée des p×n scalaires .
On appelle matrice de l'application linéaire f: E F relativement aux bases et , la matrice à coefficients dans K

Les coordonnées dans la base du vecteur f(e_j) se trouvent sur la j-ème colonne de la matrice ci-dessus.

Remarques 4.2 (cas particuliers)
Soient E, F deux K- espaces vectoriels de dimensions finies respectives n et p, munis respectivement des bases et . Soit f: E F une application linéaire .

Si n=1, est une matrice unicolonne.
Si p=1, est une matrice uniligne.
Si E=F, on a n=p, f est un endomorphisme de E et est une matrice carrée n×n. Si en plus , est notée tout simplement et on parle de la matrice de l'endomorphisme f dans la base .

Travail 4.3
On considère les - espaces vectoriels et munis respectivement des bases et . Soit f: E F définie par f(P)=P'. Déterminer .
Quelle est la matrice dans la base de l'endomorphisme g de F défini par g(P)= XP'?

Travail 4.4 L' espace euclidien usuel ³ est supposé muni d'une base orthonormée . On note (x,y,z) les coordonnées d'un vecteur de ³ dans cette base . Donner dans la base la matrice de chacune des transformations linéaires suivantes:

La symétrie (orthogonale) par rapport au plan des (x,y)
La symétrie (orthogonale) par rapport au plan d'équation x=y
La projection orthogonale sur le plan d'équation y=z

Exercice 1 avec WIMS

Exercice 2 avec WIMS

Exercice 3 avec WIMS

Exercice 4 avec WIMS

Passer à la Feuille de Travail 8

ou retourner au Sommaire

Feuille de Travail 8

Travail 4.5 Le K- espace vectoriel étant supposé muni de sa base canonique , on considère l'application f: E E, donnée par f(P)= q(P)+r(P), où q(P) est le quotient de la division de P par X, et r(P) est le reste de la division de P par Xⁿ.
Montrer que f est un endomorphisme de E et donner la matrice M de f dans la base . Calculer le rang de M.

Travail 4.6 Soit le K- espace vectoriel des matrices à p lignes et n colonnes, à coefficients dans K. Quelle est la dimension de ? Donner une base de . Soient E et F deux K- espaces vectoriels de dimensions respectives n et p. Montrer que est isomorphe à .

Travail 4.7 (changement de base )
Soient E, F deux K- espaces vectoriels de dimensions finies, . Soient et deux bases de E, et deux bases de F. On pose
(la matrice faisant passer de la base à la base ),
(la matrice faisant passer de la base à la base ).
Soit tel que . Donner en fonction de M, P et Q.

Travail 4.8 Pour un entier naturel non nul q, GL_q(K) désigne le groupe des matrices carrées q×q inversibles.

Montrer que la relation binaire définie sur par

est une relation d'équivalence sur .
Deux matrices M et sont dites équivalentes si
Montrer que deux matrices M et sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang .
Montrer que la relation binaire définie sur M_n(K) par

est une relation d'équivalence sur M_n(K).
Deux matrices M et N M_n(K) sont dites semblables si

Travail 4.9 Soit . Montrer que l'on a rg(M) 1 si et seulement si

Travail 4.10 (trace d'une matrice carrée)
Soit une matrice carrée n×n à coefficients dans K. On appelle trace de M notée Tr(M) le scalaire

Montrer que l'application Tr: M_n(K) K qui à une matrice carrée n×n associe sa trace est une forme linéaire .
Pour M, N M_n(K), montrer que

Tr(MN)=Tr(NM)
Montrer que deux matrices semblables ont même trace.

Travail 4.11 E est le K- espace vectoriel M_n(K). Etudier l'application définie par

Travail 4.12 Montrer que toute matrice M M_n(K) de trace nulle est semblable à une matrice dont tous les termes diagonaux sont nuls.

Pour commencer, vous pourrez chercher une preuve pour les matrices . Entraînez vous ensuite avec WIMS, puis dégagez l'idée d'une preuve pour une matrice carrée quelconque.

Exercice sur les matrices de trace nulle

Passer à la Feuille de Travail 9

ou retourner au Sommaire

Session 5

Séance 9 - durée 1h30

Séance 10 - durée 1h30

Feuille de Travail 9

Applications multilinéaires - Déterminants

Définition 5.1 (Applications multilinéaires) Soient et F des K- espaces vectoriels .
Une application est dite n-linéaire si pour tout ,
quel que soit ,
l'application partielle est linéaire .
Lorsque F=K on parle de forme n-linéaire. Lorsque n=2 (resp. n=3) on parle d'application bilinéaire (resp. trilinéaire).

Exemple 5.2 (Forme bilinéaire canonique) Soit E un K- espace vectoriel , son dual . L'application

est bilinéaire.

Théorème 5.3 L'ensemble des applications n-linéaires de dans F est un K- espace vectoriel noté .

Remarque 5.4
Ne pas confondre et (l'espace des applications linéaires de l'espace vectoriel produit dans F).

Travail 5.5 Soient E₁, E₂, E₃ et F des K- espaces vectoriels . Pour , calculer f(x+y) et f( x).

Travail 5.6 Soit F un - espace vectoriel de dimension finie m>0. Calculer les dimensions des - espaces vectoriels suivants:

Travail 5.7 Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie d.

Rappeler la définition d'une forme n-linéaire symétrique sur E. Après avoir vérifier que l'ensemble des formes n-linéaires symétriques sur E est un K- espace vectoriel , calculer la dimension de l'espace vectoriel des formes bilinéaires symétriques sur E.
Mêmes questions que ci-dessus pour ce qui concerne les formes n-linéaires antisymétriques sur E.

Définition 5.8 (Forme n-linéaire alternée)
Soient E et F des K- espaces vectoriels . Une application n-linéaire
f: Eⁿ F est dite alternée si pour tout on a:

Théorème 5.9 Toute application n-linéaire alternée définie sur Eⁿ est antisymétrique. Réciproquement si le corps de base K n'est pas de caractéristique 2, toute application n-linéaire antisymétrique est alternée.

Travail 5.10 Prouver le théorème 5.9 ci-dessus.

Théorème 5.11 E étant un K- espace vectoriel de dimension finie n, le K- espace vectoriel des formes n-linéaires alternées définies sur Eⁿ est de dimension 1.

Travail 5.12 Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n et f une forme n-linéaire alternée non nulle définie sur Eⁿ. Pour , montrer que la famille est liée si et seulement si .

Théorème-Définition 5.13 Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n. Une base de E étant donnée, il existe une et une seule forme n-linéaire alternée f définie sur Eⁿ, telle que . Pour , est appelé

déterminant de relativement à la base et se note

où tout simplement si le contexte est clair.

Travail 5.14 Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n, et deux bases de E. Montrer que pour tout , on a

En particulier si , on a

Passer à la Feuille de Travail 10

ou retourner au Sommaire

Feuille de Travail 10

Applications multilinéaires - Déterminants

Théorème 5.15 (Déterminant d'un endomorphisme )
Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n et u un endomorphisme de E. Alors il existe un unique scalaire lambda

K tel que pour toute base de E on a

Ce scalaire s'appelle déterminant de u et est noté det(u).

Travail 5.16 Donner la preuve du théorème 5.15 ci-dessus.

Travail 5.17 Soient un K- espace vectoriel de dimension finie n, u et v deux endomorphismes de E. Prouver les énoncés suivants:

Travail 5.18 Le plan affine réel étant identifié à , on se donne n points d'affixes respectifs a_i(1 i n).
Etudier la possibilité de construire un polygone du plan affine, dont les A_i sont les milieux des côtés.

Travail 5.19 Résoudre dans ³ le système linéaire suivant où t est un paramètre:

Travail 5.20 a, b et c étant des paramètres réels soumis à la condition a+2b+c=0, résoudre dans ³ le système linéaire suivant:

Travail 5.21 Pour un entier n ( n 2) et A M_n(K), donner le rang de com(A) (la comatrice de A) en fonction de celui de A.

Travail 5.22 est un nombre réel fixé. n est un entier naturel ( n 2). Calculer le déterminant de la matrice définie par

Même question pour la matrice définie par

Passer à la Feuille de Travail 11

ou retourner au Sommaire

Session 6

Séance 11 - durée 1h30

Séance 12 - durée 1h30

Séance 13 - durée 1h30

Séance 14 - durée 1h30

Séance 15 - durée 1h30

Feuille de Travail 11

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

6.1 Sous-espaces stables par un endomorphisme

Définition 6.1.1 (Structure de K-algèbre) Soient K un corps commutatif, E un ensemble muni d'une addition (notée +), d'une multiplication interne (notée ) et d'une multiplication externe (notée , à domaine K). On dit que E a une structure de K-algèbre est une K-algèbre) si:

(E,+, ×) est un K- espace vectoriel
est un anneau
Pour tout K et tout couple (x,y) d'éléments de E on a

On dit que E a une structure de K-algèbre commutative si l'anneau est commutatif pour la multiplication interne.
On dit que E a une structure de K-algèbre unitaire si l'anneau admet un élément neutre pour la multiplication interne.

Soit E un K- espace vectoriel . End_K(E) est le K- espace vectoriel des applications linéaires u: E longrightarrow E. est une K-algèbre.

Propriété 6.1.2 Si E est un K- espace vectoriel de dimension finie n, alors End_K(E) est isomorphe à M_n(K) et est donc de dimension n². La donnée d'une base de E détermine un isomorphisme , définie par . est un isomorphisme de K-algèbres.

Définition 6.1.3
Soient E un K- espace vectoriel (de dimension quelconque), V un sous-espace vectoriel de E et u End_K(E). On dit que V est stable par u si u(V) V (i.e. pour tout x V, on a u(x) V). Si V est un sous-espace de E stable par u, alors la restriction de u à V est un endomorphisme de V.

Travail 6.1.4 Soit E un K- espace vectoriel de dimension 4 ( K= ou ) muni d'une base . On note (x₁, x₂, x₃, x₄) les coordonnées d'un vecteur dans cette base . Soit u_t End_K(E) ( t K ) définie par

u(e_i)=e₁+2e₂+3e₃+4e₄-te_i

Pour quelles valeurs du paramètre a l'hyperplan vectoriel H_a d'équation ax₁+x₂+x₃+x₄=0 est-il stable par u_t?
Pour ces valeurs de a, décrire matriciellement .

Propriété 6.1.5 Soient u, v

End_K(E). On suppose que (on dit que u et v commutent), alors Im(u) et Ker(u) sont stables par v.

Définition 6.1.6 (Polynôme d'un endomorphisme )
Soient E un K- espace vectoriel , u End_K(E). A tout polynôme ( ) on associe l'endomorphisme où ( i fois).

Propriété 6.1.7
Pour u

End_K(E) fixé, l'application définie par varphi

_u(P)=P(u) est un morphisme d'algèbres . Im( varphi

_u) est une sous-algèbre commutative de End_K(E), ker( varphi

_u) est un idéal de .

Théorème 6.1.8 (Théorème de décomposition des noyaux)
Soient P, , u

End_K(E). On suppose que (P,Q)=1. Alors .
Plus généralement, si est un élément de tel que pour on ait (P_i,P_j)=1, alors .

Travail 6.1.9 Donner un schéma de preuve du théorème 6.1.8 ci-dessus.

Passer à la Feuille de Travail 12

ou retourner au Sommaire

Feuille de Travail 12

6.2 Valeurs propres d'un endomorphisme

Définition 6.2.1 Soient E un K- espace vectoriel , u End_K(E). On dit que K est une valeur propre de u si . Autrement dit,
K est valeur propre de u si et seulement si il existe un vecteur non nul x E tel que u(x)= x.
Un vecteur non nul x E tel que u(x)= x est appelé vecteur propre pour .
Le sous-espace est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre .

Propriété 6.2.2 Si est une valeur propre de u, le sous-espace propre associé à lambda

est stable par u et la restriction de u à est une homothétie de rapport lambda

Définition 6.2.3 Soient E un K- espace vectoriel , u End_K(E). On appelle spectre de u, noté spec(u) (ou sp(u)), l'ensemble des valeurs propres de u.

Travail 6.2.4 Soient , u End_K(E) définie par u(P)= P + XP'. Quelles sont les valeurs propres de u?

Travail 6.2.5 Pour K= et pour K= , donner un exemple de K- espace vectoriel E et u End_K(E) tels que .

Travail 6.2.6 Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n 2, u, v End_K(E). Montrer que et ont mêmes valeurs propres.

Travail 6.2.7 Peut-on se passer de l'hypothèse "E est de dimension finie" dans l'exercice 6.2.6 ci-dessus?

Travail 6.2.8 Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n,
u End_K(E), .
Montrer que si spec(u), alors on a P( ) spec(P(u)).

Passer à la Feuille de Travail 13

ou retourner au Sommaire

Feuille de Travail 13

6.3 Réduction d'un endomorphisme en dimension finie

Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n, u un endomorphisme de E. On supposera au besoin E muni d'une base de sorte que u est identifié à sa matrice dans la base .

Propriété 6.3.1 Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n, u

End_K(E). Alors est une valeur propre de u si et seulement si

Si on note I_n la matrice identité d'ordre n, on a est une valeur propre de u (ou de manière équivalente de M) si et seulement si

Définition 6.3.2 E étant K- espace vectoriel de dimension finie n, pour u End_K(E) on pose

On montre que P_u(X) est un polynôme de degré n.
P_u(X) est appelé le polynôme caractéristique de l'endomorphisme u
(ou de manière équivalente, le polynôme caractéristique de la matrice ).

Propriété 6.3.3 Le polynôme caractéristique est invariant par changement de bases .

Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique.

Propriété 6.3.4 Soit M

M_n(K) une matrice carrée d'ordre n. On a

Rappels 6.3.5

Si un polynôme non nul admet pour racine de multiplicité , alors il existe tel que et .
Si un polynôme non nul admet pour racines de multiplicités respectives , alors il existe tel que et pour 1 i s.
On a .
Si alors Q est une constante non nulle et ( k K). On dit alors que le polynôme P est scindé sur K.
Un corps K sur lequel tout polynôme est scindé est dit algébriquement clos.

Travail 6.3.6
Soit
Calculer le polynôme caractéristique P_M(X) de M et dire pour quelles valeurs du paramètre P_M(X) a une racine double.

Propriété 6.3.7 Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Si lambda

est une racine de multiplicité alpha

du polynôme caractéristique P_u(X) de u, alors on a

Travail 6.3.8 Donner une idée de la preuve de la propriété 6.3.7 ci-dessus.

Passer à la Feuille de Travail 14

ou retourner au Sommaire

Feuille de Travail 14

6.3 Réduction d'un endomorphisme en dimension finie

Définition 6.3.9 On dit qu'une matrice M M_n(K) est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P M_n(K) telle que est une matrice diagonale.

Définition 6.3.10 Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. On dit que u est diagonalisable s'il existe une base de E par rapport à laquelle la matrice de u est diagonale.

Théorème 6.3.11 Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n; et u

End_K(E). Alors u est diagonalisable si et seulement si il existe polynôme non nul à racines simples tel que P(u)=0.

Travail 6.3.12 Donner un schéma de preuve pour le théorème 6.3.11 ci-dessus.

Théorème 6.3.13 (Caractérisation des endomorphismes diagonalisables)
Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n et u

End_K(E).
Les assertions suivantes sont équivalentes

i)

u est diagonalisable

ii)

Le polynôme caractéristique P_u(X) de u est scindé sur K et pour
toute racine lambda

de multiplicité alpha

de P_u(X) on a

Corollaire 6.3.14 Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n et u

End_K(E). Si u admet n valeurs propres distinctes , alors u est diagonalisable et chaque sous-espace propre est de dimension 1.

Travail 6.3.15
Donner des conditions nécessaires et suffisantes sur les nombres complexes a, b, c pour que la matrice symétrique

Travail 6.3.16 Soit E un K- espace vectoriel et u un endomorphisme de E. On définit

Montrer que est un endomorphisme de End_K(E).
Montrer que est diagonalisable si et seulement si u est diagonalisable.

Travail 6.3.17 Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n;
une base de E. Soient .
On considère l'endomorphisme u de E défini par

Calculer le polynôme caractéristique de u pour n=2, n=3 et n=4.
Trouver une matrice A M₄( ) n'ayant aucune valeur propre réelle.
Calculer le polynôme caractéristique de u pour n quelconque.
Montrer que u est diagonalisable si et seulement si u admet n valeurs propres distinctes.

Soit f un endomorphisme de E ayant n valeurs propres distinctes . Montrer qu'il existe x E tel que est une base de E. Donner la matrice de f dans la base .

Passer à la Feuille de Travail 15

ou retourner au Sommaire

Feuille de Travail 15

6.3 Réduction d'un endomorphisme en dimension finie

Définition 6.3.18 On dit qu'une matrice M M_n(K) est trigonalisable s'il existe une matrice inversible P M_n(K) telle que est une matrice triangulaire supérieure.

Définition 6.3.19 Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. On dit que u est trigonalisable s'il existe une base de E par rapport à laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure.

Théorème 6.3.20 (Caractérisation des endomorphismes trigonalisables)
Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n et u

End_K(E).
Les assertions suivantes sont équivalentes

i): u est trigonalisable
ii): Le polynôme caractéristique P_u(X) de u est scindé sur K.

Travail 6.3.21 Indiquer brièvement un schéma de preuve du théorème 6.3.20 ci-dessus.

Propriété 6.3.22
Le corps

étant algébriquement clos, tout endomorphisme u d'un

-espace vectoriel de dimension finie E est trigonalisable.

Théorème 6.3.23 (Théorème de Cayley-Hamilton)
Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n, u un endomorphisme de E. Alors le polynôme caractéristique de u annule u:

P_u(u)=0.

Si u a pour matrice M relativement à une base de E, le théorème de Cayley-Hamilton s'énonce

P_M(M)=0.

Définition 6.3.24 Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n et . Si est une valeur propre de multiplicité de u, on appelle sous-espace caractéristique associé à la valeur propre , le sous-espace

Propriétés 6.3.25

Si est une valeur propre de multiplicité de u, alors le sous-espace caractéristique est de dimension .
Si le polynôme caractéristique de est scindé sur K, alors E est somme directe des sous-espaces caractéristiques associés aux valeurs propres de u.

Théorème 6.3.26 Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n, tel que le polynôme caractéristique de u soit scindé sur K:

Alors pour tout i ( 1

s) il existe une base

telle que

est une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure.

Travail 6.3.27 En utilisant le théorème 6.3.26 ci-dessus, trigonaliser les matrices suivantes

Théorème 6.3.28 Soit M

M_n(K) une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé sur K:

Alors il existe une matrice inversible P

M_n(K) telle que

où est une matrice triangulaire supérieure de la forme .
La matrice M' ci-dessus est dite diagonale par blocs.

Corollaire 29 Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n,
tel que le polynôme caractéristique de u soit scindé sur K.
Alors u s'écrit d'une manière et d'une seule sous la forme

u=d+n

où d est un endomorphisme diagonalisable,
n un endomorphisme nilpotent
et dn=nd ( n et d commutent).

Retourner à la Feuille de Travail 14

ou aller au Sommaire

Sessions Wims

Exercice ia1

Exercice ia2

Corps

Un corps est un anneau commutatif dont l'ensemble des éléments non nuls est un groupe multiplicatif.
Des exemples de corps:

où p est un nombre premier
, corps des nombres rationnels
, corps des nombres réels
, corps des nombres complexes
si K est un corps, un polynôme irréductible, est un corps.

notes de cours d'algèbre linéaire pour le Capes externe.
: capes, espaces vectoriels, bases, dimensions, endomorphismes, valeurs propres, vecteurs propres, matrices, wims, mathematics, mathematical, math, maths, interactive mathematics, interactive math, interactive maths, mathematic, online, calculator, graphing, exercise, exercice, puzzle, calculus, K-12, algebra, mathématique, interactive, interactive mathematics, interactive mathematical, interactive math, interactive maths, mathematical education, enseignement mathématique, mathematics teaching, teaching mathematics, algebra, geometry, calculus, function, curve, surface, graphing, virtual class, virtual classes, virtual classroom, virtual classrooms, interactive documents, interactive document

Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.

Cours/TD d'algèbre linéaire

Algèbre linéaire

Ce document rassemble mes notes de Cours/TD dans le cadre de la préparation au concours externe du capes de mathématiques.

Les notes ici rassemblées concernent les paragraphes 2.III. (1, 2, 3, 4, 6) du programme du capes 2002 .

Conformément au programme, le corps de base K est un sous-corps de ℂ

Session 1

Feuille de Travail 1

Feuille de Travail 2

Session 2

Feuille de Travail 3

Collection de définitions et résultats fondamentaux sur les espaces vectoriels de dimension finie. - A SAVOIR -

Feuille de Travail 4

Session 3

Feuille de Travail 5

Feuille de Travail 6

Session 4

Feuille de Travail 7

Feuille de Travail 8

Session 5

Feuille de Travail 9

Feuille de Travail 10

Session 6

Feuille de Travail 11

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Feuille de Travail 12

Feuille de Travail 13

6.3 Réduction d'un endomorphisme en dimension finie

Feuille de Travail 14

6.3 Réduction d'un endomorphisme en dimension finie

Feuille de Travail 15

6.3 Réduction d'un endomorphisme en dimension finie

Sessions Wims

Corps

Les notes ici rassemblées concernent les
paragraphes 2.III. (1, 2, 3, 4, 6) du
programme du capes 2002 .

Conformément au programme,
le corps de base $K$ est un sous-corps de $ℂ$